1、ch13機械振動要點ch13機械振動要點16/16ch13機械振動要點13機械振動解答13-1并做出有一彈簧振子，振幅x-t圖、v-t圖和A=2.010-2m，周期a-t圖。T=1.0s，初相=3/4。試寫出它的運動方程，13-1解析彈簧振子的振動是簡諧運動。振幅A、初相、角頻率是簡諧運動方程xAcost的三個特色量。求運動方程就要想法確定這三個物理量。題中除A、已知外，2可經(jīng)過關(guān)系式確定。振子運動的速度T和加速度的計算仍與質(zhì)點運動學中的計算方法同樣。解因2，則運動方程TxAcostAcos2ttT依照題中給出的數(shù)據(jù)得x(2.0102m)cos(2s1)0.75t振子的速度和加速度分別為vdx

2、/dt(4102ms1)sin(2s1)t0.75ad2x/dt2(82102ms1)cos(2s1)t0.75x-t、v-t及a-t圖如圖13-l所示13-2若簡諧運動方程為x(0.01m)cos(20s1)t，求：（1）振幅、頻率、角頻率、周期和4初相；（2）t=2s時的位移、速度和加速度。13-2解析可采用比較法求解。將已知的簡諧運動方程與簡諧運動方程的一般形式xAcost作比較，即可求得各特色量。運用與上題同樣的辦理方法，寫出位移、速度、加速度的表達式，代入t值后，即可求得結(jié)果。解（l）將x(0.10m)cos(20s1)t0.25與xAcost比較后可得：振幅A=0.10m，角頻率2

3、0s1，初相0.25，則周期T2/0.1s，頻率1/T10Hz。（2）t=2s時的位移、速度、加速度分別為x(0.10m)cos(400.25)7.07102mvdx/dt(2ms1)sin(400.25)ad2x/dt2(402ms2)cos(400.25)13-3設(shè)地球是一個半徑為R的平均球體，密度-3。現(xiàn)假定沿直徑鑿一條地道。5.5103kg?m若有一質(zhì)量為m的質(zhì)點在此地道內(nèi)做無摩擦運動。（1）證明此質(zhì)點的運動是簡諧振動；（2）計算其周期。13-3解析證明方法與上題相似。解析質(zhì)點在地道內(nèi)運動時的受力特色即可。證（l）取圖13-3所示坐標。當質(zhì)量為m的質(zhì)點位于x處時，它受地球的引力為FGm

4、xmx2式中G為引力常量，mx是以x為半徑的球體質(zhì)量，即mx4x3/3。令k4Gm/3，則質(zhì)點受力F4Gmx/3kx所以，質(zhì)點作簡諧運動。（2）質(zhì)點振動的周期為T2m/k3/G5.07103s13-4以以下列圖，兩個輕彈簧的勁度系數(shù)分別為k1和k2，物體在圓滑斜面上振動。（1）證明其運動仍是簡諧振動；（2）求系統(tǒng)的振動頻率。13-4解析從上兩題的求解知道，要證明一個系統(tǒng)作簡諧運動，第一要解析受力情況，今后看可否滿足簡諧運動的受力特色（或簡諧運動微分方程）。為此，建立如圖13-4（b）所示的坐標。設(shè)系統(tǒng)平衡時物體所在地址為坐標原點O，Ox軸正向沿斜面向下，由受力解析可知，沿Ox軸，物體受彈性力及

5、重力分力的作用，其中彈性力是變力。利用串連時各彈簧受力相等，解析物體在任一地址時受力與位移的關(guān)系，即可證得物體作簡諧運動，并可求出頻率。證設(shè)物體平衡時兩彈簧伸長分別為x1、x2，則由物體受力平衡，有mgsink1x1k2x2按圖（b）所取坐標，物體沿x軸搬動位移x時，兩彈簧又分別被拉伸x1和x2，即xx1x2。則物體受力為Fmgsink2(x2x2)mgsink1(x1x1)將式（1）代人式（2）得Fk1x1k2x2由式（3）得x1F/k1、x2F/k2，而xx1x2，則獲取Fk1k2/(k1k2)xkx式中kk1k2/(k1k2)為常數(shù)，則物體作簡諧運動，振動頻率11k2)/m/2k/mk1

