1、電磁場材料第1頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六第一章 靜 電 場 靜電場： 相對觀察者靜止且量值不隨時間變化的電荷所產生的電場。 本章任務： 闡述靜電荷與電場之間的關系，在已知電荷或電位的情況下求解電場的各種計算方法，或者反之。 靜電場是本課程的基礎。由此建立的物理概念、分析方法在一定條件下可類比推廣到恒定電場,恒定磁場及時變場。 靜電場知識結構框圖第2頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六1.1.1 庫侖定律1.1 電場強度 N( 牛頓)適用條件 兩個可視為點電荷的帶電體之間相互作用力; 無限大真空情況 (式中可推廣到無限大各向同性均勻介質中F/m)

2、N( 牛頓)結論：電場力符合矢量疊加原理圖1.1.1 兩點電荷間的作用力 庫侖定律是靜電現象的基本實驗定律。大量試驗表明: 真空中兩個靜止的點電荷 與 之間的相互作用力: 當真空中引入第三個點電荷 時，試問 與 相互間的作用力改變嗎? 為什么？第3頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六1.1.2 靜電場基本物理量電場強度定義： V/m (N/C) 電場強度（Electric Field Intensity ) E 表示單位正電荷在電場中所受到的力(F ), 它是空間坐標的矢量函數, 定義式給出了E 的大小、方向與單位。a) 點電荷產生的電場強度V/mV/m圖1.1.2 點電荷

3、的電場第4頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六 b) n個點電荷產生的電場強度 (注意:矢量疊加)c) 連續分布電荷產生的電場強度V/m體電荷分布面電荷分布線電荷分布圖1.1.3 體電荷的電場第5頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六例1.1.1 真空中有長為L的均勻帶電直導線 , 電荷線密度為 ,試求P 點的電場.解: 采用直角坐標系, 令y軸經過場點p,導線與x軸重合。(直角坐標)( 圓柱坐標)圖1.1.4 帶電長直導線的電場第6頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六 無限長直均勻帶電導線產生的電場為平行平面場。 電場強度 的矢量積分

4、一般先轉化為標量積分, 然后再合成,即 點電荷的數學模型 積分是對源點 進行的,計算結果是場點 的函數。 點電荷是電荷體分布的極限情況,可以把它看成是一個體積很小,電荷密度很大，總電量不變的帶電小球體。 當 時，電荷密度趨近于無窮大，通常用沖擊函數 表示點電荷的密度分布。圖1.1.5 單位點電荷的密度分布點電荷的密度第7頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六點電荷矢量恒等式直接微分得故電場強度E 的旋度等于零1.2 靜電場環路定律和高斯定律 1. 靜電場旋度1.2.1 靜電場環路定律第8頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六 可以證明，上述結論適用于點電荷群

5、和連續分布電荷產生的電場。表明 靜電場是一個無旋場。即任一分布形式的靜電荷產生的電場的旋度恒等于零，即2. 靜電場的環路定律 在靜電場中,電場強度沿著閉合回路的環量恒等于零。 電場力作功與路徑無關,靜電場是保守場。無旋場一定是保守場，保守場一定是無旋場。由斯托克斯定理，得 二者等價。第9頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六3 . 電位函數 在靜電場中可通過求解電位函數(Potential)， 再利用上式可方便地求得電場強度E 。式中負號表示電場強度的方向從高電位指向低電位。2) 已知電荷分布，求電位：點電荷群連續分布電荷1) 電位的引出以點電荷為例推導電位：根據矢量恒等式第

6、10頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六3) E與 的微分關系 在靜電場中，任意一點的電場強度E的方向總是沿著電位減少的最快方向，其大小等于電位的最大變化率。在直角坐標系中：？ ( )？ ( )4) E與 的積分關系設P0為參考點 根據 E 與 的微分關系，試問靜電場中的某一點圖1.2.1 E與 的積分關系第11頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六5) 電位參考點的選擇原則 場中任意兩點的電位差與參考點無關。 同一個物理問題，只能選取一個參考點。 選擇參考點盡可能使電位表達式比較簡單，且要有意義。例如：點電荷產生的電場：表達式無意義 電荷分布在有限區域時

