1、北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院期末試題參考答案2015 -2016學(xué)年第 1 學(xué)期考試科目 高等代數(shù)I 考試時(shí)間 2016 年 1 月 5 日一.（15分）已知 ,. 當(dāng)a取何值時(shí)，矩陣方程 A X = B無解, 有唯一解, 有無窮多解 ? 在A X = B有解時(shí)給出一個(gè)解X .解: 對(duì) A | B 作行變換 若 a = 1 , A | B 可化為 最后一個(gè)矩陣的前三個(gè)列能用無窮多種方式線性表出后兩個(gè)列，于是A的列組也能用無窮多種方式線性表出B的列組，此時(shí)矩陣方程A X = B 有無窮多解，其中的一個(gè)解為 . 當(dāng) a 1時(shí) , A | B 可化為若 a = - 2 , 則A的列組無法線性表出B的列組，矩

2、陣方程A X = B 無解.若 a 1且 a - 2 , A | B 可化為此時(shí)矩陣方程A X = B 有唯一解 . 二.（12分）作變量替換 X = C Y , 將三元二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = a x12 + x22 + 3 x32 + 6 x1 x2 + 10 x1 x3 2 x2 x3化為標(biāo)準(zhǔn)型, 并確定當(dāng)a取何值時(shí)，f正定 ; 當(dāng)a取何值時(shí)，f不定 .解: f ( x1 , x2 , x3 ) =對(duì) f 的矩陣成對(duì)的行列變換 故 f 的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)型為 ( a 41 ) y12 + y22 + 2 y32 , 所作的變量替換為 X = C Y , 其中 C = .

3、(注: 變量替換的矩陣C不唯一).由此可看出, 當(dāng) a 41 時(shí), f 正定 ; 當(dāng)a 41 時(shí), f 不定 三.（12分）當(dāng)a取何值時(shí)，矩陣A = 相似于對(duì)角矩陣.解：先求A的特征多項(xiàng)式 .于是A 有特征值l = 1 (代數(shù)二重) 及l(fā) = 6 . 矩陣 A可對(duì)角化當(dāng)且僅當(dāng)特征值l = 1 的幾何重?cái)?shù)也等于2 , 即矩陣 A I 的解空間是2維的.由解空間的維數(shù)公式 , 這又等價(jià)于 A I = 的秩等于3 2 = 1 , 或 a = 3 .三.（24分）設(shè)二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 3 x12 + 4 x1 x2 4 x1 x3 + 8 x2 x3 .(1) 將 f 寫

4、成 XT A X的形式, 并求實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值與特征向量;(2) 求正交矩陣P及對(duì)角矩陣D , 使得A = P D PT ;(3) 證明: 對(duì)任意 X = x1 x2 x3 T R 3 , 有f ( X ) = XT A X 4 | X |2 , 并確定等號(hào)在何處取到.解: (1) 故A的特征值為l = 4 (代數(shù)二重) 及 l = 5 .對(duì)l = 4解齊次方程組 ( A 4 I ) X = 0 :通解為x1 = 2 x2 - 2 x3 , x2 、x3為自由變量. 解的向量形式于是1 =, 2 = 構(gòu)成l = 4特征子空間的一組基.對(duì)l = - 5解齊次方程組 ( A + 5 I ) X

5、 = 0 :通解為 x1 = 1/2 x3 , x2 = - x3 , x3為自由變量. 解的向量形式:于是3 = 構(gòu)成l = -5的特征子空間的一組基.(2) 將1 =, 2 = 正交化:令 1 = 1 , 再單位化:將3 = 也單位化: 則g1 , g2 , g3 構(gòu)成R3 的標(biāo)準(zhǔn)正交基, P = g1 g2 g3 = 為正交矩陣, 且 (3) 做正交替換X = P Y , 二次型f化為 f( X ) = X TA X = Y T P TA P Y = Y T D Y = 4 y12 + 4 y22 5 y32 .由于P是正交矩陣, 我們有x12 + x22 + x32 = X T X =

6、 Y T P T P Y = Y T Y = y12 + y22 + y32 .故f ( X ) = 4 y12 + 4 y22 5 y32 = 4 ( y12 + y22 + y32 ) 9 y32 4 | X |2 ,且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) y3 = 0 , 或等價(jià)地, X = y1 g1 + y2 g2 , y1 , y2 R , 即 X屬于最大特征值l = 4的特征子空間.五.（12分）設(shè) b1, b2, b3, b4 分別是矩陣C =的列向量.1) 證明: b i b jT ( 1 i 4 , 1 j 4 ) 是全體4級(jí)實(shí)矩陣構(gòu)成的實(shí)線性空間M 4 ( R ) 的一組基;2) 求矩陣X

