1、1.向量加法的三角形法則作法:在平面中任取一點O,o回顧舊知:過O作OA= a過A作AB= b則OB= a+b.a+bbaA如圖,已知向量a和向量b,作向量a+b.bBa首尾相接首尾連第1頁/共38頁2.向量加法的平行四邊形法則作法:在平面中任取一點O,o以OA,OB為邊作平行四邊形C如圖,已知向量a和向量b,作向量a+b.baaAbB過O作OA= a過O作OB= ba+b則對角線OC= a+b共起點第2頁/共38頁3.向量的減法(三角形法則）如圖,已知向量a和向量b,作向量a-b.ab作法:在平面中任取一點o,過O作OA= a過O作OB= boaAbB則BA= a-ba-b共起點第3頁/共3

2、8頁實際背景第4頁/共38頁探索1:aCaABaO-aQ-aMN-aP已知非零向量 a （如圖）a試作出： a+a+a 和 (-a)+(-a)+(-a)根據向量加法的法則可得 思考:相同向量相加以后，和的長度與方向有什么變化？第5頁/共38頁OABC 由圖可知，向量OC=OA+AB+BC=a+a+a,我們把a+a+a記作3 a，即OC=3a. 顯然，3a的方向與a的方向相同，3a 的長度是a的長度的3倍，即|3a | = 3 |a |.第6頁/共38頁PQMN由圖可知， PN=PQ+QM+MN=(-a)+(-a)+(-a)，把(-a)+(-a)+(-a)記作-3 a，即PN= - 3a顯然，-

3、3a的方向與a的方向相反，-3a的長度是a的長度的3倍，即|-3a | =3 | a | 。第7頁/共38頁（1） 一般地，我們規定實數與向量 的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作 ，它的長度和方向規定如下：（2）當 時， 的方向與 的方向相同； 當 時， 的方向與 的方向相反。特別的， 當 時，思考:向量數乘和實數乘法有那些相同點?那些不同點? a 是一個向量； a 的長度等于的絕對值與向量a的長度的乘積。1、實數與向量積的定義第8頁/共38頁=2、實數與向量積的運算律根據定義，求作向量3(2a)和(6a) (a為非零向量)，并進行比較。第9頁/共38頁2、實數與向量積的運算律第10

4、頁/共38頁2、實數與向量積的運算律ABCDEADE第11頁/共38頁2、實數與向量積的運算律結合律分配律分配律逆運算第12頁/共38頁設 為實數，那么特別的，我們有 向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算.對于任意向量 ，以及任意實數 ，恒有第13頁/共38頁例1.計算：注：向量與實數之間可以像多項式一樣進行運算.第14頁/共38頁第15頁/共38頁練習第16頁/共38頁解：DC= AB= a BC=BD+DC =(AD-AB)+DC =b-a+ a=b- a MN=DN-DM= a-b- a= a-bDANMCB例1: 梯形ABCD，且|AB|=2|DC|M、N分別為DC、AB中點。A

5、B=a AD=b 用a，b表示DC、BC、MN。第17頁/共38頁鞏固練習:設D、E、F分別是 ABC的邊BC、CA、AB上的點,且AF=(1/2)AB,BD=(1/3)BC,CE=(1/4)CA.若記AB=m,CA=n.試用m,n表示DE、EF、FDABCDEF第18頁/共38頁思考:問題2：如果 向量a與b共線 那么，b=a ？問題1：如果 b=a , 那么，向量a與b是否共線？對于向量 a (a0), b ，以及實數,第19頁/共38頁3.向量共線定理 反過來，已知向量a與b共線， a 0 ，且向量b的長度是向量a的倍，即| b | a |= ，那么當向量a與b同向時，有b = a ，

6、當向量a與b反向時，有b = - a . 也就是說：如果a與b共線，那么有且只有一個實數 ，使b = a . 對于向量a （ a 0 ）、 b ，如果有一個實數，使 b = a ，那么由實數與向量的積的定義知， a與b共線.第20頁/共38頁思考：若則結論如何？第21頁/共38頁練習、已知向量試判斷，是否共線。ABDEC第22頁/共38頁ABDEC 與 共線 解：第23頁/共38頁ABCO第24頁/共38頁例7:如圖，在平行四邊形ABCD中，M是AB的中點，點N是BD上的一點， ，求證M、N、C三點共線.AMBCDN提示：設AB = a BC = b則MN= = a + b MC= = a+

7、b 所以M.N.C三點共線第25頁/共38頁一、a 的定義及運算律 向量共線定理 (a0) b=a 向量a與b共線 二、定理的應用： 1. 證明 向量共線 2. 證明 三點共線: AB=BC A,B,C三點共線 3. 證明 兩直線平行: AB=CD ABCD AB與CD不在同一直線上直線AB直線CD第26頁/共38頁練習1 設a，b是兩個不共線向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2bA、B、D共線則k=_(kR)解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=(2a-b)=2a-b 2=2 =-1 k=- k =-1 k=-1第27頁/共38頁練習2: e1、e2不共

8、線, a=e1+e2 , b=3e1-3e2. a與b是否共線。解：假設,a與b共線則 e1+e2=(3e1-3e2)=3e1-3e2 1=3 1=-3 這樣不存在。 a與b不共線。第28頁/共38頁練習3:設兩非零向量a和b不共線，如果ABab，CD3（ab），BC=2a+8b求證：A、B、D三點共線。第29頁/共38頁例2:（2003 遼寧）已知四邊形ABCD是菱形，P點在對角線AC上（不包括端點A、C），則AP等于 ( )A、 B、C、 D、A第30頁/共38頁 變形1:（2003 全國）O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足 則P的軌跡一定通過ABC的( )A外

9、心B內心C重心D垂心B第31頁/共38頁變形2:OA、OB不共線，AP=tAB，用OA、OB表示OP所以：OABP因為OP=OA+AP=OA+tAB=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB思考:若上式成立,則A、B、P有什么關系?反之?第32頁/共38頁結論：已知OA、OB不共線，若P、A、B三點共線則則P、A、B三點共線.若O是平面上任意一點,且若O是平面上任意一點,且其中, 則P、A、B三點共線等價命題：OA、OB不共線，若P、A、B三點共線,則 其中 第33頁/共38頁鞏固練習:如圖 OAB中,C為直線 AB上一點,AC=CB(-1),ABOC第34頁/共38頁練習1 設a，b是兩個不共線向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2bA、B、D共線則k=_(kR)解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=(2a-b)=2a-b 2=2 =-1 k=- k=-1 k=-1第35頁/共38頁練習2: e1、e2不共線, a=e1+e2 , b=3e1-3e2. a與b是