1、結構動力學 第 2 章 分析動力學基礎及 運動方程建立第1頁第1頁第2章 分析動力學基礎及運動方程建立 2.1 基本概念 廣義坐標與動力自由度 功和能 實位移、也許位移和虛位移 廣義力 慣性力 彈簧恢復力 阻尼力 線彈性體系和粘彈性體系 非彈性體系第2頁第2頁2.1 基本概念2.1.1 廣義坐標與動力自由度廣義坐標：能決定質點系幾何位置彼此獨立量稱為該質點系廣義坐標。廣義坐標能夠取長度量綱量，也能夠用角度甚至面積和體積來表示。 靜力自由度：擬定結構體系在空間中位置所需獨立參數數目稱為結構自由度。 動力自由度：結構體系在任意瞬時一切也許變形中，決定所有質量位置所需獨立參數數目稱為結構動力自由度。

2、廣義坐標必須是互相獨立參數，其選擇原則是使解題以便。動力自由度數目與結構體系約束情況相關。第3頁第3頁2.1 基本概念2.1.2 功和能功 有勢力和勢能 動能滿足下列性質力稱為有勢力：（1）力大小和方向只決定于體系中各質點位置；（2）力作功只取決于運動起始點和終點相對位置，而與詳細運動路徑無關。第4頁第4頁2.1 基本概念2.1.3 實位移、也許位移和虛位移也許位移： 滿足所有約束方程位移稱為體系也許位移。實位移： 假如位移不但滿足約束方程，并且滿足運動方程 和初始條件，則稱為體系實位移。虛位移： 在某一固定期刻，體系在約束許可情況下也許 產生任意組微小位移，稱為體系虛位移。 第5頁第5頁2.

3、1 基本概念2.1.4 廣義力廣義力是標量而非矢量，廣義力與廣義坐標乘積含有功量綱。第6頁第6頁2.1 基本概念2.1.5 慣性力（Inertial Force） 慣性：保持物體運動狀態能力。慣性力：大小等于物體質量與加速度乘積， 方向與加速度方向相反。 I 表示慣性（Inertial）；m 質量（mass）； 坐標方向：向右為正 質點加速度。第7頁第7頁2.1 基本概念2.1.6 彈簧恢復力（Resisting Force of Spring） 對彈性體系，彈簧恢復力也被稱為彈性恢復力 彈性恢復力：大小等于彈簧剛度與位移(彈簧變形)乘積 方向指向體系平衡位置。 s 表示彈簧（Spring）k

4、 彈簧剛度（Spring Stiffness）u 質點位移 第8頁第8頁2.1 基本概念單層框架結構水平剛度 h框架結構高度L梁長度E彈性模量Ib和Ic梁和柱截面慣性矩第9頁第9頁2.1 基本概念2.1.7 阻尼力（Damping Force） 阻尼：引起結構能量耗散，使結構振幅逐步變小一個作用。阻尼起源（物理機制）：(1)固體材料變形時內摩擦，或材料快速應變引起熱耗散；(2)結構連接部位摩擦，結構構件與非結構構件之間摩擦；(3)結構周圍外部介質引起阻尼。比如，空氣、流體等。粘性(滯)阻尼力可表示為： D 表示阻尼（Damping） c 阻尼系數（Damping coefficient） 質點

5、運動速度 第10頁第10頁2.1 基本概念阻尼系數 c 確實定：不能像結構剛度k那樣可通過結構幾何尺寸、構件尺寸和材料力學性質等來取得，由于c是反應了各種耗能原因綜合影響系數，阻尼系數普通是通過結構原型振動試驗辦法得到。粘性(滯)阻尼理論僅是各種阻尼中最為簡樸一個。其它慣用阻尼： 摩擦阻尼：阻尼力大小與速度大小無關，普通為常數；滯變阻尼：阻尼力大小與位移成正比(相位與速度相同)； 流體阻尼：阻尼力與質點速度平方成正比。滯變阻尼時滯阻尼復阻尼第11頁第11頁2.1 基本概念2.1.8 線彈性體系和粘彈性體系 (Linearly Elastic System and Viscous Elastic

6、 System)線彈性體系：由線性彈簧（或線性構件）構成體系。 最簡樸抱負化力學模型。 粘彈性體系：當線彈性系統中進一步考慮阻尼（粘性阻 尼）影響時體系。 結構動力分析中最基本力學模型。 第12頁第12頁2.1 基本概念2.1.9 非彈性體系 (Inelastic System)結構構件力-變形關系為非線性關系，結構剛度不再為常數。構件（或彈簧）恢復力可表示為 fs是位移和速度 非線性函數。圖2.6 非彈性體系中結構構件力與位移關系 第13頁第13頁第2章 分析動力學基礎及運動方程建立 2.2 基本力學原理與 運動方程建立 DAlembert原理 虛位移原理 Hamilton原理 Lagran