7、=在以上基底下的坐標(biāo), 即求矩陣A = ai j , 使得 .證: 1) 由于 dim M 4 ( R ) = 16 , 欲證b i b jT ( 1 i 4 , 1 j 4 ) 是M 4 ( R ) 的基底, 只需證明這16個(gè)矩陣能線性表出M 4 ( R )中任何一個(gè)矩陣. 任取矩陣X M 4 ( R ) . 設(shè) A =CT X C, 并記A的 ( i , j ) 元為ai j . 則A可表示為A = ai j = 1 i , j 4 ai j e i e jT ,這里列向量e i ( 1 i 4 ) 為R4的標(biāo)準(zhǔn)基. 由于C CT = CT C = 4 I , 我們有 X = C A CT

8、 = 1 i , j 4 ai j C e i e jT CT = 1 i , j 4 ai j b i b jT.于是b i b jT ( 1 i 4 , 1 j 4 ) 構(gòu)成實(shí)線性空間M 4 ( R ) 的一組基. 2) 設(shè)矩陣X = = 1 i , j 4 ai j b i b jT. 則 A = ai j = CT X C .即 X = ( b1 b1T b2 b2T b3 b3T + b4 b4T ) .六.（10分）設(shè)A 是3 4矩陣，其中任何一個(gè)3階子式都不等于零 . 證明： 存在可逆矩陣C 與對(duì)角矩陣D，使得A = . 證: 對(duì)A作行變換 , 可將A變?yōu)楹喕A梯形J . 由于A

9、的每個(gè)3階子式非零，J的每個(gè)3階子式也都非零。 故 J = , 其中 abc 0 . 于是存在可逆矩陣 B , 使得A = B J = B= B = . 這里令 C = B , D = . 七.（ 5分）判斷對(duì)錯(cuò). 正確的請(qǐng)給出證明, 錯(cuò)誤的請(qǐng)舉出反例. 若A是行列式為1的n級(jí)正交矩陣 , 則A的每個(gè)r級(jí)子式 ( 1 r n ) 都等于此子式的代數(shù)余子式 .命題正確 ( 1分) (這可以通過多觀察一些例子猜到：如 ).以下給出兩種證明, 第一個(gè)證明由羅睿軒同學(xué)給出：證1: 任取 1 k1 kr n，設(shè)A的第k1 , , kr行中的N =個(gè)r級(jí)子式為 A1 , . , A N , 設(shè)這些r級(jí)子式

10、對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式依次為B1 , . , B N .對(duì)A的第k1 , , kr行作Laplace展開， 得A1 B1 + . . . + A N B N = | A | = 1 . (1)另一方面, 記A的第k個(gè)行向量為 bk . 根據(jù)Cauchy-Binet公式 , 有A12 + . . . + A N 2 =. (2)類似的, 還有B12 + . . . + B N 2 =. (3)這里 k1 , , kr , l1 , , l n-r 構(gòu)成1, 2 , . , n 的一個(gè)排列. (2) + (3) 2(1) , 得( A1 B1 ) 2 + . . . + ( A N B N ) 2 =

11、0 .于是有 A i = B i , 1 i N . 故A的每個(gè)r級(jí)子式都等于其的代數(shù)余子式 .第二個(gè)證明由漆王宇同學(xué)給出.證2 : 首先證明對(duì)任意n級(jí)正交矩陣A , 其左上角的r級(jí)子式總等于其右下角的n - r級(jí)子式乘以A的行列式 , 即A = | A | A. (1)將A寫成分塊矩陣 的形式, 其中B是r級(jí)子陣, E是n - r級(jí)子陣.由于A是正交矩陣 , 我們有AAT = = .特別地 , 有 D DT + E ET = I n-r 及 B DT + C ET = 0 . 由此得 .兩邊求行列式 , 得 | A | | ET | = | A | | E | = | B | . 此即為公式 (1).以下設(shè)X = A ( 1 i1 ir n , 1 j1 jr n ) 是一個(gè)處于一般位置的r級(jí)子式 , 設(shè)X的余子式為Y . 由定義,X的代數(shù)余子式 = Y.將A的第i1行與它前面的i1 -1行逐行交換, 把第i1行變到第1行上; 再將A的第i 2行與它之前的i1 -2行逐行交換, 把第i 2行變到第2行上; 重復(fù)此過程，直至將第i r行變到第r行上. 再對(duì) A的列也做如此交換, 最終可通過i1 + + ir + j1 + + jr 2 ( 1 +.+ r ) 次行, 列對(duì)換將子式 X變到方陣的左上角, 將X