7、，選擇無窮遠處為參考點； 電荷分布在無窮遠區時，選擇有限遠處為參考點。第12頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六6) 電力線與等位線（面） E 線：曲線上每一點切線方向應與該點電場強度E的方向一致，若 是電力線的長度元，E 矢量將與 方向一致，故電力線微分方程在直角坐標系中：微分方程的解即為電力線 E 的方程。當取不同的 C 值時，可得到不同的等位線（面）。 在靜電場中電位相等的點的曲面稱為等位面，即等位線(面)方程:例1.2.1 畫出電偶極子的等位線和電力線 。第13頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六在球坐標系中：電力線微分方程（球坐標系）：代入上式

8、，得解得線方程為將 和代入上式，等位線方程（球坐標系）：用二項式展開，又有，得 表示電偶極矩，方向由負電荷指向正電荷。圖1.2.2 電偶極子r1r2第14頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六電力線與等位線（面）的性質： E線不能相交; E線起始于正電荷，終止于負電荷; E線愈密處，場強愈大; E線與等位線（面）正交；圖1.2.3 電偶極子的等位線和電力線圖1.2.4 點電荷與接地導體的電場圖1.2.5 點電荷與不接地導體的電場第15頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六圖1.2.6 均勻場中放進了介質球的電場圖1.2.7 均勻場中放進了導體球的電場圖1.2

9、.8 點電荷位于一塊介質上方的電場圖1.2.9 點電荷位于一塊導平面上方的電場第16頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六 對上式等號兩端取散度； 利用矢量恒等式及矢量積分、微分的性質，得1.2.2 真空中的高斯定律1. 靜電場的散度高斯定律的微分形式真空中高斯定律的微分形式點電荷產生的電場其物理意義表示為 高斯定律說明了靜電場是一個有源場，電荷就是場的散度（通量源），電力線從正電荷發出，終止于負電荷。第17頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六2. 高斯定律的積分形式式中 n 是閉合面包圍的點電荷總數。 散度定理圖1.2.11 閉合曲面的電通量 E的通量僅

10、與閉合面S 所包圍的凈電荷有關。圖1.2.12 閉合面外的電荷對場的影響 S面上的E是由系統中全部電荷產生的。第18頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六電場強度垂直于導體表面；導體是等位體，導體表面為等位面；導體內電場強度E為零，靜電平衡；電荷分布在導體表面，且任何導體，只要它們帶電量不變，則其電位是不變的。 （ ）一導體的電位為零，則該導體不帶電。 （ ）接地導體都不帶電。（ ）1.2.3. 電介質中的高斯定律1. 靜電場中導體的性質2. 靜電場中的電介質圖1.2.13 靜電場中的導體第19頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六 電介質在外電場E作用下發

11、生極化，形成有向排列的電偶極矩； 電介質內部和表面產生極化電荷； 極化電荷與自由電荷都是產生電場的源。式中 為體積元 內電偶極矩的矢量和，P的方向從負極化電荷指向正極化電荷。無極性分子有極性分子圖1.2.14 電介質的極化用極化強度P表示電介質的極化程度，即C/m2電偶極矩體密度第20頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六 實驗結果表明，在各向同性、線性、均勻介質中 電介質的極化率,無量綱量。均勻：媒質參數不隨空間坐標（x,y,z）而變化。各向同性：媒質的特性不隨電場的方向而改變,反之稱為各向異性；線性：媒質的參數不隨電場的值而變化； 一個電偶極子產生的電位： 極化強度 P

12、是電偶極矩體密度，根據疊加原理，體積V內電偶極子產生的電位為：式中圖1.2.15 電偶極子產生的電位第21頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六矢量恒等式： 圖1.2.16 體積V內電偶極矩產生的電位散度定理 令極化電荷體密度極化電荷面密度第22頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六 在均勻極化的電介質內，極化電荷體密度 這就是電介質極化后，由面極化電荷 和體極化電荷 共同作用在真空 中產生的電位。 根據電荷守恒原理，這兩部分極化電荷的總和 有電介質存在的場域中，任一點的電位及電場強度表示為第23頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六3.

13、電介質中的高斯定律a）高斯定律的微分形式（真空中）（電介質中）定義電位移矢量（ Displacement）則有電介質中高斯定律的微分形式代入 ,得其中相對介電常數；介電常數，單位（F/m） 在各向同性介質中 D線從正的自由電荷發出而終止于負的自由電荷。第24頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六圖示平行板電容器中放入一塊介質后，其D 線、E 線和P 線的分布。 D 線由正的自由電荷發出，終止于負的自由電荷； P 線由負的極化電荷發出，終止于正的極化電荷。 E 線的起點與終點既可以在自由電荷上，又可以在極化電荷上；電場強度在電介質內部是增加了，還是減少了？D線E線P線圖1.2.

