1、第3.2節可修復系統的可靠性 在任務執行期間，當系統故障而不能執行任務時允許修理，修復后繼續執行任務。 其任務可靠性不僅受各單元可靠性的影響，而且受到各單元維修特性的影響。 研究系統開始工作后，在任意時刻系統處于工作狀態的概率。方法馬爾可夫過程法可修復系統:對于象汽車、飛機、通信系統等大多數復雜系統而言,一旦發生故障常常是修理而不是置換。 第一節 馬爾可夫過程一、基本概念SF故障修復也可能不轉移（無故障）未修復隨機事件的變化過程，它無法用確定性的形式來描述。在使用期間可以修復的復雜系統，由系統部件的可靠性和維修性決定了系統在任務期間的某一時刻，系統可能隨機地處于某種狀態。正常狀態故障狀態或修理

2、狀態可用一組隨機變量X(t)來描述。狀態轉移：描述系統的變量從一個狀態的特定值變化到另一個狀態的特定值，則說系統實現了狀態的轉移。轉移概率：由一種狀態向另一種狀態轉移是隨機的， 是以一定的概率來實現的，此概率稱為轉移概率。假如系統完全由定義為“狀態”的變量的取值來描述，則：狀態轉移是個隨機過程，要用系統在各種狀態下的概率來描述，是一個典型的時間連續和狀態離散的隨機過程。0馬爾可夫過程： 轉移概率只需考慮過去有限次之內狀態情況，而與這有限次以前的狀態無關，這樣的隨機過程稱為馬爾柯夫過程。如果由一個狀態轉移到另一個狀態的轉移概率只與現在所處狀態有關，而與這一狀態以前各狀態完全無關，這樣的馬爾柯夫過

3、程稱為一步馬爾柯夫過程。一步馬爾可夫過程： 如果已知時間對應所處狀態為 只要前一個狀態 可用于在任務期間部件的壽命和修復時間均服從指數分布的系統可靠度的描述。只要已知系統開始工作時的狀態，就可以確定以后任意時刻，系統處于可工作狀態的概率，而與以前的狀態無關。一經決定，轉移到時刻 tn的狀態的條件概率為：二、轉移矩陣 有一臺機器，運行到某一時刻t時，可能有的狀態有e1（正常運行）及e2（發生故障）。假設處于e1狀態的概率為4/5，維修度為3/5。則：處于e1狀態的概率：由e1向e2轉移的概率：由e2向e1轉移的概率：處于e2狀態的概率：兩狀態轉移圖為：e1e24/51/53/52/5轉移矩陣：一

4、般形式： 設可能發生的狀態有e1，e2，e3，en，在事件ei發生后，事件ej發生的條件概率為Pij，其轉移矩陣為：如果系統的初始狀態是ei，經過n次轉移后處于ej的概率是此轉移期間所有通道v的概率和，記作：設以為元素組成的矩陣為以為元素組成的矩陣為則：例31已知e1，e2，e3三個狀態，其狀態轉移圖如圖所示。初始狀態為E(0)=(1,0,0),求由e1出發至第二步轉移后各狀態的概率。e1e2e3解：方法一該狀態轉移圖的轉移矩陣：則：方法二該題目中，v=1，2，3；n=2。三、極限概率及各態歷經性例32某設備狀態轉移圖如圖所示，如初始狀態向量，求各次轉移后設備所處的狀態。e1e21/21/22

5、/53/5解：其轉移矩陣為：當n=1時當n=2時以此類推，可得：n次轉移概率轉移步數 0 1 2 3 4 5 e1（正常狀態）1 0.5 0.45 0.445 0.4445 0.44445 e2（故障狀態）0 0.5 0.55 0.555 0.5555 0.55555 結論：（1）隨著轉移步數的增加，狀態趨于穩定。穩定狀態的概率稱為極限概率。（2）當n趨于無窮大時，n步轉移矩陣Pn將收斂于一個概率矩陣。（3）穩定狀態極限概率于初始狀態無關。如果初始狀態為，n次轉移的概率為：轉移步數 0 1 2 3 4 5 e1（正常狀態）0 0.4 0.44 0.444 0.4444 0.44444 e2（故

6、障狀態）1 0.6 0.56 0.556 0.5556 0.55556 各態歷經性：任何馬爾柯夫轉移矩陣，它的極限概率與初始狀態無關，稱之為各態歷經性，這樣的狀態轉移矩陣稱為遍歷矩陣。 遍歷矩陣經n次轉移后達到穩定狀態，在這種情況下，其整體狀態變量可用行向量X表示。在經過轉移后，轉移矩陣已經穩定（收斂），因此，即使再轉移下去，它的狀態概率也不會變了。所以可以寫出：吸收狀態：當轉移過程達到某一狀態，再也不能向其他狀態轉移時，稱此狀態為吸收狀態。 要求在吸收狀態時由ei轉移到ej所需的平均轉移次數，須先求出M矩陣。I單位矩陣；Q由轉移矩陣P中去掉吸收狀態的行和列后的子矩陣。四、吸收狀態的平均轉移次

7、數（或平均時間）從狀態ei出發到達吸收狀態的平均轉移次數為：用矩陣表示為：例35 三個狀態的狀態轉移圖如圖所示，其中e1為正常狀態，e2為故障狀態（可修復），e3為吸收狀態，失效后不再修理了。求達到吸收狀態時平均轉移次數及各狀態的停留次數。e1e2e3解：（1）其轉移概率矩陣P：其中P331表示吸收狀態，故（2）基本矩陣M：（3）平均轉移次數：第二節 單部件可修復系統的有效度假設：1.系統由一個單元和一組維修人員組成；2.組成系統單元的壽命和維修時間均服從指數分布；方法步驟：1、明確空間狀態（弄清維修系統的所有狀態）簡單系統，任一時刻只可能有兩種狀態 。e1e21ttt1t其馬爾柯夫鏈的微系數

8、矩陣為： 連續型馬爾柯夫過程，狀態轉移是在tt+t的一個極小區間t內完成的。2、寫出狀態轉移概率P（t）=表示系統處于正常狀態表示系統處于故障狀態t時間內各轉移概率為：發生一個以上故障的概率，高階無窮小，表示基本不會發生一個以上的故障3、寫出每一狀態在時刻t+t時的概率利用全概率公式得：4、將以上公式列出微分方程組解微分方程組，得： 由于P1(t)是系統處于工作狀態的概率，也就是系統的瞬時有效度A(t)。 當t時，即可得系統的穩態有效度。當故障狀態為吸收狀態時，系統的可靠度？第三節 串聯可修復系統的有效度一、n個相同單元、一組維修工情況 系統狀態轉移圖：e1e21ntntt1t系統只有兩狀態：X(t)=1 全部單元正常，系統正常X(t)=2 任一單元故障，系統故障瞬時有效度:穩態有效度:故障為吸收狀態時，系統可靠度及