1、三角形“四心”的向量表示我們都知道，在三角形中，因為有三條邊和三個內角，因此有好多的性質。在三角形眾多的“心”中，有幾個是學生應當掌握的，主假如四個心：重心，心里，外心，垂心。不單要理解其定義、性質，還需認識和剖析其向量的表示形式。因為向量是一種研究幾何圖形的另一種工具，因此我們有必需對它們進行整理和概括，讓同行借鑒。一各心的定義。1重心：三角形三條邊的中線的交點。其性質一是連結重心和極點，延伸后必交于對應邊的中點。其性質二是重心把中線長分紅2：1。2垂心：三角形三邊的高線的交點。其性質為垂心與極點的連線必與對應的邊垂直。3外心：三角形三邊的中垂線的交點，即三角形的外接圓的圓心。其性質是外心到

2、三極點等距離。4心里：三角形三內角均分線的交點，即三角形的內切圓的圓心。其性質是心里到三邊等距離。二各心的向量表示。在三角形ABC中，點O為平面內一點，若知足：1OAOBOC0，則點O為三角形的重心。剖析：由OAOCOB，以OB,OC為鄰邊作一平行四邊形OBEC，點D為BC中點，如圖，由向量的平行四邊形法例，有OEOCOB，交BC于D，進而有OE2ODAOOA故O為重心。AODCBE2OAOBOC，則點O為三角形的外心。3OAOBOBOCOCOA，122OB2222或許OABCACOCAB，則點O為三角形的垂心。剖析：由OAOBOBOCOCOA有三個等式，此中一個如OAOBOBOC，則有OB(

3、OAOC)0，有OBCA0，故OBAC。同理可證，點O為三角形的垂心。AOBDC而在三角形ABC中，記aOA，bOB，cOC，則由AB2CO2AC2BO22c)222ac，則(ac)b0(ab)2c(ab，睜開為2ab故ACOB，同理可證BCOA，進而點O為三角形的垂心。4BCOAACOBABOC0，則點O為三角形的心里。剖析：若點O為三角形ABC的心里。如圖，延伸AO，過點C作CE/BO，因為BDO與CDE相像，有CECD，由AD為角A的均分線，有CDAC，從OBDBDBAB而有CEAC，CEACOB,故CEACOBOBABABABAOBDCE同理可得，ODBD，OEODBC，而BO為角B的

4、內角均分線，OEBCBDODOA，BDAB有OEOABCBCOA，故OEBCAOABABAB2而OEOCCE，因此BCAOOCACOB，ABABBCOAABOCACOB，有BCOAACOBABOC0三動點的軌跡過三角形心的問題：設點P為三角形ABC所在平面內的一個定點，點Q為平面內的一個動點，若知足：1PQPA(ABAC)，（此中0,R），則動點Q必定過ABC的重心。2PQPA(ABAC)，（此中0,R），則動點Q必定過ABC的ABAC心里。剖析：因為ABAC表示AB,AC方向的單位向量之和，由菱形性質可知，ABAC(ABAC)為角A的內角均分線。ABAC3PQPAABAC)（此中0,R），則

5、動點Q必定(ACcosCABcosB過ABC的垂心。剖析：下邊只需說明ABAC的性質。ABcosBACcosC如圖，在ABC中，ADBC,延伸AD，過點B作BM/AC,記a1BD,a2CD,bAC,cAB,則BMa1，BMa1b，故有BMa1ACba2a2a2AMaaAD，AMaADADa2，AMa2a23Acba1a2BDCM由AMABBM，進而有aABa1AC，ADa2a2aABACABAC，有AD與ABAC共ADa1a2a1a2ABcosBACcosCABcosBACcosC線，進而，ABAC與BC垂直。ABcosBACcosC4PQPBPC(ABAC)（此中0,R），則動點Q2ABcosBACcosC必定過ABC的外心。四三角形的外心O與它的垂心H的關系：OHOAOBOC2(HAHBHC)。在ABC中，以BC所在的直線為x軸，BC的中點為原點成立坐標系。設A(x1,y1)，B(x2,0)，C(x2,0)。則不難求得它的外心坐標O(0,y12(x22x12)，進而有2y1OAOBOC(x1,3(x22x12)y12)。它的垂心坐標H(x1,x22x12)，進而有2