1、第一學期高等數學期末考試試卷答案一計算題（本題滿分35分，共有5道小題，每道小題71x 2xx1求極限 x3x0解： x2 f t dt 及3 x2設x0時，及是等價無窮小，k等價無窮小，求常數 及f xkA20解：3x f t dt3xf t dt 及由于當x0時，k等價無窮小，所以lim1而0Axkx00116所以，lim1因此，k A6Akxk1x0b x2 x1a中不含有對數函數，求常數 及 應滿足的條件b3如果不定積分解：1x22xaxb2 將 x1化為部分分式，有1 x22b x2 因此不定積分中不含有對數函數的充分必要條件是上式中的待定系數 x11x22 x1 12 2x2axb

2、BDB1 x2D x1 即 x1x11x2 x1 x2222 x2 axb B1 x2 D x1 2 B D x2 2Dx B D所以，有比較上式兩端的系數，有1BD, a2D, bBD所以，得b152min x2 dx5計算定積分0解：第 1 頁5513812 22min x2 dx dx 2x dx x2 dx 所以，00125設曲線C的極坐標方程為r asin3，求曲線C的全長3解：曲線rasin一周的定義域為0 ，即 因此曲線C的全長為0 33345分，共有5道小題，每道小題9 sin x f x lim 6求出函數的所有間斷點，并指出這些間斷點的類型1 2x2nn解：11 x 1x

3、2f x是函數 的間斷點因此及22，因此x1是函數 f x 00 f x x 1f x的第一類可去型，2121211xxx2x2間斷點1 f x x 1 f x 00，因此xf x的第一類可去型間斷，是函數211 112x2x2x2x點 xf x b在區間7設是函數上使用 Lagrange（拉格朗日）中值定理中的“中值”，求極限limbb0解： b f x x b，使得在區間上應用Lagrange中值定理，知存在 b 21因此，2所以，arcsinb令tarcsinb，則有 1 所以，3bb0第 2 頁 11 xf x e 2ydy，求 f x dx8設解：y00 xf x e 2ydy 中，

4、令x1，得在方程y0 f xxf x e 2ydyx兩端對 求導，得2ex ，再在方程y01 1 1 xf x dxf x dx xf x10 xf x dx因此，000 , 內實根的個數e ax2 a09研究方程x在區間解： 2x exf x ax2e 1 f x 2axeax2ex axxx設函數， 0f x f x 的駐點x，得函數x2令12由于a0，所以 f x因此，得函數的性態, 020 f x114 12e2 4 10f x ax e 1 , 0 2 若，即a時，函數在、內各有一22 x4在, 內有3個實根e ax2個零點，即方程xe2 f x ax e 1 , 0時，函數 在 、

5、4 10 若，即a內各有一個零點，即22 x4在, 內有2個實根e ax2方程xe2 4 10f x ax e 1 , 0e ax在，即a時，函數在有一個零點，即方程22xx2 若4, 內有1個實根第 3 頁 f x10設函數可導，且滿足 f x試求函數的極值解： 1f t t f t f x x f x 1x在方程中令t，得，即 xf x f x x f x xfx x f x，得在方程組中消去t f 0 0 tx2f x f 0 ，得積分，注意dt即1t20 xx f x 12xx22 f xx x 1 2f x而由得函數的駐點所以，1x2121x21 f 0 0 f x f 1 1 ln

6、2f x是函數 極大值所以，是函數極小值；24三應用題及證明題（本題滿分20分，共有2道小題，每道小題10y xl 及直線x 0 x 2和x所圍成的圖形繞 軸旋轉的旋轉體的體積為最小解： 1t,ty y x t,在t處的切線方程為設切點坐標為，由，可知曲線2 t11 xt xty t y ，或2 t2 t因此所求旋轉體的體積為 82232 0得駐點t，舍去t所以，由于4 t23 162d2V 0，因而函數V在t處達到極小值，而且也是最小值因此所求切線方程為3dt24 t222tt33312y x4 ，1 ，1 f x12設函數在閉區間上連續，在開區間內可導，且第 4 頁1 ，1 f 證明：至少存在一點解：，使得1 arctan2 f x 12 因為在閉區間上連續，所以由積分中值定理，知存在，使得21212 e1 0 arctanf x arctane xdxff由于2，所以，再由，得0 g x e , 1 1 , 1 arct