1、第十講組合恒等式一、知識綱要數學比賽中組合數計算和組合恒等式的證明，是以高中擺列、組合、二項式定理為基礎，并加以推行和增補而形成的一類習題，它常常會擁有必定的難度且靈巧性較強。解決這種問題常常對學生優秀的運算能力和思想的靈巧性都有較高的要求。同時，此類問題的解決也有著自己特別的解題技巧。所以，在各種數學比賽中常常被采納。1，基本的組合恒等式簡單的組合恒等式的化簡和證明，能夠直接運用課本所學的基本組合恒等式。事實上，很多比賽中出現的較復雜的組合數記算或恒等式證明，也常常運用這些基本組合恒等式，通過轉變，分解為若干個簡單的組合恒等式而加以解決。課本中的組合恒等式有：CnrCnnr；Cnr11Cnr

2、1Cnr；kCnknCnk11；CnrCrmCnmCnrmm；Cn0Cn1Cn2LCnn2n；Cn0Cn1Cn2n0.L1Cnn2，解題中常用方法運用基本組合恒等式進行變換；運用二項睜開式作為協助函數，經過比較某項的系數進行計算或證明；運用數學概括法；變換乞降指標；運用賦值法進行證明；成立遞推公式，由初始條件及遞推關系進行計算和證明；結構合理的模型。二、運用舉例例1，求證：Cn12Cn23Cn3LnCnnn2n1.證明：依據前面提到的基本的組合恒等式第三條，可得：左側nCn01nCn11nCn21LnCnn11n2n1右側n例2，乞降式k2Cnk的值。k1基本思路：將k2Cnk改寫為kkCnk

3、，先將kCnk用恒等式3提取公因式n，而后再將kCnk11變形成為k1Cnk11Cnk11，而k1Cnk11又能夠持續運用上述恒等變形，這樣就使得各項系數中均不含有改動指標k了。nnnnn解：k2CnkkkCnkknCnk11nkCnk11nk11Cnk11k1k1k1k1k1nk1Cnk11Cnk11nn1Cnk22Cnk11nnk1k1nnnnnn1Cnk22Cnk11nn1Cnk22nCnk11k2k1k2k1nn12n2n2n1nn12n22004kC2005k例3，求1的值。k020042004k1C20051C20052L解：1C2005k1C20052004k01C20040C2

4、0041C20041C20042L12004C20042003C200420041。例4，設m,nNn1n3m2n21。，求證：mkmk13mnk03基本思路：由兩個連續自然數mk與mk1的積，聯想到可化為2Cm2k1，進一步運用CrrCrr1LCrrkCrr11Crr1LCrrk，頻頻運用基本的組合恒等式2即可化簡。n1證明：mkmk12Cm21Cm22LCm2nk02C22C32LCm2Cm21LCm2nC22C32LCm22Cm3n1Cm31n3m23mnn213nrmmn例5，當mn時，求證CnrCrm1rm10mn基本思路：利用基本組合恒等式4化簡原式左側各項，使得化簡后僅有Cnrm

5、m中含有改動指標r。證明：明顯，當mn時，原式左側1mCmmCmm1m。當mn時，利用基本組合恒等式4可得：n1rCnmCnrn1rCnr左側mmCnmmm。只需令rmk，原式即可變成：rmrmnrnmmknmkCnm1mmCnm1Cnkm1mCnkm0。即原式成立。CnrCnm1rmk0k0說明：變換乞降指標是解決較復雜的組合記數的一種常有技巧，它能夠起到簡化計算的目的。變換乞降指標時，要注意乞降指標的上、下限需要同時變換。nC2kn22n12n!例6，求證：。k02n!n!n2n2n2n證明：C2knC2knC2kn22nC2kn22nC2nn1C2nn2LC22nnk0k0kn1kn1n

6、1n22nC2nn1C2nn2LC20n22nC2kn22nC2knC2nnk0k0nnn2n!所以，2C2nk22nC2nn,C2nk22n1C2n22n1右側。k0k022n!n!例7，求證：0212Ln22n!CnCnCnn!n!基本思路1：本題若考慮用基本組合恒等式來證明是比較困難的，注意到左端各項恰巧是二項睜開式中各項系數的平方，考慮結構兩個二項睜開式。證明：由于：1xCn0Cn1xLCnnxn,1nCn0Cn11LCnnn11nxxxn11nx0，將原式明顯，1x的睜開式中，常數項即為所求證等式的左端。不如設x變形為：nnn2nn111x112x1x11xxxxx將上式睜開，此中常

7、數項為C2nn，由此可知，原式成立。基本思路2：注意到恒等式CnrCnnr，要證的等式的左側可變形為：Cn0CnnCn1Cnn1LCnnCn0；而等式右側即為：2n!n!2n!C2nn，所以能夠考慮n!n!2nn!成立適合的組合記數模型來加以證明。證明：設袋子中有n個白球，n個紅球，現從這2n個小球中隨機抽取n個小球，其方法種數為：C2nn2n!n1次以下的取球活動：從n個白球中拿出r個，再。另一方面，能夠當作n!n!從n個紅球中拿出nr個，其取法種數為：CnrCnnrCnr2,r0,1,2,L,n，所以切合題意的取球方法種數是：Cn02Cn12LCnn2。所以原式成立。說明：本題的兩種證明方

8、法均采納了結構思想。結構法是解決比賽問題的一種常用方法。三、穩固練習1，求證：Cnmnm1Cnm1。m2，求證：當n是偶數時，12Cn1Cn22Cn3Cn4L2Cnn1Cnn32n1。3，求證：Cn01Cn11Cn21Cn3L1Cnn2n11。（利用1Cnk1Cnk11）234n1n1k1n1n14，求C2kn1的值。（22n2）k0nnkCnmCnkmm）5，求證：CnkCkmxk1xCnmxm。（利用CnkCkmkmnCnk1CnkC2nn1.（利用2nnn6，求證：1x1x1x）k12nnmmm7，求證：k1CmkCm2nk1Cmn.（利用1x21x1x）k08，求證：CmknCm0CnkC1mCnk1Cm2Cn