1、關(guān)于晶體的對(duì)稱性第一張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月對(duì)稱操作所依賴的幾何要素。1.對(duì)稱操作與線性變換 經(jīng)過某一對(duì)稱操作，把晶體中任一點(diǎn) 變?yōu)?可以用線性變換來表示。 1 對(duì)稱性與對(duì)稱操作對(duì)稱性：經(jīng)過某種動(dòng)作后，晶體能夠自身重合的特性。對(duì)稱操作：使晶體自身重合的動(dòng)作。對(duì)稱素：第二張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月操作前后，兩點(diǎn)間的距離保持不變，Ox1x3x2O點(diǎn)和X點(diǎn)間距與O點(diǎn)和 點(diǎn)間距相等。第三張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月I為單位矩陣，即：或者說A為正交矩陣，其矩陣行列式 。 2.簡(jiǎn)單對(duì)稱操作(旋轉(zhuǎn)對(duì)稱、中心反映、鏡象、旋轉(zhuǎn)反演對(duì)稱)(1)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(Cn,對(duì)稱素

2、為線) 若晶體繞某一固定軸轉(zhuǎn) 以后自身重合，則此軸稱為n次(度)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸。下面我們計(jì)算與轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的變換矩陣。第四張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 當(dāng)OX繞Ox1轉(zhuǎn)動(dòng)角度時(shí)，圖中若OX在Ox2x3平面上投影的長(zhǎng)度為R，則Ox1x3x2第五張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 晶體中允許有幾度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸呢? 設(shè)B1ABA1是晶體中某一晶面上的一個(gè)晶列，AB為這一晶列上相鄰的兩個(gè)格點(diǎn)。A1ABB1第六張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 若晶體繞通過格點(diǎn)A并垂直于紙面的u軸順時(shí)針轉(zhuǎn)角后能自身重合，則由于晶體的周期性，通過格點(diǎn)B也有一轉(zhuǎn)軸u。是 的整數(shù)倍， A1ABB1相反若逆

3、時(shí)針轉(zhuǎn) 角后能自身重合，則A1ABB1是 的整數(shù)倍， 第七張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月晶體中允許的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸只能是1，2，3，4，6度軸。綜合上述證明得：12346第八張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 正五邊形沿豎直軸每旋轉(zhuǎn)720恢復(fù)原狀，但它不能重復(fù)排列充滿一個(gè)平面而不出現(xiàn)空隙。因此晶體的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸中不存在五次軸，只有1，2，3，4，6度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸。(2)中心反演(i，對(duì)稱素為點(diǎn)) 取中心為原點(diǎn)，經(jīng)過中心反映后，圖形中任一點(diǎn)變?yōu)榈诰艔垼琍PT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月(3)鏡象(m，對(duì)稱素為面)如以x3=0面作為對(duì)稱面，鏡象是將圖形的任何一點(diǎn)變?yōu)?4)旋轉(zhuǎn)-反演

4、對(duì)稱 若晶體繞某一固定軸轉(zhuǎn) 以后，再經(jīng)過中心反演,晶體自身重合，則此軸稱為n次(度)旋轉(zhuǎn)-反演對(duì)稱軸。第十張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 旋轉(zhuǎn)-反演對(duì)稱軸只能有1，2，3，4，6度軸。旋轉(zhuǎn)-反演對(duì)稱軸用 表示。旋轉(zhuǎn)-反演對(duì)稱軸并不都是獨(dú)立的基本對(duì)稱素。如：1212345612第十一張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月ABDCEFGH正四面體既無四度軸也無對(duì)稱心6=3+m12345661234第十二張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月1，2，3，4，6 度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱操作。 1，2，3，4，6度旋轉(zhuǎn)反演對(duì)稱操作。(3)中心反映：i。(4)鏡象反映：m。 C1，C2，C3，C4

5、，C6 （用熊夫利符號(hào)表示）S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符號(hào)表示）點(diǎn)對(duì)稱操作：(2)旋轉(zhuǎn)反演對(duì)稱操作：(1)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱操作： 獨(dú)立的對(duì)稱操作有8種,即1，2，3，4，6，i，m， 。 或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。 第十三張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月立方體對(duì)稱性(1)立方軸C4：3個(gè)立方軸；4個(gè)3度軸；(2)體對(duì)角線C3：(3)面對(duì)角線C2：6個(gè)2度軸；第十四張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月與4度軸正交的對(duì)稱面與2度軸正交的對(duì)稱面第十五張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 所有點(diǎn)對(duì)稱操作都可由這8種操作或它們的組合來完成。一個(gè)晶體的全