6、k2/(k122議論（1）由本題的求證可知，斜面傾角對彈簧可否作簡諧運動以及振動的頻率均不產(chǎn)生影響。事實上，無論彈簧水平放置、斜置仍是豎直懸掛，物體均作簡諧運動。而且可以證明它們的頻率同樣，均由彈簧振子的固有性質(zhì)決定，這就是稱為固有頻率的原因。（2）若是振動系統(tǒng)如圖13-4（c）（彈簧并聯(lián)）或如圖13-4（d）所示，也可經(jīng)過物體在某一地址的受力解析得出其作簡諧運動，且振動頻率均為1(k1k2)/m2讀者可以一試。經(jīng)過這些例子可以知道，證明物體可否作簡諧運動的思路是同樣的13-5為了測得一物體得質(zhì)量m，將其掛在一彈簧上讓其自由振動，測得振動頻率11.0Hz。而將另一質(zhì)量m0.5kg的物體單獨掛在

7、該彈簧上時，測得振動頻率22.0Hz。設(shè)振動均在彈簧的彈性限度內(nèi)進行，求被測物體的質(zhì)量。13-5解析物體掛在彈簧上組成彈簧振子系統(tǒng)，其振動頻率1k/m，即1/m。采用比較2頻率的方法可求出未知物體的質(zhì)量。解由解析可知，1/m，則有1/2m/m。依照題中繪出的數(shù)據(jù)可得物體的質(zhì)量為mm(2/1)22.0kg13-6在以以下列圖的裝置中，一勁度系數(shù)為k的彈簧，一端固定在墻上，另一端連接一質(zhì)量為m1的物體A，置于圓滑水平桌面上。現(xiàn)經(jīng)過一質(zhì)量為m、半徑為R的定滑輪B（可視為勻質(zhì)圓盤）用細繩連接另一質(zhì)量為m2的物體C，設(shè)細繩不可以伸長，且與滑輪間無相對滑動，求系統(tǒng)的振動角頻率。13-6解析這是一個由彈簧、

8、物體A、C和滑輪B組成的簡諧運動系統(tǒng)。求解系統(tǒng)的振動頻率可采用兩種方法。（1）從受力解析著手。如圖13-6（b）所示，設(shè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時，與物體A相連的彈簧一端所在地址為坐標原點O，此時彈簧已伸長x，且kx0m2g。當彈簧沿Ox0軸正向從原點O伸長x時，解析物體A、C及滑輪B的受力情況，并分別列出它們的動力學方程，可解得系統(tǒng)作簡諧運動的微分方程。（2）從系統(tǒng)機械能守恒著手。列出系統(tǒng)機械能守恒方程，今后求得系統(tǒng)作簡諧運動的微分方程。解1在圖13-6（b）的狀態(tài)下，各物體受力如圖13-6（c）所示。其中Fk(xx0)i。考慮到繩子不可以伸長，對物體A、B、C分別列方程，有FT1k(xx0)m1d

9、2x(1)dt2d2xm2gFT2m2dt2(2)1d2x(FT2FT1)RJ2mRdt2(3)kx0m2g(4)方程（3）中用到了FT1FT1、FT2FT2、JmR2/2、及a/R。聯(lián)立式（l）-式（4）可得d2xkx0dt2mm2m/21則系統(tǒng)振動的角頻率為k/(12m/2)mm解2取整個振動裝置和地球為研究系統(tǒng)，因沒有外力和非保守內(nèi)力作功，系統(tǒng)機械能守恒。設(shè)物體平衡時為初始狀態(tài)，物體向右偏移距離X（此時速度為對v、加速度為a）為末狀態(tài)，則由機械能守恒定律，有12121212122kx0m2gx2m1v2m2v2J2k(xx0)在列出上述方程時應(yīng)注意勢能（重力勢能和彈性勢能）零點的采用。為

