1、幾種遞推數(shù)列模型的應(yīng)用數(shù)學(xué)應(yīng)用題是指利用數(shù)學(xué)知識解決其他領(lǐng)域中的問題.高考對應(yīng)用題的考查已逐步成熟，數(shù)學(xué)應(yīng)用是數(shù) 學(xué)最終價值的體現(xiàn)，而以遞推數(shù)列作為背景的應(yīng)用題是高中應(yīng)用題中的常見題型，要正確快速地求解這類 問題，需要在理解題意的基礎(chǔ)上，正確處理數(shù)列中的遞推關(guān)系.下面面分類舉例說明.一an+1-an=C 或a*+1=C（C 為常數(shù)）型n等差、等比數(shù)列是數(shù)列中的基礎(chǔ)，若能轉(zhuǎn)化成一個等差、等比數(shù)列問題，則可以利用等差、等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)求解在應(yīng)用題中的具體表現(xiàn)形式為an+1 - an=C或=（9為常數(shù)）.n例1化工廠的某容器的容積為Vcm3，裝滿了濃度為100%的純酒精，現(xiàn)欲使其稀釋，從中倒出丄后

2、用 清水兌滿，再從中倒出0,又用清水兌滿，為此反復(fù)進(jìn)行了 n次，所得的溶液為多少？欲使?jié)舛炔怀^50%, 至少要進(jìn)行多少次操作？9 a 9解：設(shè)操作k次后的濃度為ak（k=1，2,），則操作k+1次后的濃度為ak+=a ，k 99故數(shù)列an是首項(xiàng)為90%，公比為10的等比數(shù)列，那么操作n次后的濃度為ak=（10）n，9- lg 2要使（10）nW50%，只要n2lg3二宀6.6.故至少操作7次.例2 流行性感冒（簡稱流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染病。某市去年11月份曾發(fā)生流感， 據(jù)資料記載， 11 月1 日，該市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感 染者增

3、加 50 人。由于該市醫(yī)療部門采取措施，使該種病毒的傳播得到控制，從某天起，每天的新感染者 平均比前一天的新感染者減少30人，到11月30日止，該市在這30天內(nèi)感染該病毒的患者共有8670人， 問11月幾日，該市感染此病毒的新患者人數(shù)最多？并求這一天的新患者人數(shù)。解析：設(shè)11月n日這一天新感染者最多，且設(shè)從11月1日到n日，每天新感染的人數(shù)構(gòu)成數(shù)列a ， 從n+1日到30日，每天新感染者構(gòu)成另一個數(shù)列bn這兩個等差數(shù)列的和即為這個月總的感染人數(shù). 由題意可知a+1 - a =50,.從11月1日到n日每天新感染者人數(shù)構(gòu)成一等差數(shù)列；。=20, d=50, n+1n1111月n日新感染者人數(shù)a

4、=50n30；n又由題意可知bn+4 - bn= - 30,.從n+1日到30日，每天新感染者構(gòu)成數(shù)列bn也是一個等差數(shù)列.(20+50n-30)n 50n-60+(-20n+570)(30-n)故共感染者人數(shù)為：=8670,從n+1日到30日，每天新感染者人數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列bn，b1=50n-60,d2=30, b“=（50n60）+（n - 1）（ 30）=20n 30,11 月 30 日新感染者人數(shù)為 b30n=20（30n(20+50n-30)n 50n-60+(-20n+570)(30-n)故共感染者人數(shù)為：=8670,化簡得：n2-61n+588=0,解得 n=12 或 n=49（舍

5、）， 即11月 12日這一天感染者人數(shù)最多，為570人.二、an+=C an+B（C、B 為常數(shù)，且 CHO, BH0）型：對于應(yīng)用題中所涉及的遞歸數(shù)列的模型為an+1=Ca“+B（C、B為常數(shù)，且CH0, BH0）, 一般常采用 兩種轉(zhuǎn)化方法：利用待定系數(shù)法等方法轉(zhuǎn)化為an+1 - p=C （an - p）形式；將an+1=C a”+B與a”=C a“ 1+B 相減可得 an+1 -an =C （an- %A例 3 某企業(yè)投資1千萬元于一個高科技項(xiàng)目，每年可獲利25%，由于企業(yè)間競爭激烈，每年底需要從 利潤中取出資金200萬元進(jìn)行科研、技術(shù)改造與廣告投入，方能保持原有的利潤增長率，問經(jīng)過多少