6、部對(duì)稱操作構(gòu)成一個(gè)群，每個(gè)操作都是群的一個(gè)元素。對(duì)稱性不同的晶體屬于不同的群。由旋轉(zhuǎn)、中心反演、鏡象和旋轉(zhuǎn)-反演點(diǎn)對(duì)稱操作構(gòu)成的群，稱作點(diǎn)群。 理論證明，所有晶體只有32種點(diǎn)群，即只有32種不同的點(diǎn)對(duì)稱操作類型。這種對(duì)稱性在宏觀上表現(xiàn)為晶體外形的對(duì)稱及物理性質(zhì)在不同方向上的對(duì)稱性。所以又稱宏觀對(duì)稱性。如果考慮平移，還有兩種情況，即螺旋軸和滑移反映面。第十六張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 （5）n度螺旋軸：若繞軸旋轉(zhuǎn)2/n角以后，再沿軸方向平移l(T/n)，晶體能自身重合，則稱此軸為n度螺旋軸。其中T是軸方向的周期， l是小于n的整數(shù)。 n只能取1、2、3、4、6。 （6）滑移反映面

7、：若經(jīng)過某面進(jìn)行鏡象操作后，再沿平行于該面的某個(gè)方向平移T/n后，晶體能自身重合，則稱此面為滑移反映面。 T是平行方向的周期，n可取2或4。 點(diǎn)對(duì)稱操作加上平移操作構(gòu)成空間群。全部晶體構(gòu)有230種空間群，即有230種對(duì)稱類型。第十七張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2 晶系和布喇菲原胞 根據(jù)不同的點(diǎn)對(duì)稱性，將晶體分為7大晶系，14種布喇菲晶格。為布喇菲原胞三個(gè)基矢， 分別為取間的夾角。7大晶系的特征及布喇菲晶格如下所述：第十八張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月1.三斜晶系： 2.單斜晶系：3.三角晶系：簡(jiǎn)單三斜(1)簡(jiǎn)單單斜(2)底心單斜(3)三角(4)4.正交晶系：簡(jiǎn)單正交(

8、5)，底心正交(6)體心正交(7)，面心正交(8)5.四角系：(正方晶系)簡(jiǎn)單四角(9)，體心四角(10)6.六角晶系：六角(11)7.立方晶系：簡(jiǎn)立方(12)，體心立方(13)，面心立方(14)第十九張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月簡(jiǎn)單三斜(1)簡(jiǎn)單單斜(2)底心單斜(3)1.三斜晶系： 2.單斜晶系：3.三角晶系：三角(4)第二十張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月4.正交晶系：簡(jiǎn)單正交(5)底心正交(6)體心正交(7)面心正交(8)5.四角系：(正方晶系)體心四角(10)簡(jiǎn)單四角(9)第二十一張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月6.六角晶系：六角(11)7.立方晶系

9、：簡(jiǎn)立方(12)體心立方(13)面心立方(14)第二十二張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第二十三張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月3 點(diǎn)群的表示符號(hào)通用的點(diǎn)群符號(hào)有兩種:一是傳統(tǒng)的熊夫利(Schonflis或熊夫里斯)符號(hào);二是赫曼-莫吉恩(Hermann-Mauguin)符號(hào)：扼要地概括了點(diǎn)群中對(duì)稱元素的配置情況,包含信息較多,已為國(guó)際晶體學(xué)界所采用，故通稱為國(guó)際符號(hào)。 獨(dú)立的8種對(duì)稱操作：熊夫利符號(hào)：C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4國(guó)際符號(hào)：1，2，3，4，6，i，m ， 。 第二十四張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月32個(gè)晶體學(xué)點(diǎn)群由上述的8種獨(dú)

10、立的宏觀對(duì)稱元素按一定的規(guī)則（即對(duì)稱元素至少要通過一個(gè)公共點(diǎn)；組合時(shí)不能出現(xiàn)5次軸及大于6的對(duì)稱軸）進(jìn)行組合，總共有32種組合形式，稱為32個(gè)晶體學(xué)點(diǎn)群。晶體的宏觀外形不論形狀如何，必屬于這32個(gè)晶體學(xué)點(diǎn)群中的某一個(gè)。第二十五張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月對(duì)稱性的高低晶系特征對(duì)稱元素晶胞類型點(diǎn) 群對(duì)稱元素序號(hào)熊夫里斯記號(hào)國(guó)際記號(hào)低三斜無12單斜 或m345 2/m 正交兩個(gè)互相垂直的m或三個(gè)互相垂的67 8中四方910 11 127個(gè)晶系和32種晶體學(xué)點(diǎn)群的劃分第二十六張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月對(duì)稱性的高低晶系特征對(duì)稱元素晶胞類型點(diǎn) 群對(duì)稱元素序號(hào)熊夫里斯記號(hào)國(guó)際記

11、號(hào)中四方131415三方菱面體晶胞161718六方晶胞1920續(xù)表：第二十七張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月對(duì)稱性的高低晶系特征對(duì)稱元素晶胞類型點(diǎn) 群對(duì)稱元素序號(hào)熊夫里斯記號(hào)國(guó)際記號(hào)中六方21222324 622252627高立方 在立方的體對(duì)角線方向2829303132續(xù)表：第二十八張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月晶體點(diǎn)群的記號(hào)晶系1 23立方 Cubica abcab六方 hexagonalc a2ab四方 tetragonalc aab三方 rhombohetronabcab正交 orthorhombicabc單斜 monoclinicb三斜 anorthic第二十九