7、ge方程第14頁第14頁2.2 基本力學原理與運動方程建立運動方程： 描述結構中力與位移(包括速度和加速度)關系 數學表示式。（有時也稱為動力方程）運動方程是進行結構動力分析基礎運動方程建立是結構動力學重點和難點本章首先通過對簡樸結構體系(單自由度體系)討論簡介結構動力分析中存在基本物理量及建立運動方程辦法，然后簡介更復雜多自由度體系運動方程建立。 第15頁第15頁基本動力體系： 應涉及結構動力分析中涉及所有物理量。 質量；彈簧；阻尼器。單自由度體系： SDOF (Single-Degree-of-Freedom) System 結構運動狀態僅需要一個幾何參數即能夠擬定 第16頁第16頁基本動

8、力體系兩個典型單自由度體系 (a) 單層框架結構 (b) 彈簧質點體系 物理元件： 質量 集中質量m 阻尼器 阻尼系數c 彈簧 彈簧剛度k兩個力學模型完全等效由于兩個體系運動方程相同 第17頁第17頁2.2 基本力學原理與運動方程建立2.2.1 DAlembert原理（直接動力平衡法）DAlembert原理：在體系運動任一瞬時，假如除了實際作用結構積極力（包括阻尼力）和約束反力外，再加上（假想）慣性力，則在該時刻體系將處于假想平衡狀態（動力平衡）。 單質點體系受力分析 第18頁第18頁2.2 基本力學原理與運動方程建立2.2.1 DAlembert原理DAlembert原理長處： 靜力問題是人

9、們所熟悉，有了DAlembert 原理之后，形式上動力問題就變成了靜力問題，靜力問題中用來建立控制方程辦法，都能夠用于建立動力問題平衡方程，使對動力問題思考有一定簡化。對諸多問題，DAlembert原理是用于建立運動方程最直接、最簡便辦法。DAlembert原理奉獻： 建立了動力平衡（簡稱：動平衡）概念。第19頁第19頁2.2 運動方程建立 也許位移；實位移；虛位移 2.2.2 虛位移原理虛位移原理：在一組外力作用下平衡系統發生一個虛位移時， 外力在虛位移上所做虛功總和恒等于零。虛位移是指滿足體系約束條件無限小位移。設體系發生一個虛位移u，則平衡力系在u上做總虛功為: 單質點體系受力分析第20

10、頁第20頁2.2 基本力學原理與運動方程建立2.2.2 虛位移原理虛位移原理優點：虛位移原理是建立在對虛功分析基礎之上，而虛功是一個標量，能夠按代數方式運算，因而比DAlembert原理中需要采取矢量運算更簡便。對以下圖所表示結構體系，用虛位移原理建立方程更簡便一些 第21頁第21頁2.2 基本力學原理與運動方程建立2.2.3 Hamilton原理能夠應用變分法（原理）建立結構體系運動方程。 在數學上，變分問題就是求泛函極值問題。 在這里，泛函就是結構體系中能量（功）。 變分法是求體系能量（功）極值。 體系平衡位置是體系穩定位置，在穩定位置，體系能量取得極值,普通是極小值。 Hamilton原

11、理是動力學中變分法（原理）。第22頁第22頁2.2 基本力學原理與運動方程建立2.2.3 Hamilton原理(積分形式動力問題變分辦法) Hamilton原理：在任意時間區段t1, t2內，體系動能和位能變分加上非保守力做功變分等于0。 T 體系總動能；V 體系位能，包括應變能及任何保守力勢能；Wnc 作用于體系上非保守力(包括阻尼力及任意外荷載)所做功； 在指定期間段內所取變分。 對于靜力問題 : 最小勢能原理。 第23頁第23頁2.2 基本力學原理與運動方程建立2.2.3 Hamilton原理 Hamilton原理長處：不明顯使用慣性力和彈性力，而分別用對動能和位能變分代替。因而對這兩項

12、來講，僅涉及處理純標量，即能量。而在虛位移原理中，盡管虛功本身是標量，但用來計算虛功力和虛位移則都是矢量。動能：集中質量 轉動質量位能：拉伸彈簧 轉動彈簧多自由度體系： 動能 位能第24頁第24頁2.2 基本力學原理與運動方程建立用Hamilton原理建立體系運動方程體系動能： 位能(彈簧應變能)：因此能量變分：非保守所做功變分(等于非保守力在位移變分上作功) 將以上兩式代入Hamilton原理變分公式，得：對上式中第一項進行分部積分第25頁第25頁2.2 基本力學原理與運動方程建立2.2.4 Lagrange方程 Hamilton原理是一個積分形式動力問題變分辦法，實際尚有另外與之等價微分形

