1、拉格朗日(Lagrange)中值定理教學(xué)目的：熟練掌握中值定理及其幾何意義能應(yīng)用拉格朗日中值定理證明不等式了解拉格朗日中值定理的推論1和推論2教學(xué)重點：拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的應(yīng)用拉格朗日中值定理證明中輔助函數(shù)的引入。利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的技巧。教學(xué)難點：輔助函數(shù)的引入和中值定理的應(yīng)用技巧教學(xué)內(nèi)容：1羅爾定理的回顧與拉格朗日中值定理的引入我們簡單回顧一下羅爾定理的內(nèi)容：若函數(shù)f(x)滿足下列條件：在閉區(qū)間L,b連續(xù)；在開區(qū)間(a,b)可導(dǎo)；f(a)=f(b)羅爾定理的幾何意義大家都清楚了如圖1,現(xiàn)在我們把坐標系統(tǒng)繞原點在平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)a角，使在新坐標系如圖2，大家看看有什么不同？2拉格

2、朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函數(shù)f(x)滿足(1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點g(agb),使得等式f(b)f(a)=fG)(ba)成立。注：a、深刻認識定理，是兩個條件，而羅爾定理是三個條件。b-ab-ab、若加上f(a)=f(b),則fG)=f(b)-f(a)=亠=0,即：fG)=0,拉格朗日定理變?yōu)榱_爾定理，換句話說羅爾定理是拉格朗日定理的特例。拉格朗日(微分)中值定理幾何意義我們從幾何的角度看一個問題，如下：設(shè)連續(xù)函數(shù)y=f(x)，a與b是它定義區(qū)間內(nèi)的兩點(ab)，假定此函數(shù)在(a,b)上處處可導(dǎo)，也就是在(a,b)內(nèi)的函數(shù)圖

3、形上處處有不垂直于x軸的切線，那么我們從圖2上Ayf(b)f(a)容易看到，差商子=就是割線AB的斜率，若我們把割線AB作平行于自身Axba的移動，那么至少有一次機會達到離割線最遠的一點C(x=)處成為曲線的切線，而切線ba的斜率為f(E)，由于切線與割線是平行的，因此f(E)=f的f成立。3.分析與證明：分析：如何來證明該定理呢？由于羅爾定理為拉格朗日定理的特例，我們考慮是否可將拉格朗日定理的證明轉(zhuǎn)化到羅爾定理上來，為此需要構(gòu)造一個輔助函數(shù)(x)，使它滿足羅爾定理的條件。由前述分析，我們知道圖2是在圖1的基礎(chǔ)上繞點A旋轉(zhuǎn)了a角得到的，現(xiàn)進行逆變換，即將圖2曲線f(x)減去鉛直量(xa)tan

4、a得到圖1的曲線，而tana=。作輔助函數(shù)ba9(x)=f(x)-(x-a)，注意9(x)滿足羅爾定理的三個條件。ba在開區(qū)間C,b)可導(dǎo)，又9(a)=9(b)，根據(jù)羅爾定理，9(x)在(a,b)內(nèi)至少存在一點使得9點)=0，而9(x)=f(x)注1羅爾定理是拉格朗日中值定理f(a)=f(b)時的特例注2幾何意義：在滿足拉格朗日中值定理條件的曲線y=f(x)上至少存在一點C點,f點),該曲線在該點處的切線平行于曲線兩端點的連線AB。我們在證明中引入的輔助函數(shù)9(x)，正是曲線y=f(x)與鉛直量(x-a)tana之差，事實上，這個輔助函數(shù)的引入相當于圖形繞點A在平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)，使在新坐標系下，線

5、段AB平行于新x軸(甲(a)=9(b)。本定理的證明提供了一個用構(gòu)造函數(shù)法證明數(shù)學(xué)命題的精彩典范，同時通過巧妙地數(shù)學(xué)變換，將一般化為特殊，將復(fù)雜問題化為簡單問題的論證思想，也是高等數(shù)學(xué)中的重要而常用的數(shù)學(xué)思維的體現(xiàn)。注3拉格朗日中值定理的中值點是開區(qū)間Gb)內(nèi)的某一點，而非區(qū)間內(nèi)的任意點或指定一點。換言之，這個中值定理都僅“定性”地指出了中值點的存在性，而非“定量”地指明的具體數(shù)值。注4拉格朗日中值定理的結(jié)論常稱為拉格朗日公式，該公式精確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。當設(shè)f(x)在a,b連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)時，若x,x+Axe(a,b)，00則有f(

6、x+Ax)f(x)=f(x+0Ax)-Ax(001)；當y=f(x)時，也可寫成000Ay=f(x+0Ax)-Ax，(001)，試與微分dy=f(x)-Ax比較：即微分dy=f(x)-Ax0是函數(shù)增量Ay的近似表達式，而Ay=f(x+0Ax)-Ax(001)是函數(shù)增量Ay的精確表達式。所以拉格朗日中值公式又稱為有限增量公式，拉格朗日中值定理又稱有限增量定理。它有幾種常用的等價形式，可根據(jù)不同問題的特點，在不同場合靈活采用：f(b)f(a)=f()(ba),e(a,b)f(b)f(a)=fa+0(ba)(ba),0e(0,1)f(a+h)f(a)=f(a+0h)h,0e(0,1)拉格朗日中值定理的兩個重要推論推論1函數(shù)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)且f(x)三0,nf(x)為I上的常值函數(shù).證明：任取兩點叫，xeI(設(shè)x0時，ln(1+x)x1+x證明：設(shè)f(x)=ln(1+x),則f(x)在0,x上滿足拉氏定理的條件于是f(x)-f(0)=f()(x-0),(0 x)1又f(0)=fx)=仁，于是ln(1+x)=而0 x,所以11+1+122x從而丘Wx即氐ln(1+x)x例2證明arcsinx+arccosx=22證明：