14、17 D、E與 P 三者之間的關系思考：第25頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六( )( )( )qq D 的通量與介質無關，但不能認為D 的分布與介質無關。 D 通量只取決于高斯面內的自由電荷，而高斯面上的 D 是由高斯面內、外的系統所有電荷共同產生的。B） 高斯定律的積分形式散度定理圖1.2.19 點電荷q分別置于金屬球殼的內外圖1.2.18 點電荷的電場中置入任意一塊介質第26頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六例1.2.2 求電荷線密度為 的無限長均勻帶電體的電場。解：電場分布特點： D 線皆垂直于導線，呈輻射狀態； 等 r 處D 值相等；取長

15、為L，半徑為 r 的封閉圓柱面為高斯面。由 得圖1.2.20 電荷線密度為 的無限長均勻帶電體4. 高斯定律的應用計算技巧： a）分析給定場分布的對稱性，判斷能否用高斯定律求解。b）選擇適當的閉合面作為高斯面，使 容易積分。 高斯定律適用于任何情況，但只有具有一定對稱性的場才能得到解析解。第27頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六圖1.2.22 球殼內的電場圖1.2.21 球殼外的電場例1.2.3 試分析圖1.2.21與1.2.22的電場能否直接用高斯定律來求解場的分布？圖1.2.21 點電荷q置于金屬球殼內任意位置的電場圖1.2.22 點電荷q分別置于金屬球殼內的中心處與

16、球殼外的電場第28頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六1.3 靜電場的基本方程 分界面上的銜接條件1.3.1 靜電場的基本方程 靜電場是一個無旋、有源場，靜止電荷就是靜電場的源。這兩個重要特性用簡潔的數學形式為：解：根據靜電場的旋度恒等于零的性質, 例1.3.1 已知 試判斷它能否表示個靜電場？ 對應靜電場的基本方程 ，矢量 A 可以表示一個靜電場。能否根據矢量場的散度來判斷該矢量場是否是靜電場?第29頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六 以分界面上點P作為觀察點，作一小扁圓柱高斯面（ ）。 2、電場強度E的銜接條件 以點P 作為觀察點，作一小矩形回路（

17、 ）。 1.3.2 分界面上的銜接條件1、 電位移矢量D的銜接條件分界面兩側 E 的切向分量連續。 分界面兩側的 D 的法向分量不連續。當 時，D 的法向分量連續。圖1.3.2 在電介質分界面上應用環路定律則有 根據 根據 則有 圖1.3.1 在電介質分界面上應用高斯定律第30頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六 表明：（1）導體表面是一等位面，電力線與導體表面垂直，電場僅有法向分量；（2）導體表面上任一點的D 就等于該點的自由電荷密度 。 當分界面為導體與電介質的交界面時，分界面上的銜接條件為： 圖1.3.3a 導體與電介質分界面在交界面上不存在 時，E、D滿足折射定律。

18、折射定律圖1.3.3 分界面上E線的折射第31頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六因此表明: 在介質分界面上，電位是連續的。3、用電位函數 表示分界面上的銜接條件 設點1與點2分別位于分界面的兩側，其間距為d， ,則表明: 一般情況下 ,電位的導數是不連續的。圖1.3.4 電位的銜接條件對于導體與理想介質分界面，用電位 表示的銜接條件應是如何呢？第32頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六解：忽略邊緣效應圖（a）圖（b） 例1.3.2 如圖(a)與圖(b)所示平行板電容器,已知 和 ,圖(a)已知極板間電壓U0 , 圖(b)已知極板上總電荷 ,試分別求其中

19、的電場強度。（a）（b）圖1.3.5 平行板電容器 第33頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六1.4 靜電場邊值問題 唯一性定理1.4.1 泊松方程與拉普拉斯方程推導微分方程的基本出發點是靜電場的基本方程：泊松方程 泊松方程與拉普拉斯方程只適用于各向同性、線性的均勻媒質。 列出求解區域的微分方程 拉普拉斯方程拉普拉斯算子1.4.2 靜電場的邊值問題圖1.4.1 三個不同媒質區域的靜電場第34頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六 為什么說第二類邊界條件與導體上給定電荷分布或邊界是電力線的條件是等價的？已知場域邊界上各點電位值圖1.4.2 邊值問題框圖自然邊

