1、改進粒子群算法在系桿拱橋成橋索力優化中的應用系桿拱橋是一種基于拱肋、吊桿、系桿，外部靜定內部超靜定的三元結構，因其整體剛度較大，力學性能較好、施工便捷、造價低等特點被國內外廣泛應用。系桿拱橋以合理成橋狀態為設計目標，即在恒載作用下系桿、拱肋的受力合理、主橋線形平順，這就需要吊桿具有合適的成橋索力。因此，系桿拱橋的優化問題便可轉化成吊桿索力的優化問題。目前系桿拱橋吊桿的索力求解方法主要沿用一些斜拉橋上的索力求解方法，Leonhardt率先提出了剛性支撐連續梁法并最早應用于美國P-K橋的分析中；肖汝誠等1，2結合影響矩陣推導了彎曲最小能量法的公式；梁鵬等3提出通過調整結構剛度來近似求解最小彎曲能量

2、法。傳統的調索方法因受限于各自的局限性而不具有普遍適用性，如剛性支撐連續梁法不能考慮多條件的約束問題，因而用其計算的索力值往往不合理；彎曲最小能量法在結合影響矩陣情況下，想要精確求解計算會十分繁瑣，而采用近似求解方法也需要不斷調節結構的剛度才能使其達到預期結果。為了使索力求解的結果更加準確，很多學者將數學方法與橋梁模型相結合4，5，然而通過數學方法所得的目標函數往往十分復雜而不易求解。為了避免傳統調索方法的缺點，且能夠快速有效地求解出索力，有學者提出將計算機智能優化算法與索力結合的方法，陳志軍等6、吳霄等7分別采用傳統的粒子群和遺傳算法對斜拉橋索力進行了優化，但傳統的優化算法因其自身的局限性導

3、致結果往往不夠理想。為了使結果更加準確，本文以實際工程項目為依托，通過對粒子群優化算法加以改進并與影響矩陣相結合，在兼顧計算效率和多目標約束的條件下求解吊桿索力，并與其他多種方法進行分析比較，從而驗證該方法的可行性。1 基于改進粒子群算法的自動調索1.1理論基礎粒子群算法最早是由Kennedy和Eberhart8提出的一種基于群鳥覓食的仿生智能算法，其原理是群鳥在覓食過程中，每只鳥的初始位置和飛行方向都處于隨機的狀態，而且不知道最佳的覓食點在何處。鳥群通過相互學習、信息共享，并在每次覓食過程中結合自身經驗和種群之間的信息傳遞不斷調整速度和位置，最終步步逼近食物。粒子尋優示意圖如圖1所示。圖1粒

4、子尋優示意圖Fig.1Schematic diagram of the particle swarm optimization如果將該方法運用到實際應用中，則是把鳥群抽象為m個沒有質量和體積的粒子，再將其延伸至N維空間，粒子在N維空間中的位置表示為Xi=(xi1,xi2,xij)，速度表示為Vi=(vi1,vi2,vij)，且其位置和速度需限制在Xmin,Xmax和Vmin,Vmax范圍內。每個粒子都有一個由目標函數決定的適應度值fitness，并且知道自己迄今為止發現的最好位置pb=(pi1,pi2,pij)和群體發現的最好位置gb=(g1,g2,gj)。粒子通過追蹤pb和gb來更新自己的速

5、度和位置。速度和位置更新公式為vk+1ij=wvkij+c1r1pkijxkij+c2r2gkixkij（1）xk+1ij=xkij+vk+1ij（2）式中：i表示粒子的個數，i=1，2，m；j表示粒子的維度，j=1，2，N；k是迭代步數； w是慣性因子；c1、c2是學習因子；r1、r2是0，1范圍內的均勻隨機數；vmax為用戶自定義常數，一般取vmax=aXmax，vmin=aXmin，通常a為0.10.2。1.2算法優化由于傳統粒子群算法的程序實現過程十分簡單，且需要調整的參數較少，因此在隨機優化算法中具有明顯的優勢，并被廣泛應用于工程領域。但同時它也存在收斂速度慢、局部搜索能力差等缺點。

6、為了提高算法的適用范圍，使其結果更加準確可靠，需要對傳統的算法進行改進9-11。研究結果表明12-16，w較大時算法的全局搜素能力較強，w較小時算法的局部搜索能力較強，因此算法的優化問題便可轉化成一個w值的選取問題，即當粒子目標值趨于局部最優時，需要增大慣性因子，當粒子目標值比較分散時，則需減小慣性因子。為了合理選取w，本文將權重進行自適應調整，通過判斷粒子當前的目標函數值U的好壞來自動調整w：當UUavg時，粒子的目標函數值要比平均目標值差，為了使其向較好的搜索區靠攏，對應的慣性因子要較大。當UavgUUavg時，粒子的全局尋優能力和局部尋優能力都較好，故不改變慣性因子。當UUavg時，粒子