6、年后， 該項(xiàng)目的資金可以達(dá)到或超過翻兩番（4倍）的目標(biāo)？ （lg2=0.3）。分析：設(shè)經(jīng)過n年后，該項(xiàng)目的資金為a萬元，則容易得到前后兩年a和a之間的遞推關(guān)系：a =an nn-1n n-1（1+25%） -200 （n2）,對于這類問題的具體求解，一般可利用“待定系數(shù)法”5解析：由題，a =a(1+25%) -200 (n2),即 a a -200,nn -1n 4 n -155115設(shè) a +N=：(a +入)，展開得 a =7a +；入，：入=-200,入=-800,.a -800=： (a -800), n 4n -1n 4 n -1 4 4 n 4n -1.a” -800成一個等比數(shù)

7、列，a1=1000(1+25%) - 200=1050, a1 - 800=250, 55.a -800=250 (；) n-i, a =250 (；) n-i+800,n 4 n 4令 a 24000，得(4)n16，解得 n12, n4即至少要經(jīng)過12年才能達(dá)到目標(biāo).例4某林場的木材以每年25%的增長率逐年遞增，但每年的砍伐量是d.如果木材的原儲量為a,從今 年開始，計(jì)劃在20年后使木材儲量翻兩番，求砍伐量的最大值.(lg2=0.3)解析：設(shè)每年木材存在量構(gòu)成數(shù)列,則-4d-4d),ai=a，an+i=4an-d，則(an-m)=4 (叫-嚴(yán))，取 m=4d，即(an-4d)=4 G-i5

8、5an4d 構(gòu)成公比為4的等比數(shù)列，其中 a=a-4d, an4d=(a-4d) (?n-1.55即 an=4d+(a-4d)(? n-1, a2i=4d+(a-4d)(4)20,58*.*lg2=0.3,(4)20=100, .a?=100a-396d,由 a24a 得 100a-396d三4a，解得 dW/a.8所以砍伐量的最大值為33a.三、a -a =Bqn(A、B為常數(shù)，且BH0)型：有的應(yīng)用題中的數(shù)列遞推關(guān)系，a與a 1的差(或商)不是一個常數(shù)，但是所得的差f(n)本身構(gòu)成一 個等差或等比數(shù)列，這在一定程度上增加了遞推的難度.通常采用累差法或迭代法.例5某產(chǎn)品具有一定的時效性，在這

9、個時效期內(nèi)，由市場調(diào)查可知,在不作廣告宣傳且每件獲利a元的 b前提下，可賣出b件若作廣告宣傳，廣告費(fèi)為n千元時比廣告費(fèi)為(n- 1)千元時多賣出亍件，(nN*)o 2n試寫出銷售量s與n的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)a=10,b=4000時廠家應(yīng)生產(chǎn)多少件這種產(chǎn)品，做幾千元廣告，才能獲利最大？分析：對于(1)中的函數(shù)關(guān)系，設(shè)廣告費(fèi)為n千元時的銷量為sn,則sn-1表示廣告費(fèi)為(n - 1)千元時的銷 b nn-1b量，由題意，sn-sn-1=2；，可知數(shù)列sn不成等差也不成等比數(shù)列，但是兩者的差;構(gòu)成等比數(shù)列，對于這 類問題一般有以下兩種方法求解：b解法一：直接列式：廣告費(fèi)為1千元時，s=b+2；bb廣告費(fèi)

10、為2千元時，s=b+b+b;廣告費(fèi)為n千元時s=b+2+23+_+2；b b b b 1由題，s=b+2+2?23+2=b(2-)解法二：(累差疊加法)設(shè)s0表示廣告費(fèi)為0千元時的銷售量, bs由題：S1- S0s由題：S - Sb2122 ，相加得 Sn-S0=2+2?2?+2：b b b b 1即 s= b+2+22+23+2n=b(2-2(2) b=4000 時，s=4000(2-).設(shè)獲利為 t,則有2n1t=s 10 - 1000n=40000(2)-1000n.2nf t 三Tf n5欲使 Tn 最大，貝 y： f T、Tn+1，得nw5,故 n=5,此時 s=7875.、 n n

11、 1I即該廠家應(yīng)生產(chǎn)7875件產(chǎn)品，做5千元的廣告，能使獲利最大.例 6 將四邊形的每條邊都涂以紅、黃、藍(lán)三種顏色中的一種，要使得相鄰的邊的顏色互不相同，有多 少種不同的涂色方法？解析：本題從表面上看是排列組合的問題，與數(shù)列沒有關(guān)系，但直接考慮并不簡單，為此，我們考慮 更一般的問題(即對于n邊形的涂色問題)，并建構(gòu)如下遞推數(shù)列的模型：設(shè)n邊形(各邊依次為a , a2，a )滿足條件的涂色方法有b種.考慮n+1邊形的涂法：12nn從邊a1開始考慮，對于a”有3種涂法；對于邊a2，由于要不同于邊a，故有2種涂法；對于 a,有2種涂法；最后考慮邊a +1，如果不考慮這條邊是否與邊a,同色，則也應(yīng)該有

