1、第1-2無窮大小量和連續性第1頁，共30頁，2022年，5月20日，14點9分，星期五三、 兩個重要極限或注: 代表相同的表達式四、函數極限的方法(1) 有理分式函數極限求法時, 用代入法( 要求分母不為 0 )時, 對型 , 約去公因子時 , 分子分母同除最高次冪(2) 復合函數極限求法（變量代換）(3) 兩個重要極限第2頁，共30頁，2022年，5月20日，14點9分，星期五思考與練習填空題 ( 14 )第七節 第3頁，共30頁，2022年，5月20日，14點9分，星期五第二節極限 (之二)一、無窮小量、無窮大量二、函數的連續性本節內容 :第4頁，共30頁，2022年，5月20日，14點9

2、分，星期五當一、無窮小量與無窮大量(1)定義 .時, 則稱函數f (x)例如 :函數1/x 為無窮小;函數 是當為時的無窮小量, 的無窮小.1. 無窮小量注： 0是無窮小. 無窮小不是一個很小的數. 無窮小必須指明x的趨向.簡稱無窮小 .除0之外，所有的無窮小都是變量；第5頁，共30頁，2022年，5月20日，14點9分，星期五結論10 證明：第6頁，共30頁，2022年，5月20日，14點9分，星期五其中 (x)為時的無窮小量 . 對自變量x的其它變化過程結論仍成立 .定理. (無窮小與函數極限的關系)由例得當x0的無窮小量第7頁，共30頁，2022年，5月20日，14點9分，星期五性質1:

3、 有限個無窮小量的和、差、積仍為無窮小量;性質2:常數與無窮小量的乘積仍為無窮小量;(2) 無窮小量的性質證明：注：兩個無窮小的商不一定是無窮小.反例第8頁，共30頁，2022年，5月20日，14點9分，星期五性質3:例3.求根據性質3，有是個有界變量,函數x是x0時的無窮小,解：有界變量與無窮小量的乘積仍為無窮小量;證明：第9頁，共30頁，2022年，5月20日，14點9分，星期五(3) 無窮小的階為了比較兩個無窮小趨于0的速度, 引入無窮小的階.當x0時，x20 比x0 速度“快些”；反過來，x0 比x20 速度“慢些”；sinx0 與x0 速度“快慢相仿”.第10頁，共30頁，2022年

4、，5月20日，14點9分，星期五(3) 無窮小的階則稱 是比 高階的無窮小,設是自變量同一變化過程中的無窮小,記則稱 是比 低階的無窮小;定義.為了比較兩個無窮小趨于0的速度, 引入無窮小的階.則稱 與 是同階無窮小;則稱 是關于 的 q 階無窮小;則稱 與 等階無窮小;第11頁，共30頁，2022年，5月20日，14點9分，星期五例如 , 當時又如 ，故時是關于 x 的二階無窮小,且第12頁，共30頁，2022年，5月20日，14點9分，星期五例4. 證明: 證: 目錄 上頁 下頁 返回 結束 因此 即有等價關系: 說明: 上述證明過程也給出了等價關系: 第13頁，共30頁，2022年，5月

5、20日，14點9分，星期五當x0時，常用等價無窮小:第14頁，共30頁，2022年，5月20日，14點9分，星期五 等價無窮小替換定理 ： 且存在 , 則證:例5.設第15頁，共30頁，2022年，5月20日，14點9分，星期五(3) 求解:第16頁，共30頁，2022年，5月20日，14點9分，星期五因式代替規則:界, 則例如,例6(辨析)解: 原式 錯誤原因: x, sinx不等價于x, 和差不能代替sin不等價于 ; 第17頁，共30頁，2022年，5月20日，14點9分，星期五(1)定義 . 當xx0 (或x) 時,則稱函數f (x)為當xx0(或x)時的無窮大,記作2.無窮大量若函數

6、f (x)的絕對值無限增大，無窮大分兩種情況：正無窮大、負無窮大例如，第18頁，共30頁，2022年，5月20日，14點9分，星期五(2)無窮小與無窮大的關系若為無窮大,為無窮小 ;若為無窮小, 且則為無窮大.則據此定理 , 關于無窮大的問題都可轉化為 無窮小來討論.定理. 在自變量的同一變化過程中,說明:(不存在)第19頁，共30頁，2022年，5月20日，14點9分，星期五內容小結1. 無窮小與無窮大的定義2. 無窮小與函數極限的關系4. 無窮小與無窮大的關系 作業練習題1.2 （P28）2(習題指南)、4第五節 （等價無窮小替換定理）3. 無窮小的階第20頁，共30頁，2022年，5月2

7、0日，14點9分，星期五可見 , 函數在點二、 函數連續性的定義定義1:在的某鄰域內有定義 , 則稱函數(1) 在點即(2) 極限(3)設函數連續必須具備下列條件:存在 ;且有定義 ,存在 ;第21頁，共30頁，2022年，5月20日，14點9分，星期五對自變量的增量有函數的增量左連續右連續函數在點連續有下列等價命題:（定義2）第22頁，共30頁，2022年，5月20日，14點9分，星期五若在區間(a, b)內每一點都連續 , 則稱f (x)在該區間(a, b)內連續 , 或稱它為該區間(a, b)內的連續函數 .則稱f (x)是a, b上的連續函數,記作若f (x)在區間(a,b)內連續,

8、且在a點右連續,在b點左連續, 在a點右連續,在b點左連續指連續函數的圖形是一條連續而不間斷的曲線。第23頁，共30頁，2022年，5月20日，14點9分，星期五例7. 證明函數在內連續 .證: 即這說明在內連續 .同樣可證: 函數在內連續 .第24頁，共30頁，2022年，5月20日，14點9分，星期五2. 連續函數的運算法則定理1. 有限個在某點連續的函數的和 , 差 , 積 ,商( 利用極限的四則運算法則證明)(分母不為 0)仍是一個在該點連續的函數 .定理2. 連續函數的復合函數仍是連續函數.證: 設函數于是故復合函數即即函數y =f ( u )在點第25頁，共30頁，2022年，5月

9、20日，14點9分，星期五初等函數的連續性基本初等函數在定義區間內連續連續函數經四則運算仍連續連續函數的復合函數連續一切初等函數在定義區間內連續例如,在區間(端點為單側連續)的連續區間為的定義域為因此它無連續點而為連續函數第26頁，共30頁，2022年，5月20日，14點9分，星期五在點在在三、函數的間斷點(1) 函數(2) 函數不存在;(3) 函數存在 ,但不連續 ，設的某去心鄰域內有定義 ,若函數f (x)而點有下列情形之一: 雖有定義 , 但雖有定義 , 且稱為f(x)的間斷點 . 在則稱函數 f (x) 在點無定義 ;第27頁，共30頁，2022年，5月20日，14點9分，星期五為間斷點 .為間斷