7、的目標函數值要優于平均目標值，因此選用較小的慣性因子來保護該粒子，本文改進后w的表達式可表示為w=w(wwmin)UUavgUminUavg,UUavgw,UavgUUavgwmax,UavgU（3）式中：wmax、wmin分別表示w的最大值和最小值；Umin、Uavg分別表示當前所有粒子的最小適應度值和平均適應度值。由于本文是以彎曲能量的最小值為目標，因此Uavg是所有小于Uavg的適應度值的平均值。1.3目標函數目標函數下每一個粒子都有一個適應度值，它作為每次迭代的臨時儲存變量，并不具有記憶性，優化算法可通過粒子每次迭代的適應度值來評價結果的好壞，進而不斷尋優，最終靠近目標。實踐證明，通過

8、限制拱橋結構的彎曲能量所求解的吊桿索力能使橋梁結構處于一個較好的受力狀態，因此本文以吊桿拱橋的彎曲能量為目標，并將結構離散化，離散后的彎曲應變能公式為U=i=1mLi2EiIiM2i（4）式中：U為結構的彎曲應變能；m為離散單元的數量；Li、Ei、Ii、Mi分別為單元的長度、材料的彈性模量、截面慣性矩和彎矩。為了能夠建立起設計變量（拱橋的吊桿索力）與優化目標間的函數關系，可利用影響矩陣原理作為連接二者的橋梁，進而達到索力優化的目的。影響矩陣公式具體表示為AY=D（5）式中：Y為施調向量，在本文中是指吊桿索力組成的列向量；D為受調向量，是指結構中關心截面上若干獨立元素所組成的列向量，這些元素一般

9、指關心截面的內力、位移，通過將這些元素調整到期望狀態來求解施調向量Y；A為影響矩陣，是指當施調向量的某一向量發生單位變化時引起的受調向量D的變化量。從式（4）可以看出，當結構確定時，其單元及材料的具體特性已經確定，即Li、Ei、Ii已經確定，因而只能通過改變截面彎矩Mi來調整應變能的大小。將截面的彎矩改變量作為受調向量，將結構調索前離散單元的彎矩組成的向量作為M0，將結構單元需要達到的彎矩作為目標彎矩M，由每根吊桿索力S組成的向量X作為施調向量，即X=S1,S2,SnT，則調索后的彎矩為M=M0+CX（6）將式（6）中M0移至等號左邊，MM0便對應彎矩的改變量，對應式（5）中的D。由每根吊桿單

10、位索力引起的彎矩變化值組成影響矩陣C，X則對應式（5）中的施調向量項。再將式（6）代入式（4）后可得結構的目標函數為U=M0TBM0+M0TBCX+XTCTBM0+XTCTBCX（7）式中：B為系數矩陣，是對角陣，表示單元柔度對單元彎矩的加權矩陣，其元素bii=li/(2EiIi)。1.4條件約束對于系桿拱橋，其彎矩主要由系梁承受，因此必須對系梁彎矩加以約束以使其落在允許的范圍內。彎矩的約束條件可表示為MminMMmax。根據影響矩陣理論，在對彎矩進行限制的同時也相當于對索力進行了約束，從而使調索后的最優解具有了合理性，即當MminMMmax時，可得索力約束條件為C1(M1minM01)S1C

11、1(M1maxM01)C1(M2minM02)S2C1(M2maxM02)C1(MjminM0j)SiC1(MjmaxM0j)（8）式中：Si表示第i根吊桿的索力；Mjmax、Mjmin分別代表系梁上第j個單元所允許的最大、最小彎矩；M0j表示系梁第j個單元的初始彎矩。同時為了滿足索力均勻原則，需將相鄰索力的差值限定在可控范圍內，另對索力做以下約束：i=119(Si+1SiSi+1)2（9）式中：為索力均勻度的評價閾值。1.5優化調索路線本文將索力調整和計算機智能優化算法結合，并考慮了慣性權重的實時變化，使索力調整過程自動化，從而實現索力的高效尋優。其具體步驟如下：1）利用有限元軟件建立拱橋模

12、型，并提取相關結構數據及影響矩陣作為基礎數據庫。2）建立目標函數，利用Matlab軟件編程粒子群算法并搜索在約束范圍內的最優解，如果滿足停止條件，則輸出當前解，否則更新權重繼續搜索。3）將搜索值代回有限元模型，校核結果的有效性。優化后的調索路線具體計算流程如圖2所示。圖2計算流程圖Fig.2Calculation flow chart2 工程應用2.1工程概況本文以某鋼管混凝土拱橋為實際工程依托，主橋總長150 m，計算跨徑146.28 m，橋梁總寬 12.9 m，拱軸線為二次拋物線，矢跨比為1/5。拱肋采用啞鈴型鋼管砼，采用Q345q鋼材，內充C50微膨脹混凝土。系梁采用箱形斷面，系梁高為2

