1、145簡諧運動的能量Energy of Simple Harmonic Vibration引言：作簡諧運動的系統，因物體有速度而具有動能，因彈簧發生形變而 具有勢能，動能和勢能之和就是其能量。一、簡諧運動的能量能量表達式推導1/假設在1/假設在t時刻質點的位移為X,速度為力則 MBt +)x = A cosOot + 中)v = - Ao sin (cot + 中)則系統動能為：E = mv2 = mA202 sin2(ot + 中) k 22系統勢能為：E = kx2=二kA2 cos2Ct + 中)p 22t t + 中k2kA2 COS2（&t + 中）E=Ek+E = 2 mA 20

2、2sin2 (ot + 平此 1 二k ,考慮到o 2=，則時何m時何 TOC o 1-5 h z 11華E= mA20 2= kA2 22結論彈簧振子作簡諧運動的能量與振 幅的平方成正比。o解釋由于系統不受外力作用，并且內力為 保守力，故在簡諧運動的過程中，動能與 勢能相互轉化，總能量保持不變。說明E-A2，對任何簡諧運動皆成立；動能與勢能都隨時間作周期性變化， 變化頻率是位移與速度變化頻率的兩倍， 而總能量保持不變；且總能量與位移無 關。動能E產丹能量曲線注意理解能量守恒和動能、勢能相互轉化過程。二、能量平均值定義：一個隨時間變化的物理量”在時間T內的平均值定義為f = 1 j f。知0因

3、而彈簧振子在一個周期內的平均動能為E = mA 2 2 sin（&t + Q）lt = mA 2 2 =L kA 2 k T 244因而彈簧振子在一個周期內的平均勢能為E j kA2 cos2 （t + 甲bt = kA2 = mA220結論：簡諧運動的動能與勢能在一個周期內的平均值相等，它們都等 于總能量的一半。三、應用應用1記憶振幅公式由能量守恒關系可得：kA2/2= mv/2+ kx2/2解之即得： （v 2A=、| x 2 + -0應用2推導簡諧運動相關方程在忽略阻力的條件下，作簡諧運動的系統只有動能和勢能（彈性勢能和重 力勢能），且二者之和保持不變，因而有上+ E ）=0將具體問題中

4、的動能與勢能表達式代入上式，經過簡化后，即可得到簡諧 運動的微分方程及振動周期和頻率。這種方法在工程實際中有著廣泛的應用。此方法對于研究非機械振動非常方便。例1.用機械能守恒定律求彈簧振子的運動方程。解：彈簧振子在振動過程中，機械能守恒，即 TOC o 1-5 h z ,17/mv 2 + kx 2 = kA 2 = C22兩邊對時間求導，得c dv 1dx 八m 2v + k 2x = 0dt 2dtd2x ,m - v+ k - xv = 0dt 2d2 x k 八+ x = 0dt 2m令-2= km竺+-2x=0dt 2其解為x = AcosOot + 中)代入守恒方程可得A=A例2.

5、勁度系數為奴原長為/、質量為m的勻質彈簧，一端固定，另一端系一 質量為M的物體，在光滑的水平面上作直線運動，求其運動方程。解：取物體受力平衡位置O為坐標原點，向右為x軸正方向，如圖所示，設 m V V一的情形，即兩個頻率相 差很小，12此時振動z=A cos t=A cos 2kv tx = A cos t=A cos 2kv120102(V V2 A c o 2兀V V2111 c o 2兀120102(V V2 A c o 2兀V V2111 c o 2兀Jc V +Vt隨時間變化比cos2兀二t要緩慢得多，因V +v112由于 2A cos2k -此可以近似地將合振動看成是振幅按2A c

6、os 2兀_t o2緩慢變化得角頻率為V +v七T的“準周期運動”。這種兩個頻率都較大但兩者頻差很小的同方向簡諧運動合成時，所產生的合振幅時而加強時而減弱的現象稱為拍頻（beat）。V + V即合振動的頻率為：合振幅變化的周期：化-七-V拍頻：v =-VI 2用旋轉矢量法理解：假設V V，所以X比 TOC o 1-5 h z _21_2 一A轉動得快，當；轉到與耳 121反方向位置時，合振幅最小；當0轉到與A同方向位置21時，合振幅最大，并且這種變化是周期性的。拍的應用： 用音叉的振動來校準樂器; 利用拍的規律測量超聲波的頻率; 在無線電技術中，可以用來測定無線電波頻率以及調制 三、兩個相互垂

7、直的同頻率簡諧運動的合成問題：某質點同時參與兩個同嚴率的&相垂直方向的簡諧運動X 方向：x = A cosQor + cp /v 方向y = A cosCor + cp ) TOC o 1-5 h z 22改寫為.=coscorcostp - sin cor sin (p HYPERLINK l bookmark103 o Current Document Ai1iy二 = cos cor cos (p - sm cor sm (pA222%2 y2 xy (.(+ -%2 y2 xy (.(+ -coskp -cp )= sm2HA2 A2 A A 21121 2sin 2 Up -甲)21

8、定:這是橢圓方程，其形狀由分振動的振幅aa?和相位差a(p=(p2-(pi確定:(1) Acp = cp (p=0時，=亍工,2 iA1軌跡為直線(簡諧運動)；(2 ) Acp =cp -cp =71 時，21A一一 =-寧1,軌跡為直線(簡諧運動)；A171(3 ) A(p=(p (P=-時，2 i 2X2 V2丁 + ： = 1,軌跡為橢圓(正橢圓)；M A21243兀X 2 y 2（4）中=中2 %=s 時，A2 + A2 = 1，軌跡為橢圓（逆橢圓）。12關于（3）的說明：y方向的振動相位比x方向超前兀/2,當質點在x方向 達到最大位移時，在y方向質點正通過原點向負方向運動，因此質點沿

9、橢圓軌 道運動的方向是順時針的，或者說是右旋的。另外，當0 V 中兀時，質點沿順時針方向運動；當(D 2 - P2 )+ 4P 2P20計算可得，=加0 - 2 P 2一 h2)共振振幅 A =.=r 2pj02-p2 03)共振時受迫振動位移與強迫力之間的相位差中=arctg -I說明:1）3 r略小于3,當阻尼因子3趨于零而發生共振現象時，共振角頻率等于系 統的固有角頻率，3 =3 ;r 02）當3 0, 3 =3。時，共振振幅趨于無窮大，這種情況稱為尖銳共振；此時r 0受迫振動位移與強迫力之間的相位差為中=arctg （-sL =r2振動物體的速度為v = d = -A sin Co t

10、 + 中)=A cosCo t)振動物體的速度為即在3 0時，在共振情況下，速度與強迫力的相位相同。因此強迫力的方向 與物體振動方向相同，強迫力始終對物體作正功，所以輸入振動系統的能量最 大，振幅具有極大值。3）嚴格地從外界與系統交換能量的角度看，速度振幅達到極大值才是嚴格的共 振。但在實際中振幅共振與速度共振是較接近的。共振現象的應用：1）應用：鋼琴、小提琴等樂器利用共振來提高音響效果；收音機利用電磁共振進行選臺；核內的核磁共振被用來進行物質結構的研究和醫療診斷等。2）危害:1904年，一隊俄國士兵以整齊的步法通過彼得堡的一座橋時，由于產生共 振而使橋倒塌；1940年，美國華盛頓州的塔科麥橋，因大風引起的振蕩作用同橋的固有頻 率相近，產生共振而導致毀壞；汽車行駛時，若發動機的頻率接近于車身的固有頻率，