12、2種涂法，故涂法種 nn+11數(shù)為3X2.上述涂色的方法中，包括兩種，第一種是邊an+1與邊a,的顏色不同，這種涂色方法恰好符合題意，其總 數(shù)應(yīng)該為b +1 ；第二種是邊a +1與邊a,的顏色木相同，對于這一種涂色方法，如果我們把邊a+1與邊a,看作 是同一條邊，則其涂色方法也滿足題目中對于n邊形的要求，故涂色方法總數(shù)應(yīng)該為b . 由此，不難得出：nbn+1+bn=3X2n.所以,bn+1bn,=3X2n1.另一方面，顯然有 b3=3X2X1=6.所以，b2k+1=(b2k+1 b2k1)+(b2k-1 b2k3)+ +(b5 b3)+b3=3 X 22k1+3 X 22k3+ + 3 X 2

13、3+3 X 2=3 X 22k+1 - 2方2丘=3 X22k -方2丘+1=22丘+2, (kN,且 k三2)顯然， b4=18四、an+1=an(l+B q”)，(B為非零常數(shù)，且BH1)型對于具有遞推關(guān)系a +1=a (1+B qn), (B為非零常數(shù)，且BH1)的應(yīng)用題，一般是與不等關(guān)系相聯(lián)系 的比較型應(yīng)用題，評分是利用a+1與a的大小關(guān)系來確定不等關(guān)系，從而使問題獲解.n+1n例7某魚塘養(yǎng)魚，由于改進(jìn)了飼養(yǎng)技術(shù)，預(yù)計(jì)第一年的增長率為200%，以后每年的增長率是前一年的 一半，設(shè)原來的產(chǎn)量為a, (1)寫出改進(jìn)飼養(yǎng)技術(shù)后的第一年、第二年、第三年的產(chǎn)量，并寫出第n年與第 n-1年(n2,

14、nWN)的產(chǎn)量之間的關(guān)系式.(2)由于存在池塘老化及環(huán)境污染等因素，估計(jì)每年將損失年產(chǎn) 量的 10%，照這樣下去，以后每年的產(chǎn)量是否始終是逐年提高的？若是請給予證明；若不是，請說明從第 幾年起，產(chǎn)量將不如上一年.(lg2=0.3010,lg3=0.4771)解：(1)設(shè)改進(jìn)飼養(yǎng)技術(shù)后，第n年的產(chǎn)量為an(nWN*),則3=a(1+200%)=3a, a?二a (1+200%)(1+100%)=6a, a=a (1+50%)=6a 0=9a,第n年與第n-1年的產(chǎn)量之間的關(guān)系式是a =a (1+；_)(n三2, nN), TOC o 1-5 h z n n-12n2(2)若考慮損失因素，則第n年

15、與第n-1年的產(chǎn)量之間的關(guān)系式是a =a (1+亠)(110%)= a (1+占) 0.9,(n22),.=0.9(1+4),n n-12 n-2n-12 n-2a2 n-2n-1人/1、口,11011令 a Wa ，則 0.9(1+)W1,即 1+ W , 7,A2n-29,n n-12 n-22 n-2 92 n-2 9即 n2M, .n三5.17, n三6.lg2.以后每年的產(chǎn)量不是始終逐年提高，從第6年起，產(chǎn)量將不如上一年.五、二個(或多個)不同數(shù)列之間的遞推關(guān)系有的應(yīng)用題中還會出現(xiàn)多個不同數(shù)列相互之間的遞推關(guān)系，對于該類問題，要正確處理數(shù)列間的相互 聯(lián)系，整體考慮。例8現(xiàn)有流量均為3

16、00m2/s的兩條河流，A、B匯合某處后，不斷混合，它們的含沙量分別為2kg/m3 和02kg/m3,假設(shè)從匯合處開始，沿岸設(shè)有若干觀測點(diǎn)，兩股水流在流經(jīng)相鄰兩個觀測點(diǎn)的過程中，其混 合效果相當(dāng)于兩股水流在1秒內(nèi)交換100m3的水量，即從A股流入B股100m3水，同時從B股流入A股 100m3水，并分別混合問從幾個觀測點(diǎn)開始，兩股河水的含沙量之差小于0. 01kg/m3(不考慮泥沙沉淀).注：設(shè)含沙量為akg/m3、bkg/m3的兩股水流在單位時間內(nèi)流過的水量分別為p、q,則其混合后的含 沙量為 aP+bqkg/m3.p+q解：設(shè)第n個觀測點(diǎn)處A股水流含沙量為akg/m3，B股水流含沙量為bkg/m3, n=1， 2,，則 a1=2， b1