10、運算方便，選初始狀態(tài)下物體C所在地址為重力勢能零點；彈簧原長時為彈性勢能的零點。將上述方程對時間求導得0m2gvm1vdvm2vdvJdvk(xx0)2dtdtdt將JmR2/2、Rv、dv/dtd2x/dt2和m2gkx0代人上式，可得d2xkx0dt2mmm/221式（6）與式（5）同樣，表示兩種解法結(jié)果一致。17-7一放置在水平桌面上的彈簧振子，振幅A=2.010-2m,周期T=0.50s。當t=0時，（1）物體在正方向端點；（2）物體在平衡地址向負方向運動；（3）物體在.x=1.010-2m處，向負方向運動；（4）物體在.x=-1.010-2m處，向正方向運動。求以上各種情況的運動方程

11、。13-7解析在振幅A和周期T已知的條件下，確定初相中是求解簡諧運動方程的要點。初相的確定通常有兩種方法。（1）解析法：由振動方程出發(fā)，依照初始條件，即t=0時，x=xo和vv0來確定值。（2）旋轉(zhuǎn)矢量法：如圖13-7（a）所示，將質(zhì)點P在Ox軸上振動的初始地址x0和速度v0的方向與旋轉(zhuǎn)矢量圖相對應(yīng)來確定。旋轉(zhuǎn)矢量法比較直觀、方便，在解析中常采用。解由題給條件知A2.0102m，2/T4s1，而初相可采用解析中的兩種不同樣樣方法來求。解析法：依照簡諧運動方程xAcost，當t0時有x0Acos，v0Asin。當1）x0A時，cos2）x0A時，cos121，則0，則0；2，因v0，取2；202

12、（3）x01.02時，則3，因v0，取3；10mcos30.5303（4）x1.0102m時，4，則4，因v，取44；0cos0.53003旋轉(zhuǎn)矢量法：分別畫出四個不同樣樣初始狀態(tài)的旋轉(zhuǎn)關(guān)量圖，如圖13-7（b）所示，它們所對應(yīng)的初相分別為10，1/2，1/3，14/3。振幅A、角頻率、初相均確定后，則各相應(yīng)狀態(tài)下的運動方程為（1）x(2.0102m)cos(4s1)t（2）x(2.0102m)cos(4s1)t2（3）x(2.0102m)cos(4s1)t3(4）x(2.0102m)cos(4s1)t4313-8有一彈簧，當其下端掛一質(zhì)量為m的物體時，伸長量為9.810-2m。若使物體上下振

13、動，且規(guī)定向下為正方向。（1）t=0時，物體在平衡地址上方8.010-2m處，由靜止開始向下運動，求運動方程。（2）t=0時，物體在平衡地址并以0.60m/s的速度向上運動，求運動方程。13-8解析求運動方程，也就是要確定振動的三個特色物理量A、，和。其中振動的角頻率是由彈簧振子系統(tǒng)的固有性質(zhì)（振子質(zhì)量m及彈簧勁度系數(shù)k）決定的，即k/m，可依照物體受力平衡時彈簧的伸長來計算；振幅A和初相需要依照初始條件確定。解物體受力平衡時，彈性力F與重力P的大小相等，即F=mg。而此時彈簧的伸長量l9.8102m。則彈簧的勁度系數(shù)kF/lmg/l。系統(tǒng)作簡諧運動的角頻率為k/mg/l10s1（1）設(shè)系統(tǒng)平

14、衡時，物體所在處為坐標原點，向下為x軸正向。由初始條件t=0時，x108.0102m，v100可得振幅Ax210(v10/)28.0102m；應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矢量法可確定初相1。圖13-8（a）。則運動方程為x1(8.0102m)cos(10s1)t（2）t=0時，x200，v200.6ms1，同理可得A2x220(v20/)26.0102m，/2；圖13-8（b）。則運動方程為x1(6.0102m)cos(10s1)t0.513-9某振動質(zhì)點的x-t曲線以以下列圖，試求：（1）運動方程；（2）點P對應(yīng)的相位；（3）到達點P相應(yīng)地址所需要的時間。13-9解析由已知運動方程畫振動曲線和由振動曲線求運動方