20、界條件參考點電位 有限值邊值問題微分方程邊界條件場域邊界條件分界面銜接條件第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件已知場域邊界上各點電位的法向導數一、二類邊界條件的線性組合，即第35頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六邊值問題研究方法計算法實驗法作圖法解析法數值法實測法模擬法定性定量積分法分離變量法鏡像法、電軸法微分方程法保角變換法有限差分法有限元法邊界元法矩量法模擬電荷法數學模擬法物理模擬法圖1.4.3 邊值問題研究方法框圖第36頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六 例1.4.2 圖示長直同軸電纜橫截面。已知纜芯截面是一邊長為2b的正方形，鉛皮半徑為

21、a，內外導體之間電介質的介電常數為 ，并且在兩導體之間接有電源 U0，試寫出該電纜中靜電場的邊值問題。 解：根據場分布對稱性，確定場域。（陰影區域）場的邊值問題圖1.4.4 纜心為正方形的同軸電纜橫截面第37頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六邊界條件積分之，得通解 設有電荷均勻分布在半徑為a的介質球型區域中，電荷體密度為 ，試用解微分方程的方法求球體內、外的電位及電場。解: 采用球坐標系,分區域建立方程參考點電位圖1.4.5 體電荷分布的球形域電場 第38頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六解得 電場強度（球坐標梯度公式）： 對于一維場（場量僅僅是一個

22、坐標變量的函數），只要對二階常系數微分方程積分兩次，得到通解；然后利用邊界條件求得積分常數，得到電位的解；再由 得到電場強度E的分布。電位：第39頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六2. 唯一性定理的重要意義 可判斷靜電場問題的解的正確性： 圖示平板電容器的電位，哪一個解答正確？答案：（ C ） 唯一性定理為靜電場問題的多種解法(試探解、數值解、解析解等）提供了思路及理論根據。圖1.4.7 平板電容器外加電源U01.4.3 唯一性定理證明： （反證法）第40頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六1.5 分離變量法 分離變量法是一種最經典的微分方程法，它適用

23、于求解一類具有理想邊界條件的典型邊值問題 。一般情況下,采用正交坐標系可用分離變量法得出拉普拉斯方程或波動方程的通解，而只有當場域邊界與正交坐標面重合或平行時，才可確定積分常數，得到邊值問題的解。1.5.1 解題的一般步驟： 根據邊界的幾何形狀和場的分布特征選定坐標系，寫出對應的邊值 問題（微分方程和邊界條件）； 分離變量，將一個偏微分方程，分離成幾個常微分方程； 解常微分方程，并疊加各特解得到通解； 利用給定的邊界條件確定積分常數，最終得到電位函數的解。1.5.2 應用實例1. 直角坐標系中的分離變量法（二維場）第41頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六 例1.5.1 圖

24、示一無限長金屬槽，其三壁接地，另一壁與三壁絕緣且保持電位為 ，金屬槽截面為正方形（邊長為a），試求金屬槽內電位的分布。 解：選定直角坐標系（D域內）（1）（2）（3）（4）(5）邊值問題圖11.5.1 接地金屬槽的截面第42頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六2) 分離變量代入式（1）有根據 可能的取值，可有6個常微分方程：設稱為分離常數,可以取值第43頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六3）解常微分方程，將各特解線性疊加得通解。4）利用給定邊界條件確定積分常數，最終得到電位函數的解。 圖1.5.2 雙曲函數第44頁，共116頁，2022年，5月20日，

25、0點7分，星期六d） 比較系數法：當 時，（D域內）當 時， 滿足拉普拉斯方程的通解有無數個，但滿足給定邊界條件的解是唯一的。第45頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六 根據經驗也可定性判斷通解中能否舍去 或 項。 若 ， 2、圓柱坐標系中的分離變量法（二維場） 利用 sin 函數的正交性來確定 。等式兩端同乘 ，然后從 0到 a對 x積分圖1.5.3 接地金屬槽內的等位線分布第46頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六1）選定圓柱坐標,列出邊值問題（1）（2）（3）（4）(5）（6） 例1.5.2 在均勻電場 中，放置一根半徑為a，介電常數為 的無限長均

