1、題型五幾何圖形研究題種類一幾何圖形靜態(tài)研究1(2017成都)問題背景：如圖，等腰ABC中，ABAC，1BAC120，作ADBC于點(diǎn)D，則D為BC的中點(diǎn)，BAD2BAC60，于是BC2BD3；ABAB遷移應(yīng)用：如圖，ABC和ADE都是等腰三角形，BACDAE120，D，E，C三點(diǎn)在同一條直線上，連接BD.求證：ADBAEC；請直接寫出線段AD，BD，CD之間的等量關(guān)系式；拓展延伸：如圖，在菱形ABCD中，ABC120，在ABC內(nèi)作射線BM，作點(diǎn)C關(guān)于BM的對稱點(diǎn)E，連接AE并延伸交BM于點(diǎn)F，連接CE，CF.證明CEF是等邊三角形；若AE5，CE2，求BF的長.2(2017許昌模擬)在正方形AB

2、CD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)1O，動點(diǎn)P在線段BC上(不含點(diǎn)B)，BPE2ACB，PE交BO于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BFPE，垂足為F，交AC于點(diǎn)G.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)(如圖)，求證：BOGPOE；BF經(jīng)過觀察、測量、猜想：_，并結(jié)合圖證明PE你的猜想；把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變(如圖)，若ACBBF，求PE的值(用含的式子表示)3(2014河南)(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖，ACB和DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同素來線上，連接BE.填空：AEB的度數(shù)為_；線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為_拓展研究如圖，ACB和DCE均為等腰直角三角形，ACBDCE90，點(diǎn)A，D，E在同素來線上，CM為DC

3、E中DE邊上的高，連接BE，請判斷AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明原由解決問題如圖，在正方形ABCD中，CD2，若點(diǎn)P滿足PD1，且BPD90，請直接寫出點(diǎn)A到BP的距離.4(2017長春改編)【再現(xiàn)】如圖，在ABC中，點(diǎn)D，E分1別是AB，AC的中點(diǎn)，可以獲得：DEBC，且DE2BC.(不需要證明)【研究】如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，判斷四邊形EFGH的形狀，并加以證明；【應(yīng)用】(1)在【研究】的條件下，四邊形ABCD中，滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形？你增加的條件是：_.(只增加一個(gè)條件)如圖，在四邊形ABCD

4、中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，對角線AC，BD訂交于點(diǎn)O.若AOOC，四邊形ABCD面積為5，求陰影部分圖形的面積.5(2016新鄉(xiāng)模擬)問題背景：已知在ABC中，AB邊上的動點(diǎn)D由A向B運(yùn)動(與A，B不重合)，同時(shí)，點(diǎn)E由點(diǎn)C沿BC的延伸線方向運(yùn)動(E不與C重合)，連接DE交AC于點(diǎn)F，點(diǎn)H是線段AF上AC一點(diǎn)，求HF的值初步試一試如圖，若ABC是等邊三角形，DHAC，且D，E的運(yùn)動速度相等，小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以過點(diǎn)D做DGBC，交AC于點(diǎn)G，先證GHACAH.再證GFCF，從而求得HF的值為_；類比研究如圖，若在ABC中，ABC90，ADHBAC30，AC且點(diǎn)D，E的

5、運(yùn)動速度之比是31，求的值；HF延伸拓展BC如圖，若在ABC中，ABAC，ADHBAC36，記ACACm，且點(diǎn)D，E的運(yùn)動速度相等，試用含m的代數(shù)式表示HF的值(直接寫出結(jié)果，不用寫解答過程).種類二幾何圖形動向研究1(2015河南)如圖，在RtABC中，B90，BC2AB8，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，連接DE，將EDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為.(1)問題發(fā)現(xiàn)當(dāng)0時(shí)，AE180時(shí)，AE_；當(dāng)BDBD_；(2)拓展研究AE試判斷：當(dāng)0360時(shí)，的大小有無變化？請僅就圖BD的狀況給出證明問題解決當(dāng)EDC旋轉(zhuǎn)至A，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出線段BD的長2已知，點(diǎn)O是等邊ABC內(nèi)的任

6、一點(diǎn)，連接OA，OB，OC.如圖，已知AOB150，BOC120，將BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60得ADC.DAO的度數(shù)是_；用等式表示線段OA，OB，OC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；設(shè)AOB，BOC.當(dāng)，滿足什么關(guān)系時(shí)，OAOBOC有最小值？請?jiān)趫D中畫出吻合條件的圖形，并說明原由；若等邊ABC的邊長為1，直接寫出OAOBOC的最小值.3(2013河南)如圖，將兩個(gè)完好相同的三角形紙片和重合放置，其中C90，BE30.操作發(fā)現(xiàn)如圖，固定ABC，使DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，填空：線段DE與AC的地址關(guān)系是_；設(shè)BDC的面積為S1，AEC的面積為S2，則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是_；(2

