1、2012年上海市高考數學試卷（理科）參照答案與試題分析一、填空題（56分）：1（4分）（2012?上海）計算：=12i（i為虛數單位）考復數代數形式的乘除運算點：專計算題題：分由題意，可對復數代數式分子與分母都乘以1i，再由進行計算即可獲得答案析：解解：答：故答案為12i點此題考察復數代數形式的乘除運算，解題的重點是分子分母都乘以分母的共軛，復數評：的四則運算是復數考察的重要內容，要嫻熟掌握2（4分）（2012?上海）若會集A=x|2x+10，B=x|x1|2，則AB=（，3）考交集及其運算點：專計算題題：分由題意，可先將兩個數集化簡，再由交的運算的定義求出兩個會集的交集即可獲得答析：案解解：

2、由題意A=x|2x+10=x|x，B=x|x1|2=x|1x3，答：所以AB=（，3）故答案為（，3）點此題考察交集的運算，解題的重點是嫻熟掌握交集的定義及運算規則，正確化簡兩個評：會集對解題也很重要，要正確化簡3（4分）（2012?上海）函數f（x）=的值域是考二階矩陣；三角函數中的恒等變換應用點：專計算題題：分先依據二階隊列式的運算法例求出函數的分析式，而后化簡整理，依據正弦函數的有析：界性可求出該函數的值域解解：f（x）=2sinxcosx=2sin2x答：1sin2x1sin2x則2sin2x函數f（x）=的域是故答案：點本主要考了二隊列式的求解，以及三角函數的化和域的求解，同考了：算

3、能力，屬于基4（4分）（2012?上海）若=（2，1）是直l的一個法向量，l的斜角的大小arctan2（果用反三角函數表示）考平面向量坐表示的用點：算：分依據直的法向量求出直的一個方向向量，進而獲得直的斜率，依據k=tan可析：求出斜角解解：=（2，1）是直l的一個法向量答：可知直l的一個方向向量（1，2），直l的斜角得，tan=2=arctan2故答案：arctan2點本主要考了方向向量與斜率的關系，以及反三角的用，同運算求解的能力，：屬于基5（4分）（2012?上海）在的二睜開式中，常數等于160考二式定理的用點：算：分研究常數只要研究二式的睜開式的通，使得x的指數0，獲得相的r，從析：而

4、可求出常數解解：睜開式的通Tr+1=x6r（）r=（2）rx62r令62r=0可得r=3答：常數（2）3=160故答案：160點本主要考了利用二睜開式的通求解指定，同考了算能力，屬于基：6（4分）（2012?上海）有一列正方體，棱成以1首、公比的等比數列，體分V1，V2，Vn，（V1+V2+Vn）考數列的極限；棱柱、棱、棱臺的體點：算：分由意可得，正方體的體=是以1首，以公比的等比數，由等不數列的乞降析：公式可求解解：由意可得，正方體的棱足的通na答：=是以1首，以公比的等比數列（V1+V2+vn）=故答案：點本主要考了等比數列的乞降公式及數列極限的求解，屬于基：7（4分）（2012?上海）已

5、知函數f（x）=e|xa|（a常數）若f（x）在區1，+）上是增函數，a的取范是（，1考指數函數性的用點：合：分由意，復合函數f（x）在區1，+）上是增函數可得出內函數t=|xa|在區析：1，+）上是增函數，又函數t=|xa|在區a，+）上是增函數，可得出1，+）?a，+），比區端點即可得出a的取范解解：因函數f（x）=e|xa|（a常數）若f（x）在區1，+）上是增函數答：由復合函數的性知，必有t=|xa|在區1，+）上是增函數又t=|xa|在區a，+）上是增函數所以1，+）?a，+），故有a1故答案（，1點本考指數函數性的運用及復合函數性的判斷，會集包括關系的判斷，解：的關是依據指數函數的

6、性將化會集之的包括關系，本考了化的思想及推理判斷的能力，屬于指數函數中合性的型8（4分）（2012?上海）若一個的面睜開是面2的半面，的體考旋體（柱、臺）點：算：分通面睜開的面求出的母，底面的半徑，求出的體即可析：解解：由意一個的面睜開是面2的半面，答：因4=l2，所以l=2，半的弧2，的底面半徑2r=2，r=1，所以的體：=故答案：點本考旋體的條件的求法，面睜開的用，考幻想象能力，算能力：29（4分）（2012?上海）已知y=f（x）+x是奇函數，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，則g（1）=1考函數奇偶性的性質；函數的值點：專計算題題：分由題意，可先由函數是奇函數求出f（1）=3，

