1、第講主應力及主切應力第1頁，共21頁。第十章 應力狀態分析主要內容Main Content應力狀態基本概念 斜面上任一點應力狀態分析 求和約定和應力張量 主應力及主切應力 球應力及偏差應力 第2頁，共21頁。10.4 主應力及主切應力10.4.1 主應力的概念通過坐標變換可以找到只有正應力的坐標面，此坐標軸稱為主軸，此應力稱為主應力，該坐標面為主平面。 第3頁，共21頁。第4頁，共21頁。第5頁，共21頁。主應力的求解如果取微分面ABC為主微分面，即該微分面上只有主應力而沒有切應力。這時，作用在此面上的全應力就是主應力。用 表示主應力，則它在各坐標軸上的投影為 第6頁，共21頁。代入到斜面應力

2、方程中有整理后可得又有（*）（*）第7頁，共21頁。由上面四個方程可求出主應力s及其方向余弦l、m、n。顯然，前三個方程構成一個齊次方程組，顯然不能有l = m = n = 0這樣的解。如要方程組有其他解時，必須取該方程組的系數行列式為零，即 第8頁，共21頁。展開此行列式，得令則有第9頁，共21頁。三次方程式稱為應力狀態特征方程。此方程的三個根就是三個主應力，而這三個主應力均為實根。由因式分解可知 由代數學可知，具有相同的根的方程是全等方程，因此該式與應力狀態特征方程全等。有展開后得第10頁，共21頁。應力張量不變量 對同一點應力狀態，三個主應力的數值是一定的，而與過該點的坐標系的選擇無關，

3、不管應力分量怎樣隨坐標系改變。那么I1、I2、I3 是不隨坐標系改變的，分別稱為一次、二次和三次應力常量，或稱為應力張量不變量。第11頁，共21頁。主應力的特點三個主應力所作用的主微分面是相互垂直的將主應力s1代入（*）式中的任何兩個方程，并與（*）式聯立，可以求解出主應力s1的方向余弦l1、m1、n1，同理，可以求解出主應力s2及s3的方向余弦l2、m2、n2及l3、m3、n3 。每兩個主應力的方向余弦之間滿足以下關系第12頁，共21頁。三個主應力均為實根 主應力具有極值性質三個主應力中的最大值賦給s1，最小值賦給s3，并按大小順序排列s1s2s3，則過該點任意微分斜面上的正應力中，s1為最

4、大值，s3為最小值。 第13頁，共21頁。主坐標系因為三個主應力兩兩相互垂直，若取坐標軸與主應力方向一致，則構成主坐標系，其坐標軸稱為主軸。s2s12(y)3(z)1(x)s3第14頁，共21頁。在主坐標系下斜面上的應力為或正應力為主應力張量第15頁，共21頁。10.4.2 主切應力和最大切應力 主切應力任意微分斜面上的切應力也有極大值和最大值。極值切應力又稱為主切應力。 在主坐標系下，任意微分斜面上的切應力上式中消去n，得到tn與l、m的函數關系 第16頁，共21頁。當微分面轉動時，切應力隨之變化。我們所求的是，當l、m、n為何值時，微分面上的切應力取極值。由二元函數f(x,y)求極值的方法可求得微分面上的切應力的極值。 第17頁，共21頁。對此方程組求解分不同情況當s1s2s3時，1） ，此解指主微分面上切應力為零2） 時， 3） 時， 4） 時，此種情況不可能成立。 5）若方程中消去m，則有 第18頁，共21頁。l0m0n0第19頁，共21頁。當s1s2s3時，則切應力在通過該點的任何微分面