7、)猜想論證當(dāng)DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖所示的地址時(shí)，小明猜想(1)中S1與S2的數(shù)量關(guān)系依舊成立，并試一試分別作出了BDC和AEC中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想；(3)拓展研究已知ABC60，點(diǎn)D是其角均分線上一點(diǎn)，BDCD4，DEAB交BC于點(diǎn)E(如圖)，若在射線BA上存在點(diǎn)F，使SDCFSBDC，請直接寫出相應(yīng)的BF的長.4(2017鄭州模擬)【問題情境】數(shù)學(xué)課上，李老師提出了以下問題：在ABC中，ABCACB，點(diǎn)D是AB邊上任意一點(diǎn)，將射線DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與過點(diǎn)A且平行于BC邊的直線交于點(diǎn)E.請判斷線段BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系小穎在小組合作交流中，公布自己的建議：“我們不如從特別

8、狀況下獲得解決問題的思路，爾后類比到一般狀況”小穎的想法獲得了其他成員一致的贊同【問題解決】如圖，當(dāng)60時(shí)，判斷BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系；解法以下：過D點(diǎn)作AC的平行線交BC于F，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題獲得解決，請你直接寫出線段BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系：_.【類比研究】(2)如圖，當(dāng)45時(shí)，請判斷線段BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明；如圖，當(dāng)為任意銳角時(shí)，請直接寫出線段BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系：_.(用含的式子表示，其中090)5(2017煙臺)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖，ABC為等邊三角形，現(xiàn)將三角板中的60角與ACB重合，再將三角板繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角大于0且小于30)，旋轉(zhuǎn)后

9、三角板的素來角邊與AB交于點(diǎn)D，在三角板斜邊上取一點(diǎn)F，使CFCD，線段AB上取點(diǎn)E，使DCE30，連接AF，EF.求EAF的度數(shù)；DE與EF相等嗎？請說明原由；【類比研究】如圖，ABC為等腰直角三角形，ACB90，先將三角板的90角與ACB重合，再將三角板繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角大于0且小于45)，旋轉(zhuǎn)后三角板的素來角邊與AB交于點(diǎn)D，在三角板另素來角邊上取一點(diǎn)F，使CFCD，線段AB上取點(diǎn)E，使DCE45，連接AF，EF，請直接寫出研究結(jié)果：求EAF的度數(shù)；線段AE，ED，DB之間的數(shù)量關(guān)系題型五第22題幾何圖形研究題種類一幾何圖形靜態(tài)研究1遷移應(yīng)用：證明：BACDAE120，DAB

10、CAE，DAEA在DAB和EAC中，DABEAC，DABEAC;ABAC,圖)解：結(jié)論：CD3ADBD.原由：如解圖，作AHCD于H.DABEAC，BDCE，3在RtADH中，DHADcos302AD，ADAE，AHDE，DHHE，CDDEEC2DHBD3ADBD；拓展延伸：證明：如解圖，作BHAE于H，連接BE.四邊形ABCD是菱形，ABC120，ABD，BDC是等邊三角形，BABDBC，E、C關(guān)于BM對稱，BCBEBDBA，F(xiàn)EFC，A、D、E、C四點(diǎn)共圓，ADCAEC120，F(xiàn)EC60，EFC是等邊三角形，解：AE5，ECEF2，AHHE2.5，F(xiàn)H4.5，在RtBHF中，BFH30，H

11、F4.5BFcos30，BF333.22(1)證明：四邊形ABCD是正方形，P與C重合，OBOP，BOCBOG90，PFBG，PFB90，GBO90BGO，EPO90BGO，GBOEPO，GBOEPO在BOG和POE中，OBOP，BOGPOE(ASA)；BOGPOEBF1解：猜想.PE2證明：如解圖，過P作PMAC交BG于M，交BO于N，PNEBOC90，BPNOCB.OBCOCB45，NBPNPB，NBNP.MBN90BMN，NPE90BMN，MBNNPE，MBNNPE在BMN和PEN中，NBNP，MNBPNEBMNPEN(ASA)，BMPE.1BPE2ACB，BPNACB，BPFMPF.P

