1、概率論與數理統計重點解析第1頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四例1、填空題： 1、已知, (1)當A、B互不相容時，(2)當A、B相互獨立時，(3)當 時，2、已知 則第一章練習題第2頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四3、一種零件的加工由兩道工序組成，第一道工序的廢品率為p，第二道工序的廢品率為q則該零件加工的成品率為 _。4、甲、乙兩人獨立地對同一目標射擊一次，其命中率分別為0.5和0.4，現已知目標被擊中，則它是乙射中的概率是 。 5、設三次獨立試驗中，事件A出現的概率相等，若已知A至少出現一次的概率為 ，則在一次試驗中事件A出現的概率為

2、 。 第3頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四例2、單項選擇題 ： 1、以A表示事件“甲種產品暢銷，乙種產品滯銷”，則其對立事件為（ D ） A“甲種產品滯銷，乙種產品暢銷”； B“甲、乙兩種產品均暢銷”； C“甲種產品滯銷”； D“甲種產品滯銷或乙種產品暢銷”。第4頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四 2、如果事件 、 有 ，則下述結論正確的是（ C ）A 與 必同時發生 B 發生，必發生；C 不發生，必不發生D不發生，必不發生 3、擲兩枚均勻硬幣，出現“一正一反”的概率是（ B ） A ； B ； C ； D 。 第5頁，共142頁，2022

3、年，5月20日，23點27分，星期四 4、設 、 為任意兩個事件，且 ， ，則下列選項必然成立的是（ B ） 5、已知 ， ，如果它們滿足條件（ A）時，則能使等式 成立。 A 是一個完備事件組； B 兩兩互斥；第6頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四 C 相互獨立；D 的并集是全集。 ， 且 ， 例3、設兩兩獨立的三個事件A、B、C，滿足求答案：解：由于 三事件兩兩獨立，所以第7頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四又由于所以 例4、用三個機床加工同一種零件，零件由各機床加工的概率分別為0.5、0.3、0.2，各機床加工的零件為合格品的概率分別為

4、0.94、0.90、0.95，求全部產品的合格率。 第8頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四 解：設 分別表示零件由第一、第二、第三個車床加工， 表示產品為合格品。則由題意得：從而:第9頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四 例5、假定某工廠甲、乙、丙個車間生產同一螺釘。產量依次占全廠的45%，35%，20%，如果每個車間的次品率依次為4%，%，5%。現在從待出廠的產品中檢查出個次品，問它是由甲車間生產的概率是多少？ 解：設 分別表示螺釘由甲、乙、丙三個廠生產， 表示螺釘為次品。則由題意得：第10頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分

5、，星期四從而: 例6、甲、乙兩人各自向同一目標射擊，已知甲命中目標的概率為 0.7，乙命中目標的概率為0.8 求：第11頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四 (1)甲、乙兩人同時命中目標的概率； (2)恰有一人命中目標的概率； (3)目標被命中的概率。 解:設 分別表示甲乙命中目標。則第12頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四例7、設 , ，證明： 。 證:第13頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四例8、將二信息分別編碼為0和1傳送出去，接收站接收時，0被誤收作1的概率為0.02，而1被誤收作0的概率為0.01，信息0和1

6、傳送的頻繁程度為2:1，若接收站收到的信息是0，問原發信息是0的概率是多少？ 解:設 表示發送編碼為0 ; 表示接受編碼為0;由題意知第14頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四從而:第15頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四第二章 習題課第16頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四一、內容概要 1、隨機變量的定義 設 是隨機試驗，它的樣本空間 ，如果對于每一個 ，有一個實數 與之對應，這樣就得到一個定義在 上的單實值函數 ，稱之為隨機變量。2、離散型隨機變量及其分布列第17頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分

7、，星期四如果隨機變量 的只取有限個或可數個值并且取各個值的對應概率為 即則稱 為離散型隨機變量，上式稱為 的概率分布，又稱分布密度或分布列。離散型隨機變量的分布列具有以下性質：第18頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四（2）（1）3、分布函數及其性質 設 是一個隨機變量， 是任意實數，函數稱為 的分布函數。第19頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四4、連續型隨機變量及其概率密度即 是右連續的。分布函數具有以下性質：第20頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四則稱 為連續型隨機變量， 為 的概率密度函數，簡稱概率密度。 設 是