13、式動力問題變分原理，就是運動Lagrange方程，其表示式下列： 其中： T 體系動能； V 體系位能，包括應變能及任何保守力勢能； Qj與qj相應廣義力。第26頁第26頁2.2.4 Lagrange運動方程 算例2.8 如圖所表示一復合擺，擺桿長分別為l1和l2，擺質量分別為m1和m2，忽略桿分布質量，采用Lagrange方程建立體系無阻尼自由運動方程。廣義坐標q1和q2取為桿1和桿2轉角。為以便計算體系動能，也給出了直角坐標系，在直角坐標系中更容易建立體系勢能和動能公式。 第27頁第27頁2. 2.4 Lagrange運動方程 直角坐標x、y 算例2.8和廣義坐標q1、q2關系及其速度之間

14、關系下列： 第28頁第28頁2. 2.4 Lagrange運動方程 算例2.8體系動能T：設q1=q2= 0時是0勢能位置，則勢能（位能）V：第29頁第29頁2. 2.4 Lagrange運動方程 算例2.8取Lagrange方程中i=1, 2，得到， 假設非保守力，即阻尼力和外力都為零，則Q1=Q2=0，將T和V代入Lagrange方程得復合擺運動方程： 能夠發覺以上運動方程公式是高度非線性。第30頁第30頁2. 2.4 Lagrange運動方程 算例2.8復合擺運動方程： 當微幅振蕩時，q1、q2很小，忽略高階小量，運動方程可化為：這是一線性方程組，可見只有當微幅擺動時，復合擺運動方程才成

15、為線性。當m2=0時，得到單擺運動方程:第31頁第31頁2.2 基本力學原理與運動方程建立2.2.4 Lagrange方程 應用Lagrange方程辦法建立體系運動方程環節：建立坐標系，擬定廣義坐標；建立廣義坐標與物理坐標之間關系；寫出體系動能和勢能表示式；代入Lagrange方程寫出體系運動方程。 第32頁第32頁四種建立運動方程辦法特點DAlembert原理：是一個簡樸、直觀建立運動方程辦法，得到廣泛應用。DAlembert原理建立了動平衡概念，使得在結構靜力分析中一些辦法能夠直接推廣到動力問題。當結構含有分布質量和彈性時，直接應用DAlembert原理，用動力平衡辦法來建立體系運動方程也

16、許是困難。虛位移原理：部分避免了矢量運算，在取得體系虛功后，能夠采用標量運算建立體系運動方程，簡化了運算。第33頁第33頁五種建立運動方程辦法特點Hamilton原理：是一個建立運動方程能量辦法(積分形式變分原理) ，假如不考慮非保守力作功（主要是阻尼力），它是完全標量運算，但事實上直接采用Hamilton原理建立運動方程并不多。Hamilton原理美妙在于它以一個極為簡練表示式概括了復雜力學問題。Lagrange方程：得到更多應用，它和Hamilton原理同樣，除非保守力（阻尼力）外，是一個完全標量分析辦法，不必直接分析慣性力和保守力（主要是彈性恢復力），而慣性力和彈性恢復力是建立運動方程時

17、最為困難處理對象。第34頁第34頁2.2 基本力學原理與運動方程建立4種建立運動方程辦法特點運動方程辦法第35頁第35頁2.2 基本力學原理與運動方程建立單自由度體系運動方程單自由度系統運動方程反應了結構動力學中將碰到幾乎所有物理量(1) 質量m,和慣性力：(2) 阻尼c,和阻尼力：(3) 剛度k,和彈性恢復力：對于多自由度體系： 第36頁第36頁第2章 分析動力學基礎及運動方程建立 2.3 重力影響 第37頁第37頁2.3 重力影響 靜平衡位置：受動力作用以前結構所處實際位置 st重力W=mg作用下體系靜位移記：動位移為u 慣性力、阻尼力和彈性恢復力分別為： 應用DAlembert原理：外荷

18、載為：第38頁第38頁2.3 重力影響 考慮重力影響時，結構體系運動方程與無重力影響時運動方程完全同樣，此時u是由動荷載引起動力反應。可見在研究結構動力反應時，能夠完全不考慮重力影響，建立體系運動方程，直接求解動力荷載作用下運動方程，即得到結構體系動力解。當需要考慮重力影響時，結構總位移為總位移=靜力解+動力解 即能夠應用疊加原理將結構動力反應和靜力反應相加即得到結構總體反應。 在結構反應問題中，應用疊加原理可將靜力問題（普通是重力問題）和動力問題分開計算。第39頁第39頁2.3 重力影響 并不是對任何結構動、靜力反應問題都能夠這樣處理，由于在以上推導中，假設彈簧剛度k為常數，即結構是線彈性，因此只有對線彈性結構（假如是二維或三維問題，還要加上小變形（位移）限