26、勻介質圓柱棒，它的軸線與 垂直。柱外是自由空間 。試求圓柱內外電位函數 和電場強度 的分布。 根據場分布的對稱性圖1.5.4 均勻電場中的介質圓柱棒第47頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六3）解常微分方程，將各特解線性疊加得通解。當 時，當 時，2）分離變量, 設 代入式（1）得或第48頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六根據根據 ， 比較系數得當 時，4）利用給定邊界條件確定積分常數。根據場分布對稱性當 時，通解中不含 的奇函數項，第49頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六解之，得比較系數法：當 時，得當 時， ， 則最終解c）由

27、分界面 的銜接條件，得第50頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六 介質柱內的電場是均勻的，且與外加電場E0平行。 因 ， ，所以 。 介質柱外的電場非均勻變化，但遠離介質柱的區域，其電場趨近于均勻電場 。 圖1.5.5 均勻外電場中介質圓柱內外的電場 第51頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六1.6 有限差分法1.6.1 二維泊松方程的差分格式 有限差分法（Finite Differential Method）是基于差分原理的一種數值計算法。其基本思想：將場域離散為許多小網格，應用差分原理，將求解連續函數 的泊松方程的問題轉換為求解網格節點上 的差分方程

28、組的問題。 通常將場域分成足夠小的正方形網格,網格線之間的距離為h ,節點0,1,2,3,4上的電位分別用 和 表示。 （3）（1）（2）二維靜電場邊值問題：1.6.1 有限差分的網格分割第52頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六（8）（4）將 和 分別代入式(3),得同理（5） 由（4）（5）由（4）+（5）（6）（7）（9）將式（7）、（9）代入式（1），得到泊松方程的五點差分格式當場域中 ，得到拉普拉斯方程的五點差分格式第53頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六1.6.2 邊界條件的離散化處理 3. 第二類邊界條件 邊界線與網格線相重合的差分格式：

29、2. 對稱邊界條件若場域離散為矩形網格，差分格式為：1. 第一類邊界條件 給邊界離散節點直接賦已知電位值。 4. 介質分界面銜接條件 的差分格式合理減小計算場域，差分格式為其中12 圖1.6.2邊界條件的離散化處理第54頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六1.6.3 差分方程組的求解方法1. 高斯賽德爾迭代法式中： 迭代順序可按先行后列，或先列后行進行。 迭代過程遇到邊界節點時，代入邊界值或邊界差分格式，直到所有節點電位滿足 為止。2、超松弛迭代法式中：加速收斂因子圖1.6.3 高斯賽德爾迭代法第55頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六 迭代收斂的速度與

30、 有明顯關系： 收斂因子（ ） 1.0 1.7 1.8 1.83 1.85 1.87 1.9 2.0 迭代次數（ N） 1000 269 174 143 122 133 171 發散最佳收斂因子的經驗公式：（正方形場域、正方形網格）（矩形場域、正方形網格） 迭代收斂的速度與電位初始值的給定及網格剖分精細有關； 迭代收斂的速度與工程精度要求有 。借助計算機進行計算時，其程序框圖如下：第56頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六啟動賦邊界節點已知電位值賦予場域內各節點電位初始值累計迭代次數N=0N=N+1按超松弛法進行一次迭代，求 所有內點 相鄰二次迭代值的最大誤差是否小于打印

31、停機NY圖1.6.2 迭代解程序框圖第57頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六上機作業要求：1. 試用超松弛迭代法求解接地金屬槽內電位的分布。已知：給定邊值：如圖示；給定初值誤差范圍選取計算：迭代次數N=? 分布。已知：給定邊值：如圖示；給定初值誤差范圍計算：1.迭代次數N=? 分布； 2.按電位差 畫出槽中等位線分布圖。2. 按對稱場差分格式求解電位的分布圖1.6.4 接地金屬槽的網格剖分圖1.6.5 接地金屬槽內半場域的網格剖分第58頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六三.選做題 已知：無限長矩形屏蔽空腔中長直矩形導體的橫截面如圖示，且給定參數為 圖