12、張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月舉例簡(jiǎn)單立方體的表示：432正四方體(ca=b)的表示：422或4mm正三方的表示：32第三十張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月D2hP mnlD2h是點(diǎn)群的熊夫利記號(hào);國(guó)際記號(hào)： P為簡(jiǎn)單點(diǎn)陣;mnl表示晶體中3個(gè)方向的對(duì)稱性。討論鈦酸鋇在各種溫度下的結(jié)構(gòu)及其表示：第三十一張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月附錄國(guó)際符號(hào)根據(jù)各種晶類的對(duì)稱性可以是三項(xiàng)、或二項(xiàng)、或一項(xiàng)符號(hào)組成，它分別表示晶體某三個(gè)、或二個(gè)、或一個(gè)方向上的對(duì)稱元素。如果在某一個(gè)方向上，同時(shí)具有對(duì)稱軸和垂直于此軸的對(duì)稱面，則寫成分?jǐn)?shù)形式。如 2/m, 4/m。第三十二張，PP

13、T共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月熊夫利斯（Schenfles）符號(hào)Cn：字母表示旋轉(zhuǎn)的意思，組標(biāo)n表示旋轉(zhuǎn)的次數(shù)，n=1、2、3、4、6。例如C2代表二次旋轉(zhuǎn)軸。 Cnh：表示除了n次旋轉(zhuǎn)軸外，還包括一個(gè)與此軸垂直的對(duì)稱面。（2/m） Cnv：表示除了n次旋轉(zhuǎn)軸外，還包括一個(gè)與此軸重合（即平行）的對(duì)稱面。Cni：表示除了n次旋轉(zhuǎn)軸外，還包括一個(gè)對(duì)稱中心。 第三十三張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月Ci：表示有一個(gè)對(duì)稱中心。 S4：表示有一個(gè)四次旋轉(zhuǎn)倒反軸。 Dn：表示除了n次主旋轉(zhuǎn)軸外，還包括n個(gè)與之軸垂直的二次旋轉(zhuǎn)軸。 Dnh：表示除了Dn的對(duì)稱性外，還包括一個(gè)與主旋轉(zhuǎn)軸垂直的對(duì)稱

14、面，和n個(gè)與二次旋轉(zhuǎn)軸重合（即平行）的對(duì)稱面。 Dnd：表示除了Dn的對(duì)稱性外，還包括n個(gè)平分兩個(gè)二次旋轉(zhuǎn)軸夾角的對(duì)稱面。 第三十四張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月T：除了四個(gè)三次旋轉(zhuǎn)軸外，還包括三個(gè)正交的二次旋轉(zhuǎn)軸。 Th：除了T的對(duì)稱性外，還包括與二次旋轉(zhuǎn)軸垂直的三個(gè)對(duì)稱面。 Td：除了T的對(duì)稱性外，還包括六個(gè)平分兩個(gè)二次旋轉(zhuǎn)軸夾角的對(duì)稱面。 O：包括三個(gè)互相垂直的四次旋轉(zhuǎn)軸，六個(gè)二次旋轉(zhuǎn)軸，和四個(gè)三次旋轉(zhuǎn)軸。 Oh：除了O的對(duì)稱性外，還包括Td與Th的對(duì)稱面。 第三十五張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月國(guó)際符號(hào)由兩部分組成空間群的國(guó)際符號(hào)由兩部分組成:第一部分為大寫字母

15、：P：原始格子、O：心，A：100、B：010、C：001 I：體心、F：面心、R：菱面體第二部分為對(duì)稱類型的國(guó)際符號(hào)第三十六張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月部分規(guī)則符號(hào)：/m:表示反映面與主軸垂直。如3 /m:表示垂直于3重旋轉(zhuǎn)軸的面；m:表示反映面與主軸平行。此時(shí)c2與m等價(jià)。體心立方的長(zhǎng)方體：選擇參量是c, a, a+b對(duì)應(yīng)的是4,2,2。第三十七張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月極射球的對(duì)稱操作 黑點(diǎn)表示平面外面點(diǎn)，圓圈表示平面里面點(diǎn)在平面的投影 上橫線表示投射i：點(diǎn)變圓圈；m表示面 ，在分子時(shí)面與軸平行，在分母時(shí)表示面與軸垂直，用一條黑線（直徑）表示。旋轉(zhuǎn)軸的表示也有兩種，中心點(diǎn)的符號(hào)與紅線加兩端的符號(hào)表示。 第三十八張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第三十九張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月BaTiO3的XRD衍射圖四方 tetragonal結(jié)構(gòu)的軸：c a abP4mm 4 m m第四十張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月BaTiO3的XRD衍射圖三方 rhombohetron結(jié)構(gòu):abc, ab R 3 m第四十一張，PPT共四十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月Ba2Ti13O22的XRD衍射圖正交 orthorhombic結(jié)構(gòu)，底心：a b cB表示010有原子 m a? b?第四十二張，PP