7、再將其代入g（1）求值即可得析：到答案解2解：由題意，y=f（x）+x是奇函數，且f（1）=1，答：所以f（1）+1+f（1）+（1）2=0解得f（1）=3所以g（1）=f（1）+2=3+2=1故答案為：1點此題考察函數奇偶性的性質，利用函數奇偶性求值，解題的重點是依據函數的奇偶性評：成立所要求函數值的方程，基此題型10（4分）（2012?上海）如圖，在極坐標系中，過點M（2，0）的直線l與極軸的夾角a=，若將l的極坐標方程寫成=f（）的形式，則f（）=考簡單曲線的極坐標方程點：專計算題題：分取直線l上隨意一點P（，），連結OP，則OP=，POM=，在三角形POM中，析：利用正弦定理成立等式關

8、系，進而求出所求解解：取直線l上隨意一點P（，），連結OP，則OP=，POM=答：在三角形POM中，利用正弦定理可知：解得=f（）=故答案為：點此題主要考察了簡單曲線的極坐標方程，以及正弦定理的應用，同時考察了剖析問題評：的能力和轉變的思想，屬于基礎題11（4分）（2012?上海）三位同學參加跳高、跳遠、鉛球項目的競賽，若每人都選擇此中兩個項目，則有且僅有兩人選擇的項目完整同樣的概率是（結果用最簡分數表示）考古典概型及其概率計算公式點：專概率與統計題：分先求出三個同學選擇的所求種數，而后求出有且僅有兩人選擇的項目完整同樣的種析：數，最后利用古典概型及其概率計算公式進行求解即可解解：每個同學都有

9、三種選擇：跳高與跳遠；跳高與鉛球；跳遠與鉛球答：三個同學共有333=27種有且僅有兩人選擇的項目完整同樣有=18種此中表示3個同學中選2個同學選擇的項目，表示從三種組合中選一個，表示剩下的一個同學有2中選擇故有且僅有兩人選擇的項目完整同樣的概率是=故答案為：點此題主要考察了古典概型及其概率計算公式，解題的重點求出有且僅有兩人選擇的項評：目完整同樣的個數，屬于基礎題12（4分）（2012?上海）在平行四邊形ABCD中，A=，邊AB、AD的長分別為2、1，若M、N分別是邊BC、CD上的點，且知足=，則的取值范圍是2，5考平面向量的綜合題點：專計算題題：分畫出圖形，成立直角坐標系，利用比率關系，求出

10、M，N的坐標，而后經過二次函數析：求出數目積的范圍解解：成立如下圖的直角坐標系，則B（2，0），A（0，0），答：D（），設=，0，1，M（2+），N（），所以=（2+）?（）=22+5，因為0，1，二次函數的對稱軸為：=1，所以0，1時，22+52，5故答案為：2，5點此題考察向量的綜合應用，平面向量的坐標表示以及數目積的應用，二次函數的最值評：問題，考察計算能力13（4分）（2012?上海）已知函數y=f（x）的圖象是折線段ABC，此中C（1，0），函數y=xf（x）（0 x1）的圖象與x軸圍成的圖形的面積為A（0，0）、B（，5）、考函數的圖象點：專計算題；綜合題；壓軸題題：分依據題意求

11、得f（x）=，進而y=xf（x）=，利用定積分可求得函數y=xf（x）（0 x1）析：的圖象與x軸圍成的圖形的面積解解：由題意可得，f（x）=，答：y=xf（x）=，設函數y=xf（x）（0 x1）的圖象與x軸圍成的圖形的面積為S，則S=10 x2dx+（10 x2+10 x）dx=10+（10）+10=+5=故答案為：點此題考察函數的圖象，側重考察分段函數的分析式的求法與定積分的應用，考察剖析評：運算能力，屬于難題14（4分）（2012?上海）如圖，且AB+BD=AC+CD=2a，此中a、cAD與BC是四周體為常數，則四周體ABCD中相互垂直的棱，ABCD的體積的最大值是BC=2，若AD=2

