兩個隨機變量的函數的分布_第1頁
兩個隨機變量的函數的分布_第2頁
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文檔簡介

1、兩個隨機變量的函數的分布第1頁，共23頁。1. Z=X+Y的分布例1 設（X、Y）是二維連續型隨機變量，它具有的概率密度為 f (x, y),求Z=X+Y的密度.解: Z=X+Y的分布函數是: FZ (z)=P (Z z)=P(X+Y z) =Ddxdyyxf),(這里積分區域D=(x, y): x+y z是直線x+y =z 左下方的半平面.第2頁，共23頁。+=zyxZdxdyyxfzF),()(化成累次積分,得-=yzZdydxyxfzF),()( 固定z和y,對方括號內的積分作變量代換, 令x=u-y,得-=zZdyduyyufzF),()(-=zdudyyyuf),(交換積分次序第3頁

2、，共23頁。由概率密度與分布函數的關系, 即得Z=X+Y的概率密度為:由X和Y的對稱性, fZ (z)又可寫成以上兩式即是兩個隨機變量和的概率密度的一般公式.-=zZdudyyyufzF),()(第4頁，共23頁。特別，當X和Y獨立，設(X,Y)關于X,Y的邊緣密度分別為fX(x) , fY(y) , 則上述兩式化為: -=dyyfyzfzfYXZ)()()(-=dxxzfxfzfYXZ)()()(+-+-=-=dxxzfxfdyyfyzfffff)()()()(*,*,YXYXYXYX即記作式這兩個公式稱為卷積公-=dyyfyzfzfYXZ)()()(-=dxxzfxfzfYXZ)()()(

3、第5頁，共23頁。例2 設X,Y是相互獨立的服從標準正態分布N(0, 1)的隨機變量。求Z=X +Y的概率密度。-=-xexfx2221)(pX由于解+-=-=-=有時類似地上述結果容易推廣到n個隨機變量的情形。 第16頁，共23頁。設X1，X2，Xn是n個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數分別為)(,),(),(2121nxFxFxFnXXXL)()()()(),max(21max21zFzFzFzFMnnXXXXXXLL*=的分布函數為則)(1)(1)(11)(),min(,21min21zFzFzFzFNnnXXXXXX-*-* -=LL有同樣第17頁，共23頁。特別當X1，X2，Xn是

4、相互獨立且具有相同分布函數時，設它們的分布函數為F(x) ，則,)()(maxnxFzF=.)(11)(minnzFzF-=第18頁，共23頁。例4 設某電路系統L由兩個獨立的子系統L1，L2組合而成，其聯接的方式分別為(1)串聯；(2)并聯；(3)備用(當L1損壞時, L2開始工作)。如圖(1)XYL1L2(2)YXL2L1(3)YXL1L2已知L1和L2的壽命分別為X和Y ,其概率密度分別為。第19頁，共23頁。(1) 串聯的情況第20頁，共23頁。于是Z=min (X，Y )的概率密度為第21頁，共23頁。(2) 并聯的情況 由于當且僅當L1, L2都損壞時, 系統L才停止工作,所以這時L的壽命Z為 Z=max (X，Y )于是Z=max (X，Y )的概率密度為第22頁，共23頁。(3) 備用情況 由于這

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