32、1.6.5 無限長矩形屏蔽空腔中長直矩形導體的橫截面要求: 1. 用超松弛選代法求解無限長矩形屏蔽空腔中長直矩形導體周 圍的電位分布; 2. 畫出屏蔽腔中矩形導體周圍等位線分布; 3. 畫出屏蔽腔中矩形導體周圍電位分布曲面。利用有限差分法能否計算上述問題電容近似值？第59頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六1.7 鏡像法與電軸法 鏡像法邊值問題：（導板及無窮遠處）（除 q 所在點外的區域）（S 為包圍 q 的閉合面）1.平面導體的鏡像 鏡像法: 用虛設的電荷分布等效替代媒質分界面上復雜電荷分布,虛設電荷的個數、大小與位置使場的解答滿足唯一性定理。圖1.7.1 平面導體的鏡像

33、 上半場域邊值問題：（除 q 所在點外的區域） （導板及無窮遠處）（S 為包圍q 的閉合面）第60頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六（方向指向地面）整個地面上感應電荷的總量為例1.7.1 求空氣中一個點電荷 在地面引起的感應電荷分布情況。解: 設點電荷 離地面高度為h，則圖1.7.2 點電荷 在地面引起的感應電荷的分布第61頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六2. 導體球面鏡像設在點電荷附近有一接地導體球，求導體球外空間的電位及電場分布。1) 邊值問題：（除q點外的導體球外空間)圖1.7.3 點電荷對接地導體球面的鏡像第62頁，共116頁，2022年，

34、5月20日，0點7分，星期六由疊加原理，接地導體球外任一點P的電位與電場分別為圖1.7.5 點電荷位于接地導體球附近的場圖 鏡像電荷不能放在當前求解的場域內。鏡像電荷等于負的感應電荷圖1.7.4 接地導體球外的電場計算第63頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六 在接地球的基礎上判斷鏡像電荷的個數、大小與位置解: 邊值問題：( 除 q 點外的導體球外空間） ( S 為球面面積 )例1.7.2 試計算不接地金屬球附近放置一點電荷 時的電場分布。 任一點電位及電場強度為：圖1.7.6 點電荷對不接地金屬 球的鏡像感應電荷分布及球對稱性，在球內有兩個等效電荷。正負鏡像電荷絕對值相等

35、。正鏡像電荷只能位于球心。第64頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六 試確定用鏡像法求解下列問題時，其鏡像電荷的個數，大小與位置?補充題：圖1.7.8 點電荷對導體球面的鏡像圖1.7.7 點電荷位于不接地導體球附近的場圖 不接地導體球面上的正負感應電荷的絕對值等于鏡像電荷 嗎? 為什么？第65頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六3. 不同介質分界面的鏡像邊值問題：(下半空間)(除 q點外的上半空間)圖1.7.9 點電荷對無限大介質分界面的鏡像和第66頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六 中的電場是由 決定，其有效區在下半空間， 是等效

36、替代自由電荷與極化電荷的作用。 即圖1.7.10 點電荷 位于不同介質平面上方的場圖 中的電場是由 與 共同產生，其有效區在上半空間， 是等效替代極化電荷的影響。圖1.7.11 點電荷 與 分別置于 與 區域中 為求解圖示 與 區域的電場，試確定鏡像電荷的個數、大小與位置。第67頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六1.7.2 電軸法邊值問題： （導線以外的空間） 根據唯一性定理，尋找等效線電荷電軸。1.問題提出1.7.12 長直平行圓柱導體傳輸線能否用高斯定理求解？第68頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六2. 兩根細導線產生的電場以y軸為參考點, C=

37、0, 則 當K取不同數值時,就得到一族偏心圓。圖1.7.13 兩根細導線的電場計算a、h、b三者之間的關系滿足 等位線方程為：圓心坐標圓半徑第69頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六應該注意到,線電荷所在的兩個點,對每一個等位圓的圓心來說,互為反演。即根據 及E線的微分方程 ， 得E線方程為 圖1.7.14 兩細導線的場圖 若在金屬圓柱管內填充金屬，重答上問。 若在任一等位面上放一無厚度的金屬圓柱殼，是否會影響電場分布？感應電荷是否均勻分布？第70頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六3. 電軸法 試求圖示兩帶電長直平行圓柱導體傳輸線的電場及電位分布。(

