1、第四節一、立體體積 二、曲面的面積 三、物體的質心 四、物體的轉動慣量 五、物體的引力 下頁 返回 結束 重積分的應用 第十章 一、立體體積 曲頂柱體的頂為連續曲面則其體積為 占有空間有界域 的立體的體積為上頁 下頁 返回 結束 面上的圓周為底，而以曲面為頂的曲頂柱體的體積.例(補). 計算以解: 曲面在 xoy 面上投影為則圍成的閉區域上頁 下頁 返回 結束 例4(P163). 求半徑為a 的球面與半頂角為 的內接錐面所圍成的立體的體積.解: 在球坐標系下空間立體所占區域為則立體體積為上頁 下頁 返回 結束 二、曲面的面積設光滑曲面則面積 A 可看成曲面上各點處小切平面的面積 d A 無限積

2、累而成. 設它在 D 上的投影為 d ,(稱為面積元素)則上頁 下頁 返回 結束 若光滑曲面方程為 若光滑曲面方程為隱式則則有且上頁 下頁 返回 結束 例 (補). 計算雙曲拋物面被柱面所截解: 曲面在 xoy 面上投影為則出的面積 A .上頁 下頁 返回 結束 三、物體的質心設空間有n個質點,其質量分別由力學知, 該質點系的質心坐標設物體占有空間域 ,有連續密度函數則 公式 ,分別位于為為即:采用 “大化小, 常代變, 近似和, 取極限” 可導出其質心 上頁 下頁 返回 結束 將 分成 n 小塊,將第 k 塊看作質量集中于點例如,令各小區域的最大直徑系的質心坐標就近似該物體的質心坐標.的質點

3、,即得此質點在第 k 塊上任取一點上頁 下頁 返回 結束 同理可得則得形心坐標：上頁 下頁 返回 結束 例(補). 計算二重積分其中D 是由曲所圍成的平面域 .解:其形心坐標為:面積為:積分區域線形心坐標上頁 下頁 返回 結束 例3. 求位于兩圓和的質心. 解: 利用對稱性可知而之間均勻薄片上頁 下頁 返回 結束 質心坐標為四、物體的轉動慣量設物體占有空間區域 , 有連續分布的密度函數該物體位于(x , y , z) 處的微元 因此物體 對 z 軸 的轉動慣量:對 z 軸的轉動慣量為 因質點系的轉動慣量等于各質點的轉動慣量之和, 故 連續體的轉動慣量可用積分計算. 上頁 下頁 返回 結束 類似

4、可得:對 x 軸的轉動慣量對 y 軸的轉動慣量上頁 下頁 返回 結束 如果物體是平面薄片,面密度為則轉動慣量的表達式是二重積分.上頁 下頁 返回 結束 例5.求半徑為 a 的均勻半圓薄片(面密度為常量)解: 建立坐標系如圖,半圓薄片的質量對其直徑的轉動慣量.上頁 下頁 返回 結束 解: 取球心為原點, z 軸為 l 軸,則球體的質量例6.求密度為的均勻球體對于過球心的一條軸 l 的轉動慣量.設球 所占域為(用球坐標) 上頁 下頁 返回 結束 G 為引力常數五、物體的引力設物體占有空間區域 ,利用元素法,其密度函數引力元素在三坐標軸上的投影分別為物體對位于外的點 的單位質量的質點的引力上頁 下頁

5、 返回 結束 例(補).設面密度為 ,半徑為R的圓形薄片求它對位于點解: 由對稱性知引力處的單位質量質點的引力. 。上頁 下頁 返回 結束 例7. 求半徑 R 的均勻球對位于的單位質量質點的引力.解: 利用對稱性知引力分量點上頁 下頁 返回 結束 作業P175 1，5, 9(2)上頁 下頁 返回 結束 二重積分的計算X型（）直角坐標系下Y型上頁 下頁 返回 結束 補例：解X-型上頁 下頁 返回 結束 （）極坐標系下上頁 下頁 返回 結束 補例.計算二重積分其中D 為圓周所圍成的閉區域.提示: 利用極坐標原式上頁 下頁 返回 結束 例(補).計算積分其中D 由所圍成 .提示:如圖所示連續,所以上頁 下頁 返回 結束 例(補). 計算二重積分其中:(1) D為圓域(2) D由直線解: (1) 利用對稱性.圍成 .上頁 下頁 返回 結束 (2) 積分域如圖:將D 分為添加輔助線利用對稱性 , 得上頁 下頁 返回 結束 例(補).證明證:左端= 右端上頁 下頁 返回 結束 三重積分的計算() 直角坐標上頁 下頁 返回 結束 利用“先二后一”計算.補例. 試計算橢球體的體積 V.解上頁 下頁 返回 結束 () 柱面坐標上頁 下頁 返回 結束 8 (3).計算三重積分其中是由 xoy平面上曲