13、40 cm，寬為120 cm，系梁和橫梁為預應力混凝土結構，橋面2%橫坡通過橫梁高度的變化進行調整，吊桿間距為7.30 m，每片拱肋設吊桿19根，吊桿編號由小里程到大里程依次為119號，如圖3所示。圖3吊桿編號示意圖Fig.3Schematic diagram of boom numbering2.2參數設置本文系桿拱橋采用有限元軟件ANSYS建模，如圖4所示。除吊桿采用桁架單元外，其余均采用梁單元。恒載作用下主梁和拱肋的彎矩值M0通過軟件的數據提取功能來獲取。通過分別改變每根吊桿的初拉力，使其發生單位1的變化，得到關鍵節點的彎矩變化值從而組成影響矩陣。模型的主要材料特性見表1。圖4系桿拱有限

14、元模型Fig.4Finite element model of tied arch表1材料特性Table 1Material properties材料彈性模量/GPa泊松比線膨脹系數/(10-6/)容重/(kNm-3)C5034.50.21025.0Q345q20.60.31278.5Strand186019.50.31278.5利用Matlab工具編寫改進前和改進后的粒子群算法程序并進行迭代求解，改進前后除慣性權重外，其他系數取值相同。目前w較典型的取值范圍為0.20.917，在此范圍內取值時算法局部和全局收斂能力較好。為使算法能在一開始便找到較好的解，需要取范圍內較大值，因此本文對改進前的

15、慣性權重w恒取0.9，對改進后慣性權重系數按式（3）計算。學習因子c1、c2取1.49，由文獻18可知，學習因子取1.49時算法的自我學習能力和社會學習能力均較好。種群規模m取50，索力范圍取500，1 500，速度范圍取索力范圍的15%，具體數據見表2。由圖5、6可以看出，在迭代次數都為200次的條件下，改進后的算法收斂速度得到明顯提高，在收斂精度方面也有一定的改善。表2改進后粒子群算法參數Table 2Improved PSO parametersmaxmaxminminc1c1c2c2mmSminSminSmaxSmaxVminVminVmaxVmax0.90.61.491.495050

16、01 50075225圖5算法改進前后效果對比Fig.5Comparison of the effect before and after the improvement of algorithm圖6算法改進前后索力對比Fig.6Comparison of cable forces before and after the improvement of algorithm2.3優化結果分析控制拱橋的內力和線形使其在安全的范圍內是施工監控過程的重要環節。為了能清楚地展示粒子群優化算法在實際工程中的效果，本節還另使用近似最小彎曲能量法、剛性支撐連續梁法及未知荷載系數法對索力進行求解，4種方法求得的

17、索力見圖7。由圖可知，利用改進后的粒子群優化算法求得的索力值較其他3種方法更加均勻適中。圖7索力對比Fig.7Comparison of cable forces圖8系梁彎矩Fig.8Bending moment of tie beam將4種方法求得的索力分別代入有限元模型中，得到各索力下系梁彎矩和豎向位移，如圖8、9所示。從圖8可以看出，用不同方法約束的系梁彎矩在數值和均勻度上都有較大的差異，其中未知荷載系數法約束的彎矩上下峰值差距較大，在邊吊桿處彎矩較大，而剛性支撐連續梁法約束的彎矩在中吊桿處出現了驟增現象，這是因為在吊桿數量有限的情況下，這2種方法不能同時滿足多目標約束，可能會導致結構其

18、余部位出現狀態異常。近似最小彎曲能量法和改進粒子群優化法優化后的索力均沒有出現索力突變現象。而本文的改進粒子群優化法優化后的系梁彎矩較近似最小彎曲能量法更加均勻，且索力值相差不大，適合系桿拱橋成橋索力布置。從圖9可以看出，剛性支撐連續梁法和近似最小彎曲能量法優化后的豎向位移較大，這是因為這2種方法只是分別從結構的受力和彎曲能量進行了單一約束，而沒有考慮結構的線形。未知荷載系數法是通過限制結構位移的方法來求解索力，因此位移較小，而改進粒子群優化法由于在考慮結構內力的同時對位移也加以約束，因此優化后的豎向位移較好，但本文的改進粒子群優化法較未知荷載系數法優化后的豎向位移更加均勻，峰值更小。4種方法對結構具體影響見表3。圖9豎向位移Fig.9Vertical displacement表34種優化方法對結構的具體影響Table 3The specific influence of four optimization methods on the structure求解方法最大正彎矩/(kNm)最大負彎矩/(kNm)位移下限/mm位移上限/mm未知荷載系數法2 319.04-875.64-1.286.45改進粒子群優化法220.76-441.23-1.815.57剛性支撐連續梁法824.7