8、隨機變量 的分布函數，如果存在一非負函數 ，使對任意實數 有概率密度函數具有以下性質：第21頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四（3）對任意實數 有（4）若 在點 處連續，則5、常用概率分布（1）0-1分布第22頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四（2）二項分布（3）泊松分布第23頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四（4）幾何分布（5）均勻分布（6）正態分布第24頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四 當 時，稱為標準正態分布,記為 。其密度函數和分布函數常用 和 表示：第25頁，共142頁，2022

9、年，5月20日，23點27分，星期四（7）指數分布6、二維隨機變量及聯合分布第26頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四 設 是兩個隨機變量，如果對任意一組實數 ，使得是一個隨機事件，則稱為二維隨機變量。為二維隨機變量 的聯合分布函數。 相應地，稱第27頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四為 分別關于 和 的邊緣分布函數。稱第28頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四7、二維離散隨機變量的概率分布為 的聯合分布列或分布列。 設二維離散型隨機變量 可能取值為 ，相應的概率為，則稱第29頁，共142頁，2022年，5月20日，23

10、點27分，星期四稱分別為關于 和 的邊緣分布列。8、二維連續隨機變量的概率密度第30頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四 設二維隨機變量 的分布函數 ，如果存在一非負可積二元函數 ，使對任意實數 有則稱 是二維連續型隨機變量，相應的二元函數 稱為 的聯合密度。它具有以下性質：第31頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四（3）在 的連續點，有（4）對平面上的任意區域第32頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四（5） 和 的邊緣密度函數分別為9、二維均勻分布和正態分布 設 是平面上的有界區域，其面積為 。若二維隨機變量 具有概率密

11、度第33頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四則稱 在 上服從二維均勻分布。若二維隨機變量 具有概率密度：第34頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四其中均為常數,且則稱 服從參數為的二維正態分布。10、隨機變量的獨立性 設 是兩個隨機變量，若對任意實數 有第35頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四則稱 與 是相互獨立的。 隨機變量 和 相互獨立的充分必要條件是分布函數： 連續型隨機變量 與 相互獨立的充分必要條件是密度函數： 第36頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四 離散型隨機變量 與 相互獨立的充

12、分必要條件是：11、隨機變量函數的分布則 也是一離散型隨機變量，且其分布列為： 若 是一維離散型隨機變量，其分布列為第37頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四 若已知 ， 是嚴格單調函數，其反函數 有連續的導數。則 也是連續型隨機變量， 其概率密度為：（注：使反函數無意義的 ，定義概率密度為0）第38頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四 如果 的聯合概率密度為 ，則隨機變量 的概率密度為特別地，當 與 相互獨立時，上式稱為 和 的卷積公式。第39頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四二、常見例題精解 例1、填空題 1、設隨機

13、變量X與Y相互獨立，且它們的分布列均為： ，則 = 。 2、設XN（ ），其中 =2， 未知，若已知P（2X4）=0.3，則P（X1）= 。 5、已知隨機變量 X 的分布函數為： 則 A= ，B = , = ，X的密度函數 。 第41頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四 例2、設隨機變量 X 的概率密度函數為： 試求：（1）系數 ；（2）求 （3） 的分布函數 答案：1、 ；2、0.2；3、 ；4、1-3e-2；5、 ； ； ； 解：（1）， 所以 （連續性）第42頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四當 時， , （3）當 時， ， 當 時， 。

14、 所以 第43頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四 解： ？例3、某種電池的壽命服從正態分布N（ ），其中 ， 求 ，使壽命在 與之間的概率不小于0.9。 第44頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四均勻分布，現在對X進行三次獨立觀測，試求至少有兩次觀察值大于3的概率。 解:設 表示觀察值大于3的次數 ,則 例5、已知X 和Y為同一分布的隨機變量，并知道 且有 ，試求（X，Y）的聯合分布列；并求 例4、設隨機變量X服從區間（2，5）上的第45頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四 解：由于 第46頁，共142頁，2022年，5