38、以 軸為電位為參考點 ) 用置于電軸上的等效線電荷,來代替圓柱導體面上分布電荷,從而求得電場的方法,稱為電軸法。解：圖1.7.15 平行圓柱導體傳輸線電場的計算第71頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六 已知兩根不同半徑,相互平行,軸線距離為d 的帶電長直圓柱導體。試決定電軸位置。注意：1）參考電位的位置；2）適用區域。 試確定圖示偏心電纜的電軸位置。解：確定圖1.7.16 不同半徑傳輸線的電軸位置圖1.7.17 偏心電纜電軸位置第72頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六 例1.7.6 已知一對半徑為a,相距為d的長直圓柱導體傳輸線之間電壓為 ，試求圓柱

39、導體間電位的分布。 解得圖1.7.18 電壓為U0的傳輸線電場的計算 a)確定電軸的位置第73頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六鏡像法（電軸法）小結 鏡像法（電軸法）的理論基礎是靜電場唯一性定理； 鏡像法（電軸法）的實質是用虛設的鏡像電荷（電軸）替代未知電荷的分布，使計算場域為無限大均勻介質； 鏡像法（電軸法）的關鍵是確定鏡像電荷（電軸）的個數（根數），大小及位置； 應用鏡像法（電軸法）解題時，注意：鏡像電荷（電軸）只能放在待求場域以外的區域。疊加時，要注意場的適用區域。第74頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六1.8 電容及部分電容 電容只與兩導體的

40、幾何形狀、尺寸、相互位置及導體周圍的介質有關。電容的計算思路： 工程上的實際電容：電力電容器，電子線路用的各種小電容器。1.8.1 電容定義： 單位： 試求球形電容器的電容。解：設內導體的電荷為 ,則同心導體間的電壓球形電容器的電容當時（孤立導體球的電容）圖1.8.1 球形電容器第75頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六1.8.2 多導體系統、部分電容1. 已知導體的電荷，求電位和電位系數中的其余帶電體，與外界無任何聯系，即 靜電獨立系統D線從這個系統中的帶電體發出，并終止于該系統 線性、多導體(三個以上導體)組成的系統； 部分電容概念以接地導體為電位參考點,導體的電位與各

41、導體上的電荷的關系為圖1.8.2 三導體靜電獨立系統第76頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六 以此類推（n+1)個多導體系統只有n個電位線性獨立方程，即電位系數，表明各導體電荷對各導體電位的貢獻； 自有電位系數，表明導體上電荷對導體電位的貢獻；互有電位系數，表明導體上的電荷對導體電位的貢獻 ；寫成矩陣形式為（非獨立方程）注： 的值可以通過給定各導體電荷 ,計算各導體的電位 而得。第77頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六2. 已知帶電導體的電位，求電荷和感應系數靜電感應系數，表示導體電位對導體電荷的貢獻；自有感應系數，表示導體 電位對導體 電荷的貢獻；

42、互有感應系數，表示導體電位對導體電荷的貢獻。 通常， 的值可以通過給定各導體的電位 ，測量各導體的電荷 而得。第78頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六 3. 已知帶電導體間的電壓，求電荷和部分電容（矩陣形式）式中：C部分電容，它表明各導體間電壓對各導體電荷的貢獻；（互有部分電容）；（自有部分電容）。部分電容性質: 所有部分電容都是正值，且僅與導體的形狀、尺寸、相互位置及介質的 值有關； 互有部分電容 ，即為對稱陣； (n+1) 個導體靜電獨立系統中，共應有 個部分電容； 部分電容是否為零,取決于兩導體之間有否電力線相連。第79頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7

43、分，星期六 例1.8.2 試計算考慮大地影響時，二線傳輸線的各部分電容及二線輸電線的等效電容。已知 如圖示：解: 部分電容個數, 如圖 (b)。由對稱性得線電荷與電位的關系為圖1.8.4 兩線輸電線及其電容網絡靜電網絡與等效電容第80頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六 令則利用鏡像法，輸電線兩導體的電位圖1.8.5 兩線輸電線對大地的鏡像第81頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六聯立解之得二線間的等效電容：圖1.8.4 兩線輸電線及其電容網絡 美國有一腿斷的殘廢軍人，用電子儀器駕駛汽車，有一次，路過高壓輸電線時，突然翻車了，為什么？第82頁，共116頁