15、程是振動中常有的兩類問題。本題就是要經(jīng)過x-t圖線確定振動的三個特色量量A、，和0，從而寫出運動方程。曲線最大幅值即為振幅A；而、0平時可經(jīng)過旋轉(zhuǎn)矢量法或解析法解出，一般采用旋轉(zhuǎn)矢量法比較方便解（1）質(zhì)點振動振幅A0.10m。而由振動曲線可畫出t=0和t=4s時旋轉(zhuǎn)矢量，如圖13-9（b）所示。由圖可見初相0/3(或05/3），而由t1t023得/24s1，則運動方程為x(0.10m)cos5s1t324（2）圖14-9（a）中點P的地址是質(zhì)點從A/2處運動到正向的端點處。應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖如圖13-10（C）所示。當初相取0/3時，點P的相位為P0(tp0)0（若是初相取05/3，則點P相應(yīng)的相

16、位應(yīng)表示為P0(tp0)2）。（3）由旋轉(zhuǎn)關(guān)量圖可得(tp0)3,則tp1.6s13-10在一塊平板下裝有彈簧，平板上放一質(zhì)量為1.0kg的重物。現(xiàn)使平板沿豎直方向做上下簡諧運動，周期為0.50s，振幅為2.010-2m。求：（1）平板到最低點時，重物對平板的作用力；（2）若頻率不變，則平板以多大的振幅振動時，重物會跳離平板？（多大的頻率振動時，重物會跳離平板？3）若振幅不變，則平板以13-10解析按題意作表示圖13-10。物體在平衡地址周邊隨板作簡諧運動，此間受重力P和板支持力F作用，F(xiàn)是一個變力。按牛頓定律，有NNd2yFmgFNmdt2（l）由于物體是隨板一起作簡諧運動，所以有ad2yA

17、2cos(t)，則式（l）可改寫為dt2FNmgmA2cos(t)（2）(1）依照板運動的地址，確定此刻振動的相位t，由式（2）可求板與物體之間的作用力。（2）由式（2）可知支持力F的值與振幅A、角頻率和相位t有關(guān)。在振動過程中，N當t時FN最小。而重物恰好跳離平板的條件為FN=0，所以由式（2）可分別求出重物跳離平板所需的頻率或振幅。解（l）由解析可知，重物在最低點時，相位t0，物體受板的支持力為FNmgmA2mgmA(2T)212.96N重物對木塊的作用力FN與FN大小相等，方向相反。（2）當頻率不變時，設(shè)振幅變?yōu)锳。依照解析中所述，將F=0及t代入解析中N式（2），可得Amg/m2gT2

18、/426.2102m（3）當振幅不變時，設(shè)頻率變?yōu)椤Ｍ瑯訉0及代入解析中式（2），可得Nv1mg/mA3.52Hz2213-11一物體沿x軸做簡諧運動，振幅為0.06m，周期為2.0s，當t=0時位移為0.03m，且向軸正方向運動。求：（1）t=0.5s時，物體的位移、速度和加速度；（2）物體從x=-0.03m處向xx軸負向運動開始，到平衡地址，最少需要多少時間？13-11解析已知運動方程即可求物體的位移、速度、加速度。所以，寫出運動方程是本題的要點。方法可拜會題13-7。至于質(zhì)點從x=-0.03m運動到x0地方需的最短時間，仍可采用解析法或旋轉(zhuǎn)矢量法求解。其解（1）由題意知A=0.06m、

19、2/Ts1由旋轉(zhuǎn)矢量圖13-11（a）可確定初相則振動方程為x(0.06m)coss1t3當t=0.5s時質(zhì)點的位移、速度、加速度分別為x(0.06m)cos230.052vdxdt(0.06ms1)sin(23)0.094ms123)ad2xdt(0.062ms2)cos(20.513ms2（2）質(zhì)點從x=-0.03m運動到平衡地址的過程中，旋轉(zhuǎn)關(guān)量從圖13-11（b）中的地址M轉(zhuǎn)至地址N，矢量轉(zhuǎn)過的角度(即相位差）5/6。該過程所需時間為t0.833s13-12兩質(zhì)點做通頻率、同振幅的簡諧運動。第一個質(zhì)點的運動方程為x1Acos(t)，當?shù)谝粋€質(zhì)點自振動正方向回到平衡地址時，第二個質(zhì)點恰在