12、c，考棱柱、棱錐、棱臺的體積點：專計算題；壓軸題題：剖析：作BEAD于E，連結CE，說明B與C都是在以AD為焦距的橢球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，BE=CE取BC中點F，推出四周體ABCD的體積的最大值，當ABD是等腰直角三角形時幾何體的體積最大，求解即可解解：作BEAD于E，連結CE，則AD平面BEC，所以CEAD，答：由題設，B與C都是在以AD為焦點的橢圓上，且BE、CE都垂直于焦距AD，AB+BD=AC+CD=2a，明顯ABDACD，所以BE=CE取BC中點F，EFBC，EFAD，要求四周體ABCD的體積的最大值，因為AD是定值，只要三角形EBC的面積最大，因為BC是定值，所以只要

13、EF最大即可，當ABD是等腰直角三角形時幾何體的體積最大，AB+BD=AC+CD=2a，AB=a，所以EB=，EF=，所以幾何體的體積為：=故答案為：點此題考察棱柱、棱錐、棱臺的體積，考察空間想象能力，邏輯推理能力以及計算能力評：二、選擇題（20分）：15（5分）（2012?上海）若1+i是對于Ab=2，c=3Bb=2，c=3x的實系數方程x2+bx+c=0的一個復數根，則（Cb=2，c=1Db=2，c=1）考復數相等的充要條件點：專計算題；轉變思想題：剖析：解答：由題意，將根代入實系數方程x2+bx+c=0整理后依據得數相等的充要條件獲得對于實數a，b的方程組，解方程得出a，b的值即可選出正

14、確選項21+2i2+b+bi+c=0，解得b=2，c=3應選B點此題考察復數相等的充要條件，解題的重點是嫻熟掌握復數相等的充要條件，能依據評：它獲得對于實數的方程，此題考察了轉變的思想，屬于基本計算題16（5分）（2012?上海）在ABC中，若sin2A+sin2Bsin2C，則ABC的形狀是（）A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不可以確立考余弦定理的應用；三角形的形狀判斷點：專解三角形題：分由sin2A+sin2Bsin2C，聯合正弦定理可得，a2+b2c2，由余弦定理可得CosC=可判析：斷C的取值范圍解222解：sinA+sinBsinC，答：由正弦定理可得，a2+b2c2由余弦定理

15、可得cosC=ABC是鈍角三角形應選C點此題主要考察了正弦定理、余弦定理的綜合應用在三角形的形狀判斷中的應用，屬于評：基礎試題17（5分）（2012?上海）設10 x1x2x3x4104，x5=105，隨機變量1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均為，隨機變量2取值、的概率也均為，若記D1、D2分別為1、2的方差，則（AD1D2）BD1=D2CD1D2DD1與D2的大小關系與x1、x2、x3、x4的取值相關考失散型隨機變量的希望與方差；失散型隨機變量及其散布列點：專計算題；壓軸題題：分依據隨機變量1、2的取值狀況，計算它們的均勻數，依據隨機變量1、2的取析：解答：值的概率都為，即可求得結論

16、解：由隨機變量1、2的取值狀況，它們的均勻數分別為：=（x1+x2+x3+x4+x5），=（+）=且隨機變量1、2的取值的概率都為，所以有D1D2，應選擇A點此題主要考察失散型隨機變量的希望和方差公式記牢公式是解決此類問題的前提和評：基礎，此題屬于中檔題18（5分）（2012?上海）an=sin，Sn=a1+a2+an，在S1，S2，S100中，正數的個數是（）A25B50C75D100考數列的乞降；三角函數的周期性及其求法點：算；：分因為f（n）=sin的周期T=50，由正弦函數性可知，a，a，a0，a，a，12242627析：a490，f（n）=減，a25=0，a26a50都數，可是|a2

17、6|a1，|a27|a2，|a49|a24，進而可判斷解解：因為f（n）=sin的周期T=50答：由正弦函數性可知，a1，a2，a240，a25=0，a26，a27，a490，a50=0且sin，sin可是f（n）=減a26a都數，可是|a|a，|a|a，|a|a244926127249S1，S2，S25中都正，而S26，S27，S50都正同理S1，S2，s75都正，S1，S2，s75，s100都正，故D點本主要考了三角函數的周期的用，數列乞降的用，解的關是正弦函數性：的靈巧用三、解答（共5小，分74分）19（12分）（2012?上海）如，在四棱PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABC

