第=page11頁，共=sectionpages11頁2025年普通高等學校招生“圓夢杯”高三統一模擬考試（七）數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若復數z的實部為1，則z+z=(

)A.1 B.2 C.i D.2i2.拋物線x2=?2y的準線方程為(

)A.x=12 B.x=1 C.y=13.設向量a=x,2，b=1,3.若a與bA.6 B.?6 C.23 D.4.已知函數fx=logaxa>0,a≠1，若A.e2 B.e C.e 5.從1，2，3，4，5這5個數中任取兩個數，則這兩個數的乘積為偶數的概率為(

)A.320 B.1720 C.3106.已知函數fx=xlnx+a在區間1,2單調遞增，則aA.?1 B.?2 C.?3 D.?47.已知i,j∈N?，記Sn為等比數列an的前n項和.設命題p:a2i+1<0；命題q:SA.充要條件 B.充分不必要條件

C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件8.已知函數fx，gx的定義域均為R，且fx的圖像關于點2,0對稱.設集合A={a∣任意x∈R,fx+ga>0}，A.A∩C=A B.A∩C=C C.B∩C=B D.B∩C=C二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知兩組樣本數據，第一組x1,x2,x3,A.這兩組數據的平均數一定相等 B.這兩組數據的極差一定相等

C.這兩組數據的第90百分位數一定相等 D.這兩組數據的眾數一定相等10.已知橢圓C:x24+y23=1的左頂點為A，右焦點為F.點M在線段AO(O為坐標原點)上，且C與圓M有且只有一個公共點A，點Px0A.OP的最大值為2 B.PF4?x0為定值

C.圓M半徑的最大值為1 D.11.設a，b為正數，若函數fx=sin2x?12A.ab?ba有最大值 B.ab?ba有最小值

C.a2b的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知圓錐的母線長為2，其側面展開圖是一個半圓，則該圓錐的體積為

．13.如圖，某公園內有一個半圓形湖面，O為圓心.現規劃在半圓弧岸邊取點C，D，滿足∠AOC=∠COD，在扇形AOC和扇形BOD區域內種植荷花，在扇形COD區域內修建水上項目，并在湖面上修建棧道AC，BD，CD作為觀光路線，則當AC+BD+CD最大時，sin∠BOD=

．

14.如圖，由9個單位小方格組成的3×3方格表中共有16個格點，將每個格點染成灰色或黑色，滿足：若任意4個格點構成矩形的4個頂點，則這4點中至多有2點被染成灰色.則被染為灰色的格點數目最多為

．

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，E，F分別是PB，AC的中點．(1)證明：EF//平面PCD；(2)求二面角C?EF?B的正弦值．16.(本小題15分小明連續投籃兩次，若第一次投中，則第二次也投中的概率為0.6，若第一次未投中，則第二次投中的概率為0.5，已知第一次投中的概率為0.7．(1)記小明投中的次數為隨機變量X，求X的分布列及數學期望；(2)求在第二次投中的條件下，第一次也投中的概率．17.(本小題15分)已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0(1)求C的標準方程；(2)過F2的直線交C于M，N兩點，線段AM與線段F1N交于點R，若?F1RM18.(本小題17分)已知函數fx=a?x(1)當a=0時，求fx(2)證明：fx(3)若存在開區間I，使得fx∈I，當且僅當x∈I，求a19.(本小題17分)若互不相交的非空集合A1,A2,…,Ak滿足：A1∪(1)寫出一個3,7集合對；(2)若bi+aj=a1i=1,2,3,j∈2,3,4,5,6，cs+(3)若數列xn滿足x2=5，xn=nxn?1參考答案1.B

2.C

3.C

4.B

5.D

6.A

7.A

8.A

9.BC

10.ABD

11.BC

12.313.π3

或6014.6

15.解：(1)∵四邊形ABCD是正方形，F是AC的中點，連接DF，∴B，F，D三點共線，且F是BD的中點，又E是PB的中點，∴EF//PD，又EF?平面PCD，PD?平面PCD，∴EF//平面PCD．(2)如圖建系，易得：A0,0,0設平面BEF的法向量為n=(x,y,z)，又EB由n?EB令x=2，可得：y=2,z=2，所以n=(2,2,2)設平面CEF的法向量為m=(a,b,c)，FC由由m?FC令a=2，可得：b=?2,c=?2，所以m=設二面角C?EF?B的大小為θ，所以cosθ=所以sinθ=所以二面角C?EF?B的正弦值是2