15、月20日，23點27分，星期四根據聯合分布與邊緣分布列的關系，有： 所以(X，Y)的聯合分布列如下表 ：第47頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四（1）求關于 和 的邊緣概率密度 ；（2）判斷 與 是否相互獨立；滿足 的點為 它們對應的概率全為0，所以 例6、已知 的聯合概率密度為： （3）求 ； 。第48頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四， 解：（1）對于 所以 （2）顯然 ，所以 與不獨立。（3） 對于 ， 所以 第49頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四第50頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星

16、期四例2(1) 求F(x,y);1D1O xy(2) 求(X,Y)落在區域D內的概率,區域D如圖所示.第51頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四解(1)第52頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四(2)1D10 xy第53頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四第54頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四第55頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四第56頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四第57頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四第58頁

17、，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四第59頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四第60頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四備用題第61頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四第62頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四第63頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四備用題第64頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四第65頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四第三章 習題課第66頁，共142頁，2022年，5月20日，23點2

18、7分，星期四一、內容概要 1、數學期望（1）設離散型隨機變量 的分布列為如果 收斂，則稱級數 的和為隨機變量X的數學期望，記為第67頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四即 （2）設 X 為連續型隨機變量，概率密度為 ，如果積分 絕對收斂，則稱積分 的值為連續型隨機變量 X 的數學期望，記為 ，即第68頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四(3)設 是隨機變量 的函數：若 是離散型隨機變量，其分布列為如果級數 收斂，則若 是連續型隨機變量，概率密度為第69頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四如果 收斂，則有（4）二維隨機變量函

19、數的數學期望 如果 是二維隨機變量， 是關于X 和Y 的二元函數， 當 是二維離散型隨機變量，其聯合分布列為第70頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四則 當 是二維連續型隨機變量，其聯合概率密度為 ，則 第71頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四（5）數學期望的性質 如果 X、Y 是兩個隨機變量，C 為任意常數，且 都存在，則數學期望有以下四條常見的性質。如果 X 與 Y 相互獨立，則第72頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四2、方差 （1）對隨機變量 X ，如果 存在 ，則稱 的值為隨機變量X 的方差 ，即（2）方差的性

20、質第73頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四3、協方差和相關系數 設（X，Y）是二維隨機變量,如果 存在,則稱之為 X 與 Y 的協方差,記為第74頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四即而稱之為 X 與Y 的相關系數。協方差和相關系數具有以下幾條性質：第75頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四的充分必要條件是存在常數a，b 使當 X、Y 相互獨立時，第76頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四4、常見分布的數學期望和方差泊松分布幾何分布二項分布0-1分布名 稱2/)1(pp-第77頁，共142頁，20

21、22年，5月20日，23點27分，星期四名 稱均勻分布正態分布指數分布第78頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四例1、填空題 1、已知 37 。 2、 相互獨立， 則 11 ； 3、若X 服從區間 上的均勻分布，則 。 二、常見例題精解 第79頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四4、若 ，則 。 5、某人進行投籃訓練，命中率為p，一旦投中就可結束訓練,則需要投籃次數的方差是 。 答案：1、37;2、11;3、0;4、2.5;5、 。 例2、設隨機變量 服從參數為1的指數分布，求數學期望 。 解： 故 第80頁，共142頁，2022年，5月20日，

22、23點27分，星期四 例3、飛機在第一次飛行后必須進行檢修的概率是0.4，在以后的兩次飛行中，每一次飛行后其被檢修的概率各增加0.1，求三次飛行后修理次數的數學期望。 解： 表示第 次飛行后須進行檢修次數，則 ，其分布列為： 第81頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四所以 例4、設隨機變量 與 獨立，且均服從正態分布 ，求 、 及 解：因為 ，所以 又 所以 第82頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四例5、若二維隨機變量（X, Y）的概率密度為 求（1） ， ； （2） （3）問 是否相互獨立。 第83頁，共142頁，2022年，5月20日，23

