1、【命題思路試題 A：一個環上有 N 個點，每個點染為 M【命題思路試題 A：一個環上有 N 個點，每個點染為 M 種顏色之一，求相鄰兩點均不同色的（N1018j 的方案數，故有fi, j = jj fi 1, j；fi, j, ki jk 故有fi,j,k = kk fi 1,j,k。若令f_sumi,j = k fi,j,k 前ifigi-1;gifi-1*(M-+ gi-1*(M-2)O(1) A B試題 B：一個環上有 N 個點，每個點染為 M 種顏色之一，求同色連續段長度均不K 的方案數（N1018M109B 與試題A AO(N3)fi, f_len, l_leniB 與試題A AO(

2、N3)fi, f_len, l_leni 第fi,f_len,l_len = fi 1,f_len,l_len1 (l_len Kgi 1,f_len,len (l_len = fi,f_len,l_len = gi,f_len,l_len = gi1,f_len,l_len 1(l_len Kfi 1,f_len,len + (M gi,f_len,l_len = (M1) Kgi 1,f_len,len (l_len = 如進一步使用部分和優化即令f_sumi,j,k len len B C B A NOI 試題 C：一個環上有 N 個點，每個點隨機染為 M 種顏色之一。求環上同色連續段之

3、積的期望（N200, fi, f_col, l_col,l_lenil_coll_lenfi, f_len, l_leni 續段顏色相同時所求的期望值(續段的長度)gif_len,l_leni相異時所求的期望值(續段的長度),_,_ ,_,_ (_ ,_, 續段顏色相同時所求的期望值(續段的長度)gif_len,l_leni相異時所求的期望值(續段的長度),_,_ ,_,_ (_ ,_, ,_,_ (_ = ,_,_ ,_,_ (_ () ,_,+,_,) (_ = _,_ =,_, ,_ _,_,_ 上述計算完畢后，只需再計算_,_,_ (_ + _) _,_ _ _ , _= ,_,_ =

4、 ( _ +_ ,_,_ (_ = _ = ,_,_ = ( _ +_ O(N3)O(1)C fi+j+kjkj, k O(N)和降為 O(1)C 即最終的試題彩色圓環(circle)C O(N)C D試題D：一個環上有N 個C 即最終的試題彩色圓環(circle)C O(N)C D試題D：一個環上有N 個點，每個點染為 M 種顏色之一。求所有環狀上同續段長度之積的期望值，結果用最簡分數形式（N2000, C 簡潔地實現。本題是試題 C 【考查要點【數據設計103060 【期望得分NOI NOI 30%20 5%10 【感謝B 的【期望得分NOI NOI 30%20 5%10 【感謝B 的 【

5、附錄一彩色圓環(circle)彩色圓環時間限制：1 秒AN 顆彩色寶石，閃A 很愛惜這個圓環，天天把它帶在身邊。A 突然發現圓環上寶石的顏色是會變化的。他十分驚訝，仔細觀概率地MA發現了這個又經過了一段時間，小 A 發現因為圓環上寶石的顏色不斷變化，圓環有時A 這樣定義圓環的“美觀程度1. 設圓環上相同顏色的連續段a1a22. 定義圓環的“美觀程度Ra1 *a2 * 2. 定義圓環的“美觀程度Ra1 *a2 * ana1= 3,a2 = 2, a3 = 1R= 6A想知道，在上述前提下，圓環的“美觀程度”的期望值E(R)是多少。因為如果知道了 E(R)，他就可以判斷每天變化出的新圓環是否比一般

6、情況circle.out E(R)，表示圓環的“美 3 200 20%1N, M 50%1N, M 100%1N 200, 1 M 109對每個測試點，若你給出的 E(R)與標準程序給出的 E(R)的相對誤差不超10-7，則該測試點得滿分；否則該測試點。 10-7，則該測試點得滿分；否則該測試點。 .說明：相對誤二彩色圓環(circle)【時空限制1 64M【問題描述N M 【數據規模和約定20%1NM50%1NM100%1N200, 1 M109【算法描述 續段的顏色col，長度len 所求的期望值(暫不乘續段的長度)。遞推公式fi 1,col,len (len =M 續段的顏色col，長度

7、len 所求的期望值(暫不乘續段的長度)。遞推公式fi 1,col,len (len =M fi1,col,lencol fi,col,len (len = M_, , 續段的顏色為f_colf_len，當前最續段顏色為 l_col，長度為 l_len 時所求的期望值(暫不乘續段的長度)遞推公式和鏈的遞推公式大致相同樣可以使用部分和優化和最注意到這樣的遞推設計使得僅狀態總數就高達 O(N3M2)f_col 確定的情況下，任何f_col 不等l_col 的值都是等價的。進一關的只f_coll_col的異同，而并非f_col l_col 的具體取值fi, f_len, l_len表示考慮了i 個點

8、續段的長度為 f_len，當前最后一連續段的長l_len續段顏色相同時所求的期望值(暫不續段與最續段的長度)gi, f_len, l_len表示考慮了i 個點以第一個和續段的長度為 f_len，當前最續段的長度為 l_len續段與續顏色相異時所求的期望值(暫不乘以第一個和最續段的長度)。從而有遞推fi 1,f_len,l_lenfi,f_len,l_len (l_len Mgi 1,f_len,len Mfi,f_len,l_len (l_len = gi1,f_len,l_len (l_len gi,f_len,l_len M1gi,f_len,gi 1,f_len,len Mfi,f_le

9、n,l_len (l_len = gi1,f_len,l_len (l_len gi,f_len,l_len M1gi,f_len,l_len (M2)gi1,f_len,lenlen +(MMfi 1,f_len,len len + fi 1,f_len,i (l_len = ,_, _,_ =,_ _,_,_ 上述計算完畢后，只需再計算_,_,_ (_ + _) _= _,_ _ _ , fi,f_len,l_len = 0 (i f_len+l_len 1fi,f_len,l_len (f_len = l_len = gi,f_len,l_len = 0 (i f_len+ l_len

10、O(N3)O(1)考慮到試題的思維難度和編寫難度，本題的數據規模使得 O(N3)首先 可以發現,_ ,_ (_ )l_len 嘗試削去冗余，用fi, f_len表示考慮了前i 個點，續段長度為 f_len，第一連續段與第i 個點之后的續段同色時所求的積的和gi, f_len表示考慮了前i 個點續段長度為 f_len，續段與第i 個點之后的第續段異色時所求的的和。從而= gi,f_len (i gi,f_len = (M2)gi,f_len(ii)+(M1)fi,f_len (i iifi,fi,f_len f_sumi,f_len = mi,f_len = iigi,gi,iifi,fi,f_len f_sumi,f_len = mi,f_len = iigi,gi,f_len g_sumi,f_len = mi,f_len = ,_ = ,_ (_ )f_len f_len 用 fi表示考慮了續段之后的i個點，續段與第 i 個點之后的第連續