20、振動正方向的端點。試用旋轉(zhuǎn)矢量圖表示它們，并求第二個質(zhì)點的運動方程及它們的相位差。13-12解圖13-12為兩質(zhì)點在特準時辰表示第二個質(zhì)點振動的旋轉(zhuǎn)矢量。t的旋轉(zhuǎn)矢量圖，OM表示第一個質(zhì)點振動的旋轉(zhuǎn)矢量；ON可見第一個質(zhì)點振動的相位比第二個質(zhì)點超前/2，即它們的相位差/2。第二個質(zhì)點的運動方程應(yīng)為x2Acos(t2)13-13有一單擺，長為1.0m，最大擺角為50，以以下列圖。（1）求擺的角頻率和周期；（2）設(shè)開始時擺角最大，試寫出此單擺的運動方程；（3）當擺角為30時的角速度和擺球的線速度時多少？13-13解析單擺在擺角較小時（50）的搖動，其角量與時間的關(guān)系可表示為簡諧運動方程maxcos

21、(t)，其中角頻率仍由該系統(tǒng)的性質(zhì)（重力加速度g和繩長l）決定，即g，質(zhì)點的角速度與旋轉(zhuǎn)矢量的l。初相與擺角角速度（角頻率）均是不同樣樣的物理看法，必定注意區(qū)分。解（1）單擺角頻率及周期分別為gs1;T2sl3.132.01（2）由t=0時max50可得振動初相0，則以角量表示的簡諧運動方程為136cos(3.13s)t(3）擺角為30時，有cos(t)0.6，則這時質(zhì)點的角速度為maxddt0.8maxsin(t)max1cos2(t)max0.218s1線速度的大小為vlddt0.218ms1議論質(zhì)點的線速度和角速度也可經(jīng)過機械能守恒定律求解，但結(jié)果會有極細小的差別。這是由于在導出簡諧運動

22、方程時曾取sin，所以，單擺的簡諧運動方程僅在較小時建立。13-14為了測月球表面的重力加速度，宇航員將地面上的秒擺（周期為2.00s）拿到月球上去，如測得周期為4.90s，地球表面得重力加速度為9.80m/s2，則月球表面得重力加速度是多少？13-14解由單擺的周期公式可知222ggTTT2lgg1T，故有ME，則月球的重力加EM速度為gMTETM2gE1.63ms213-15一平均等邊三角形薄板，質(zhì)量為m，高度為h，以以下列圖。當其繞AB邊（與水平軸線重合）轉(zhuǎn)動時，試證其做細小振動的周期為T2h/2g。13-15解析三角形薄板繞AB軸的微振動是一復擺運動。復擺振動周期為T2Jmglc，因此

23、，只要知道復擺繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量J和轉(zhuǎn)軸到質(zhì)心的距離lC，其振動周期即可求得。證為了求三角形薄板繞AB軸的轉(zhuǎn)動慣量，按圖13-15（b）取坐標。圖中任取一距軸y寬dy的狹長質(zhì)元，其質(zhì)量dmsdSs2(hy)ty30dy，式中s為薄板的面密度，smS3mh2。該質(zhì)元對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量dJ2s(hy)ty30y2dy，則三角形薄板對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J3h(h)2dymh2630lch3。將J和lC的值又由質(zhì)心定義可知，等邊三角形薄板的質(zhì)心至底邊（轉(zhuǎn)軸）的距離代入公式T2Jmglc中，即可證得該復擺的周期為T2h2g13-16有一密度平均得金屬T字形細尺，以以下列圖。它由兩根金屬米尺組成。若它可繞經(jīng)過點