12、FBM，BFPMFP90.在BPF和MPF中，BPFMPEPFPF，BPFMPF(ASA).PFBPFM11BF1BFMF.即BF2BM.BF2PE.即PE2；解：如解圖，過P作PMAC交BG于點(diǎn)M，交BO于點(diǎn)N，BPNACB，PNEBOC90.1由(2)同理可得BF2BM，MBNEPN，BMBNBMNPEN，.PEPNBN在RtBNP中，tan，PNBM2BFBFtan.tan，即PEtan，PEPE23解：(1)ACB和DCE均為等邊三角形，CACB，CDCE，ACBDCE60，ACDBCE.在ACD和BCE中，ACBCACDBCE，CDCEACDBCE(SAS)ADCBEC.DCE為等邊

13、三角形，CDECED60.點(diǎn)A，D，E在同素來線上，ADC120，BEC120，AEBBECCED60；ADBE；(2)AEB90，AEBE2CM.原由：ACB和DCE均為等腰直角三角形，CACB，CDCE，ACBDCE90.ACDBCE.在ACD和BCE中，CACBACDBCE，CDCEACDBCE(SAS)ADBE，ADCBEC.DCE為等腰直角三角形，CDECED45.點(diǎn)A，D，E在同素來線上，ADC135，BEC135，AEBBECCED90.CDCE，CMDE，DMME.DCE90，DMMECM，AEADDEBE2CM；3131(3)點(diǎn)A到BP的距離為或.22原由以下：PD1，點(diǎn)P在

14、以點(diǎn)D為圓心，1為半徑的圓上BPD90，點(diǎn)P在以BD為直徑的圓上點(diǎn)P是這兩圓的交點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P在如解圖所示地址時(shí)，連接PD、PB、PA，作AHBP，垂足為H，過點(diǎn)A作AEAP，交BP于點(diǎn)E，四邊形ABCD是正方形，ADB45.ABADDCBC2，BAD90.BD2.DP1，BP3.BPDBAD90，A、P、D、B在以BD為直徑的圓上，APBADB45.PAE是等腰直角三角形又BAD是等腰直角三角形，點(diǎn)B、E、P共線，AHBP，由(2)中的結(jié)論可得：BP2AHPD.32AH1.AH31；2當(dāng)點(diǎn)P在如解圖所示地址時(shí)，連接PD、PB、PA，作AHBP，垂足為H，過點(diǎn)A作AEAP，交PB的延伸線于點(diǎn)E，同理

15、可得：BP2AHPD.32AH1.AH31.2綜上所述：點(diǎn)A到BP的距離為3131.2或24解：【研究】平行四邊形原由：如解圖，連接AC，1E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，EFAC，EF2AC，1同理HGAC，HG2AC，綜上可得：EFHG，EFHG，故四邊形EFGH是平行四邊形【應(yīng)用】(1)增加ACBD，1原由：連接AC，BD，同(1)知，EF2AC，1同【研究】的方法得，F(xiàn)G2BD，ACBD，EFFG，四邊形EFGH是平行四邊形，?EFGH是菱形；如解圖，由【研究】得，四邊形EFGH是平行四邊形，F(xiàn)，G是BC，CD的中點(diǎn)，F(xiàn)GBD，F(xiàn)GBD，CFGCBD，CFG，S4S1S1BCD2SBC

16、D4CFG，同理：SABD4SAEH，5四邊形ABCD面積為5，SBCDSABD5，SCFGSAEH4，5同理：SDHGSBEF4，55S四邊形EFGHS四邊形ABCD(SCFGSAEHSDHGSBEF)522，設(shè)AC與FG，EH訂交于M，N，EF與BD訂交于P，111FGBD，F(xiàn)G2BD，CMOM2OC，同理：ANON2OA，OAOC，OMON，易知，四邊形ENOP，F(xiàn)MOP是平行四邊形，S?EPONS?FMOP，15S陰影2S四邊形EFGH4.5解：(1)ABC是等邊三角形，AGD是等邊三角形，ADGD，由題意知：CEAD，CEGD，DGBC，GDFCEF，GDFCEF在GDF與CEF中，

17、GFDEFC，GDCEGDFCEF(AAS)，CFGF，DHAG，AHGH，ACAGCG2GH2GF2(GHGF)2HF，AC2；HF如解圖，過點(diǎn)D作DGBC交AC于點(diǎn)G，則ADGABC90.BACADH30，AHDH，GHDBACADH60，HDGADGADH60，DGH為等邊三角形GDGHDHAH，ADGDtan603GD.由題意可知，AD3CE.GDCE.DGBC，GDFCEF.GDFCEF在GDF與CEF中，GFDEFC，CEGDGDFCEF(AAS)，GFCF.1ACGHGFAHCF，即HFAHCF，HFAC，即2；2HFACm1.原由以下：HFm如解圖，過點(diǎn)D作DGBC交AC于點(diǎn)G