16.解：(1)由題意可知，隨機變量X的可能取值有0、1、2，則PX=0=0.3×0.5=0.15，PX=1所以，隨機變量X的分布列如下表所示：X012P0.150.430.42故EX(2)記事件A:小明在第一次投中，事件B:小明在第二次投中，則PA=0.7，PA=0.3，則PAB由全概率公式可得PB由條件概率公式可得PA所以，在第二次投中的條件下，第一次也投中的概率為1419

17.解：(1)因為AF2⊥F1F2且A所以AF根據雙曲線的定義有AF1?所以雙曲線C:x(2)根據題意過F22,0的直線斜率為0顯然不滿足題意，可設過F2由x=my+2當m≠±33設Mx1,所以MN=因為S?F1RM=S?ARN，所以S則有d=?2?21+所以MN=

18.解：(1)當a=0時，f(x)=(?x)ex+x則f′(x)=?ex?x當x<0時，x+1<1,0<ex<1所以f′(x)>0，f(x)在?∞,0單調遞增；當x>0時，x+1>1,ex>1所以f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)單調遞減；故f(x)(2)函數f(x)=(a?x)ex+x則f′(x)=?ex+(a?x)得a=?1ex則φ(x)在R上單調遞增，且φ(0)=0，當x→?∞,φ(x)→?∞；當x→+∞,φ(x)→+∞；故對任意a∈R，直線y=a與函數φ(x)=?1ex當x<x0時，φ(x)<φ(x即f′(x)=(a?x?1)ex+1>0，則f(x)當x>x0時，φ(x)>φ(x即f′(x)=(a?x?1)ex+1<0，則f(x)故f(x)存在唯一極大值點x0

(3)f(x)=(a?x)ex+x,x∈R由(2)知，f(x)在(?∞,x0)則f(x)max=f(又當x→?∞,f(x)→?∞；x→+∞,f(x)→?∞．①假設存在區間I=(m,n)，其中m<n，使得fx∈I，當且僅當則有m<f(x0)，下面討論n若m<n≤f(x0)，如圖，fx∈I

由(m,x所以m<f(x0)<n

此時有f(m)=m=f(n)，由f(m)=a?mem由f(n)=m=a?nen可得en=1，故解得故若存在區間I，使得fx∈I，當且僅當則m=a,n=0，即區間I=(a,0)，所以a<0．

②下面驗證：當a<0時，條件n>f(x0)由f(x)=(a?x)e由x0為f(x)的極大值點，則f′(x0可得a?x0e構造函數g(x)=eg(x)在?∞,0上單調遞增，則g(x)<g(0)=0，即a<x<0時，ex?1+x<0恒成立，所以ex所以有a<f(x)≤f(x0)<0，且當a<f(x)<0故當a<0時，存在開區間I=(a,0)，使得fx∈(a,0)，當且僅當綜上所述，a的取值范圍為?∞,0．

19.解：(1)({1,3},{2,5},{4,6,7})為符合題意的一個(3,7)集合對，因為A1因為1+3=4,2+5=7,4+6=10,4+7=11,6+7=13，則對任意a,b∈Amm=1,2,3故上述集合對滿足題意．(2)記aj1,aj由題意得b易證a?b?Am，(若a?b∈A而(a?b)+b=a∈Am，矛盾，故而b1,b同理記bt1,bt則c不妨c1>c2,b3b1,b則c1,c2∈A3而c1?c2=而b3?b則假設不成立，則不存在(3,n)集合對A1使得a1,a2,?,(3)1°當n=2時，x2由抽屜原理知A1,A2其中一個集合至少有3個元素，不妨記若A2中有3個元素，記A則a2(1)?a即a2(1)?a而a而a2(2)∈{1,2,3,4,