23、點27分，星期四解：（1） （2）由（1）同理可知： 第84頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四（3）因為 ，所以 不相互獨立。 第85頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四第四章 習題課第86頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四一、內容概要 1、切比雪夫不等式 設隨機變量 X 有數學期望 和 方差 則對于任意給定的正數 總成立不等式 第87頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四2、依概率收斂 設 為一個隨機變量序列， a 是一個常數，若對于任意正數 都有則稱隨機變量序列 依概率收斂于 a 。().1l

24、im=G=-0,00,)2(21);(21222xxexnnxxnnc第110頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四 分布具有以下性質： （1） 設 ，且它們相互獨立，則 （2） 設 則有 第111頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四5、 分布所服從的分布是自由度為n 的t 分布，記作:則稱統計量設且X與Y相互獨立，第112頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四6、 分布及其性質所服從的分布為自由度是（m , n) 的F 分布，則稱設且X與Y相互獨立,則 如果第113頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四

25、7、正態總體樣本均值與樣本方差的分布（1） （2） 與 相互獨立;（3）與方差，則若是來自正態總體的 一個樣本，分別為樣本均值與樣本第114頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四（4）)2(11)()(1221-+-=mntmnSYXTmm樣本，且它們相互獨立，則 設和來自正態總體和是分別的兩個第115頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四其中第116頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四二、常見例題精解例1填空題 1設統計量 ，則 ； 2設 ， 為樣本， 是樣 本均值。則 服從的分布為 ； 3設 則 = ； 第117頁，共14

26、2頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四4 ， 為樣本。若要求 則 = ； 5總體 與 相互獨立，且 與 是兩總 體中抽取的獨立樣本。 與 是兩樣本方差則 。 答案 1. ；2. ；3. ；4. ；5. 第118頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四 例2設總體 , 是簡單隨機樣本, 為樣本均值,(1)若 ,計算 ;(2)若要求 , 至少 取多大？解：（1）因為 所以 （2）為使 第119頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四所以 至少取 1537。例3設 ， 是簡單隨機樣本, 試決定常數 ,使 服從 分布。 解：因為 第120頁，共142

27、頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四所以 故 。 例4 ，抽取樣本容量 的簡單隨機樣本， 計算: 解：因為 ，所以， 第121頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四當 時，有 解：因為 所以 例5設 ， ， 為樣本, 為樣本方差，即 已知求 第122頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四例6 ， 且相互獨立， 從 、 兩總體中分別抽取 ，和 簡單隨機樣本，樣本方差分別為 與 計算 解：因為， 所以 第123頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四第124頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四第六章

28、 習題課第125頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四一、內容概要1、估計量與估計值 設總體 的分布函數 形式為已知， 是待估參數, 是 的一個樣本, 是相應的一個樣本值,點估計問題就是要構造一個適當的統計量 用其觀察值 來估計未知參數。稱為的估計量，稱為的估計值。第126頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四2、矩估計法 用樣本的各階原點矩作為總體的各階原點矩的估計而求得的求知參數的估計量稱為矩估計量。3、極大似然估計 設總體 具有概率密度函數 或分布列函數 ， 是 維參數向量，樣本 的聯合密度函數第127頁，共142頁，2022年，5月20日，2

29、3點27分，星期四稱為似然函數。或者 假定在 給定的條件下，存在 維統計量 第128頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四使得似然函數在取得極大值，則稱 是 的極大似然估計量。 如果似然函數關于 可微，則使似然函數達到最大的 一定滿足下列正則方程組：第129頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四4、估計量的衡量標準（1）無偏性是的一個估計量，如果成立，則稱是的一個無偏估計量。設（2）有效性 設 都是未知參數的無偏估計若,則稱估計量較有效。第130頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四若的無偏估計滿足則稱為的有效估計或最小方差無偏估計。（3）一致性設為未知參數的估計量，若對任意的正數有則稱為的一致估計。1)(lim=-eqqnnP第131頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四5、置信區間且若對于給定的有則稱隨機區間 是參數 的 的置信區間或區間估計， 分別稱為設總體X的分布中含有未知參數 由樣本構造兩統計量：及,1)(21aqqq-=P第132頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四 的置信下限和置信上限， 稱為置信水平或置信度或置信概率。第133頁，共142頁，2022年，5月20日，23點27分，星期四二、常見例題精解例1填空題 1、