18、，易得ADAG，ADEC，AGDACB.在ABC中，BACADH36，ABAC，AHDH，ACBB72，GHDHADADH72.AGDGHD72，GHBCGHDBHGDACB，ABCDGH.m，DHACGHmDHmAH.DGBCBC由ADGABC可得m.ADABACFGGDDGBC，m.FGmFC.FCECACGHFGm(AHFC)m(ACHF)，即HFm(ACHF)HFm1m.種類二幾何圖形動向研究1解：(1)當(dāng)0時(shí)，RtABC中，B90，AC2222ABBC（82）845，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，AE255AE45225，BD824，.BD42如解圖，當(dāng)180時(shí)，可得ABDE，A

19、CBCAEAC455，；AEBDBDBC82AE當(dāng)0360時(shí)，的大小沒有變化，BDECDACB，ECADCB，又ECAC5，DCBC2AEEC5ECADCB，；BDDC2當(dāng)D在AE上時(shí)，如解圖，AC45，CD4，CDAD，AD2222ACCD（45）480168，ADBC，ABDC，B90，四邊形ABCD是矩形，BDAC45；當(dāng)D在AE延伸線上時(shí)，如解圖，連接BD，過點(diǎn)D作AC的垂線交AC于點(diǎn)Q，過點(diǎn)B作AC的垂線交AC于點(diǎn)P，AC45，CD4，CDAD，AD2222ACCD（45）480168，原圖中點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，111DE2AB2(82)242，AEADDE826，由(

20、2)可得AE56125，BD5.BD2525綜上所述，BD的長為45或5.2解：(1)AOB150，BOC120，AOC90，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，OCD60，ADCBOC120，DAO360609012090；222線段OA，OB，OC之間的數(shù)量關(guān)系是OAOBOC.如解圖，連接OD.BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60得ADC，ADCBOC，OCD60.CDOC，OCD是等邊三角形，OCODCD，CODCDO60，AOB150，BOC120，AOC90，AOD30，ADO60.DAO90.在RtADO中，DAO90，222OAADOD，222OAOBOC；(2)當(dāng)120時(shí)，OAOBOC有最小值作圖如

21、解圖，將AOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60得AOC，連接OO.AOCAOC，OCOACA60.OCOC，OAOA，ACAC，AOCAOC.OCO是等邊三角形OCOCOO，COOCOO60.AOBBOC120，AOCAOC120.BOOOOA180.B，O，O，A四點(diǎn)共線OAOBOCOAOBOOBA市價(jià)最小；當(dāng)?shù)冗匒BC的邊長為1時(shí)，OAOBOC的最小值為AB3.3解：(1)DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)使點(diǎn)D恰好落在AB邊上，ACCD，BAC90B903060，ACD是等邊三角形，ACD60，又CDEBAC60，ACDCDE，DEAC；1B30，C90，CDAC2AB，BDADAC，依照等邊三角形的性質(zhì)，AC

22、D的邊AC、AD上的高相等，BDC的面積和AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等)，即S1S2；DEC是由ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)獲得，BCCE，ACCD，ACNBCN90，DCMBCN1809090，ACNDCM，ACNDCM在ACN和DCM中，CMDN90，ACDCACNDCM(AAS)，ANDM，BDC的面積和AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等)，即S1S2；如解圖，過點(diǎn)D作DF1BE，易求四邊形BEDF1是菱形，BEDF1，且BE、DF1上的高相等，此時(shí)SDCF1SBDE；過點(diǎn)D作DF2BD，ABC60，F(xiàn)1DBE，F(xiàn)2F1DABC60，1BF1DF1，F(xiàn)1BD2ABC30，F(xiàn)

23、2DB90，F(xiàn)1DF2ABC60，DF1F2是等邊三角形，DF1DF2，BDCD，ABC60，點(diǎn)D是角均分線上一點(diǎn)，1DBCDCB26030，CDF1180BCD18030150，CDF236015060150，CDF1CDF2，DF1DF2在CDF1和CDF2中，CDF1CDF2，CDCDCDF1CDF2(SAS)，點(diǎn)F2也是所求的點(diǎn)，ABC60，點(diǎn)D是角均分線上一點(diǎn)，DEAB，1DBCBDEABD26030，又BD4，1343BEED24cos30223，43434383BF13，BF2BF1F1F2333，4383故BF的長為3或3.4解：(1)當(dāng)60時(shí)，ABC、DCE是等邊三角形，ECDC，ACBC，ACBDCE60，ACBACDDC