18、D，E是PC的中點，已知AB=2，AD=2，PA=2，求：1）三角形PCD的面；2）異面直BC與AE所成的角的大小考直與平面垂直的性；異面直及其所成的角點：明；合；空地點關系與距離；空角：分（1）能夠利用面垂直的判斷與性，明出三角形PCD是以D直角點的直角析：三角形，而后在RtPAD中，利用勾股定理獲得PD=2，最后獲得三角形PCD的面S；（2）解法一成立如空直角坐系，可得B、C、E各點的坐，進而=（1，1），=（0，2，0），利用空向量數目的公式，獲得與角足：cos=，由此可得異面直BC與AE所成的角的大小；解法二取PB的中點F，接AF、EF，PBC中，利用中位定理，獲得EFBC，進而AEF

19、或其角就是異面直BC與AE所成的角，而后能夠通算明出：AEF是以F直角點的等腰直角三角形，所以AEF=，可得異面直BC與AE所成的角的大小解解：（1）PA底面ABCD，CD?底面ABCD，答：CDPA矩形ABCD中，CDAD，PA、AD是平面PDC內的訂交直CD平面PDA，PD?平面PDA，CDPD，三角形PCD是以D為直角極點的直角三角形RtPAD中，AD=2，PA=2，PD=2三角形PCD的面積S=PDDC=2（2）解法一如下圖，成立空間直角坐標系，可得B（2，0，0），C（2，2，0），E（1，1）=（1，1），=（0，2，0），設與夾角為，則cos=，=，由此可得異面直線BC與AE所成

20、的角的大小為解法二取PB的中點F，連結AF、EF、AC，PBC中，E、F分別是PC、PB的中點，EFBC，AEF或其補角就是異面直線BC與AE所成的角RtPAC中，PC=4AE=PC=2，在AEF中，EF=BC=，AF=PB=222AF+EF=AE，AEF是以F為直角極點的等腰直角三角形，AEF=，可得異面直線BC與AE所成的角的大小為點此題依據一個特別的四棱錐，求異面直線所成的角和證明線面垂直，側重考察了異面評：直線及其所成的角和直線與平面垂直的性質等知識，屬于中檔題20（14分）（2012?上海）已知f（x）=lg（x+1）1）若0f（12x）f（x）1，求x的取值范圍；2）若g（x）是以

21、2為周期的偶函數，且當0 x1時，g（x）=f（x），求函數y=g（x）x1，2）的反函數考函數的周期性；反函數；對數函數圖象與性質的綜合應用點：專計算題題：分（1）應用對數函數聯合對數的運算法例進行求解即可；析：（2）聯合函數的奇偶性和反函數知識進行求解解解：（1）f（12x）f（x）=lg（12x+1）lg（x+1）=lg（22x）lg（x+1），答：要使函數存心義，則由解得：1x1由0lg（22x）lg（x+1）=lg1得：110，x+10，x+122x10 x+10，由，得：（2）當x1，2時，2x0，1，y=g（x）=g（x2）=g（2x）=f（2x）=lg（3x），由性可知y0，l

22、g2，yx點本考數的運算以及反函數與原函數的定域和域相反等知，屬于易：21（14分）（2012?上海）海事營救船一艘出事船行定位：以出事船的目前地點原點，以正北方向y正方向成立平面直角坐系（以1海里位度），營救船恰幸虧出事船正南方向12海里A，如，假：出事船的移路徑可拋物；定位后營救船馬上沿直勻速前去營救；營救船出t小后，出事船所在地點的橫坐7t1）當t=，寫出出事船所在地點P的坐，若此兩船恰巧會集，求營救船速度的大小和方向2）營救船的速起碼是多少海里才能追上出事船考曲的合點：用：分（1）t=，確立P的橫坐，代入拋物方程中，可得P的坐，利用|AP|=，即析：可確立營救船速度的大小和方向；（2）

23、營救船的速v海里，t小追上出事船，此地點（7t，12t2），進而可得vt=，整理得，利用基本不等式，即可獲得解PP的坐P解：（1）t=，P的橫坐x=7t=，代入拋物方程中，得y=32分答：由|AP|=，獲營救船速度的大小海里/4分由tanOAP=，得OAP=arctan，故營救船速度的方向北偏arctan弧度6分（2）營救船的速v海里，t小追上出事船，此地點（7t，12t2）由vt=，整理得10分22因，當且當t=1等號成立，所以v1442+337=25，即v25點本主要考函數模型的與運用適合的函數模型是解決此的關，：屬于中檔22（16分）（2012?上海）在平面直角坐系xOy中，已知雙曲22