24、的垂直紙面的水平軸轉(zhuǎn)動，求其做細小振動的周期。13-16解T字形尺的細小振動是復擺振動。T字形尺繞軸O的轉(zhuǎn)動慣量J。由兩部分組成，其中尺OD對該軸的轉(zhuǎn)動慣量為J11ml23尺AB對軸O的轉(zhuǎn)動慣量為J2，依照平行軸定理可得J21ml2ml213ml21212故有JOJ1J217ml212圖13-16中T字形尺的質(zhì)心C至點O的距離為lC，由質(zhì)心定義可得lc0.75l。則T字形尺的振動周期為T2JO2mglc217l18g1.95s13-17以以下列圖，一勁度系數(shù)為k的輕彈簧，其下掛有一質(zhì)量為物體從盤上方高為h處自由落到盤中，并和盤粘在一起振動。m1的空盤。現(xiàn)有一質(zhì)量為m2的問：（1）此時的振動周期

25、與空盤作振動的周期有和不同樣樣？（2）此時的振幅為多大？13-17解（1）空盤作振動，周期T0M2km物體與空盤一起作振動，周期為TTmM2T0則k2）如圖示，m物體由高度h處自由落下，與盤粘在一起，此過程為非彈性碰撞，設(shè)碰撞的速度為v，依照動量守恒m2ghmMvm2ghvMm設(shè)碰撞瞬時開始計時，平衡地址為坐標原點，則t=0y0 x2x1式中x1為m物未落入盤時彈簧的伸長量，即mg=kx1x2為重物落入盤后處于平衡地址時，彈簧的伸長量即Mmgkx2y0mMgMgmg所以kkkm2gh2v0vA2v0同時Mmy02k此時mMAm2g2m22ghkmg12khk2MmkMg所以mmv01M2gh2

26、khtg1tgmtg1y0mgkgmMkmM所以系統(tǒng)的振動表達式為ymg12khcoskttg12khkMmgmMgMm13-18一氫原子在分子中的振動可視為簡諧運動，已知氫原子的質(zhì)量-27m=1.6810kg，振動頻率1.41014Hz，振幅A=1.010-11m，試計算：（1）此氫原子的最大速度；（2）與此振動相聯(lián)系的能量。13-18解（1）簡諧運動系統(tǒng)中振子運動的速度vAsin(t)故氫原子振動的最大速度為vmaxA2vA6.28103ms1（2）氫原子的振動能量Emv2max/23.311020J13-19試證明：（1）在一個周期中，簡諧運動的動能和勢能對時間的平均值都等于kA2/4；

27、（2）在一個周期中，簡諧運動的動能和勢能對地址的平均值分別等于kA2/3和kA2/6。13-19證（1）簡諧運動的動能和勢能分別為Ek1kA2sin2(t)2Ep1kA2cos2(t)2則在一個周期中，動能與勢能對時間的平均值分別為Ek1T12sin2(t)2/4T02kAdtkAEp1T122t)dt2/4T02kAcos(kA（2）因簡諧運動勢能Epkx2/2，則勢能在一個周期中對地址的平均值為Ep1A12dx122Akx6kAA2則動能在一個周期中對地址的平均值為EkEEpEEp1kA2313-20有兩個同方向同頻率的簡諧運動，其合振動的振幅為0.20m，和振動的相位與第一個振動的相位差

28、為/6，第一個振動的振幅為0.173m。求第二個振動的振幅及兩振動的相位差。13-20解采用旋轉(zhuǎn)矢量合成圖求解。如圖其初相為零；按題意，合振動的旋轉(zhuǎn)矢量13-20所示，取第一個振動的旋轉(zhuǎn)矢量A1沿Ox軸，即令A(yù)與A1之間的夾角/6。依照矢量合成，可得第二個振動的旋轉(zhuǎn)矢量的大小（即振幅）為AA2A22AAcos0.01m211由于A1、A2、A的量值恰好滿足勾股定理，故A1與A2垂直，即第二個振動與第一個振動的相位差為213-21將頻率為348Hz的標準音叉振動和一個待測頻率的音叉振動合成，測得拍頻為3.0Hz。若在待測頻率音叉的一端上加上一小塊物體，則拍頻將減小，求待測頻率的固有頻率。13-21解析這是利用拍現(xiàn)象來測定振動頻率的