44、，2022年，5月20日，0點7分，星期六 4.靜電屏蔽 應用部分電容還可以說明靜電屏蔽問題。令號導體接地，得這說明了只與有關，只與有關，即1號導體與2號導體之間無靜電聯系，達到了靜電屏蔽的要求。靜電屏蔽在工程上有廣泛應用。圖1.8.5 靜電屏蔽第83頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六1.9 靜電能量與力 1. 帶電體系統中的靜電能量 靜電能量是在電場的建立過程中，由外力作功轉化而來的。1) 連續分布電荷系統的靜電能量假設： 電荷系統中的介質是線性的； 1.9.1 靜電能量 電場的建立與充電過程無關,導體上電荷與電位的最終值為 、 ,在充電過程中， 與 的增長比例為 m，

45、 。 建立電場過程緩慢（忽略動能與能量輻射）。第84頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六 這個功轉化為靜電能量儲存在電場中。 體電荷系統的靜電能量 t 時刻，場中P點的電位為 若將電荷增量 從無窮遠處移至該點，外力作功t時刻電荷增量為即電位為 第85頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六 式中 是元電荷所在處的電位，積分對源進行。 點電荷的自有能為無窮大。自有能互有能 自有能是將許多元電荷 “壓緊”構成 q 所需作的功。互有能是由于多個帶電體之間的相互作用引起的能量。自有能與互有能的概念 是所有導體（含K號導體）表面上的電荷在K號導體產生的電位。第86頁，

46、共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六2. 靜電能量的分布及能量密度V擴大到無限空間，S所有帶電體表面。將式(2)代入式(1),得應用散度定理得矢量恒等式（焦耳）靜電能量圖1.9.1 推導能量密度用圖能量密度：凡是靜電場不為零的空間都儲存著靜電能量。結論第87頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六 試求真空中體電荷密度為 ，半徑為 的介質球產生的靜電能量。有限，應用高斯定理，得 解法一由微分方程法得電位函數為解法二第88頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六 例1.9.2 一個原子可以看成是由帶正電荷 的原子核和被總電量等于 且均勻分布于球形體

47、積內的負電荷云包圍，如圖所示。試求原子結合能。解：表示將正負電荷從無窮遠處移來置于原子中位置時外力必須做的功。圖1.9.2 原子結構模型 ：正電荷從無窮遠處移至此處不需要電場力作功,故原子結合能未包 括原子核正電荷本身的固有能量。注意第89頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六1.9.2 靜電力2.虛位移法 ( Virtual Displacement Method )虛位移法是基于虛功原理計算靜電力的方法。 廣義坐標：距離、面積、體積、角度。廣義力：企圖改變某一個廣義坐標的力。廣義力的正方向為廣義 坐標增加的方向。二者關系： 廣義坐標 距 離 面 積 體 積 角 度 廣義力

48、 機械力 表面張力 壓強 轉矩 （單位） （N） （N/m） （N/m2） Nm廣義力廣義坐標=功1. 由電場強度E的定義求靜電力，即第90頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六常電荷系統（K打開）： 它表示取消外源后，電場力做功必須靠減少電場中靜電能量來實現。 常電位系統（K合上）：外源提供能量的增量靜電能量的增量 外源提供的能量有一半用于靜電能量的增量，另一半用于電場力做功。 設(n+1)個導體組成的系統,只有P號導體發生位移 ，此時系統中帶電體的電壓或電荷將發生變化，其功能關系為外源提供能量靜電能量增量=+電場力所作功圖1.9.4 多導體系統第91頁，共116頁，202

49、2年，5月20日，0點7分，星期六 上述兩個公式所得結果是相等的 試求圖示平行板電容器的電場力。解法一：常電位系統解法二：常電荷系統可見，兩種方法計算結果相同，電場力有使d減小的趨勢，即電容增大的趨勢。 兩個公式所求得的廣義力是代數量 。還需根據“”號判斷其方向。圖1.9.5 平行板電容器第92頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六 例1.9.4 圖示一球形薄膜帶電表面，半徑為 ，其上帶電荷為 ，試求薄膜單位面積所受的電場力。解：表示廣義力的方向是廣義坐標增大的方向，即為膨脹力。單位面積上的力：（N/m2）圖1.9.6 球形薄膜第93頁，共116頁，2022年，5月20日，0點7分，星期六3. 法拉第觀點 法拉第認為，沿通量線作一通量管，沿其軸向受到縱張力，垂直于軸向方向受到側壓力，1)