24、C1：2xy=1（1）C1的左點引C1的一條近的平行，求直與另一條近及x成的三角形的面；（2）斜率1的直l交C1于P、Q兩點，若l與x2+y2=1相切，求：OPOQ；23）C2：4x+y=1，若M、N分是C1、C2上的點，且OMON，求：O到直MN的距離是定考直線與圓錐曲線的綜合問題；圓錐曲線的綜合點：專計算題；壓軸題；轉變思想題：分（1）求出雙曲線的漸近線方程，求出直線與另一條漸近線的交點，而后求出三角形析：的面積（2）設直線PQ的方程為y=kx+b，經過直線PQ與已知圓相切，獲得2b=2，經過求解=0證明POOQ（3）當直線ON垂直x軸時，直接求出O到直線MN的距離為當直線ON不垂直x軸時

25、，設直線ON的方程為：y=kx，（明顯|k|），推出直線OM的方程為y=，利用，求22222出，設O到直線MN的距離為d，經過（|OM|+|ON|）d=|OM|ON|，求出d=推出O到直線MN的距離是定值解解：（1）雙曲線C1：左極點A（），答：漸近線方程為：y=x過A與漸近線y=x平行的直線方程為y=（x+），即y=，所以，解得所以所求三角形的面積為S=（2）設直線PQ的方程為y=kx+b，因直線PQ與已知圓相切，故，即b2=2，由，得x22bxb21=0，設P（x1，y1），Q（x2，y2），則，又y1y2=（x1+b）（x2+b）所以=x1x2+y1y2=2x1x2+b（x1+x2）+b

26、2222=2（1b）+2b+b2=b2=03）當直線ON垂直x軸時，|ON|=1，|OM|=，則O到直線MN的距離為當直線ON不垂直x軸時，設直線ON的方程為：y=kx，（明顯|k|），則直線OM的方程為y=，由得，所以同理，設O到直線MN的距離為d，22222，因為（|OM|+|ON|）d=|OM|ON|所以=3，即d=綜上，O到直線MN的距離是定值點此題考察直線與圓錐曲線的綜合問題，圓錐曲線的綜合，向量的數目積的應用，設而評：不求的解題方法，點到直線的距離的應用，考察剖析問題解決問題的能力，考察計算能力23（18分）（2012?上海）于數集X=1，x1，x2，xn，此中0 x1x2xn，n

27、2，定向量集Y=（s，t），sX，tX，若隨意，存在，使得，稱X擁有性P比如1，1，2擁有性P1）若x2，且1，1，2，x擁有性P，求x的；2）若X擁有性P，求：1X，且當xn1，x1=1；3）若X擁有性P，且x1=1、x2=q（q常數），求有數列x1，x2，xn的通公式考數列與向量的合；元素與會集關系的判斷；平面向量的合點：算；明；合；：分（1）在Y中取=（x，2），依據數目的坐公式，可得Y中與垂直的元素必有形式析：（1，b），所以x=2b，合x2，可得x的（2）取=（x1，x1），=（s，t）依據，化可得s+t=0，所以s、t異號而1是數集X中獨一的數，所以s、t中的數必1，另一個數是1，

28、進而出1X，最后通反法，能夠明出當xn1，x1=113）解法一先猜想：xi=q，i=1，2，3，nAk1，x1，x2，xk，k=2，3，n，通反法明出引理：若Ak+1擁有性P，Ak也擁有性P最后用數學法，可明出xi=qi1，i=1，2，3，n；解法二=（s1，t1），=（s2，t2），等價于，獲得一正一的特點，再B=|sX，tX且|s|t|，可得：數集X擁有性P，當且當數集B對于原點稱又注意到1是會集X中獨一的數，B（，0）=x2，x3，x4，xn，共有n1個數，所以B（0+）也有n1個數最后合不等式的性，合三角形數加以明，可得=，最獲得數列的通公式是xk=x1?（）k1=qk1，k=1，2，3，n解解：（1）取=（x，2），Y中與垂直的元素必有形式（1，b），所