1、25/25探究二元一次不定方程（Inquires into the dual indefinite equation）馮曉梁（XiaoLiang Feng） （江西科技師范學院 數計學院 數一班 330031）【摘 要】:二元一次不定方程是最簡單的不定方程, 一些復雜的不定方程常常化為二元一次不定方程問題加以解決。我們討論二元一次方程的整數解。The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual inde

2、finite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution.【關鍵字】：二元一次不定方程 初等數論 整數解 （Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution）二元一次方程的概念：含有兩個未知數，并且未知項的次數是1的方程叫做二元一次方程。一個方程是二元一次方程必須同時滿足下列條件；等號兩邊的代數式是整式；具有兩個未知數；未知項的次數是1。如：2x-3y=7是二元一

3、次方程，而方程4xy-3=0中含有兩個未知數，且兩個未知數的次數都是1，但是未知項4xy的次數是2，所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。定理1.形如(不同時為零)的方程稱為二元一次不定方程。1二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一個二元一次方程兩邊的值相等的未知數的一組值叫做這個方程的一個解，但若對未知數的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限個。通常求一個二元一次方程的解的方法是用一個未知數的代數式表示另一個未知數，如x-2y=3變形為x=3+2y，然后給出一個y的值就能求出x的一個對應值，這樣得到的x、y的每對對應值，都是x-2y=3的一個解。定理2.方程有解的充要是；2若，且為

4、的一個解，則方程的一切解都可以表示成： （t為任意整數）定理2的擴展.元一次不定方程，()有解的充要條件是.方法及技巧：1解二元一次不定方程通常先判定方程有無解。若有解，可先求一個特解，從而寫出通解。當不定方程系數不大時，有時可以通過觀察法求得其解，即引入變量，逐漸減小系數，直到容易得其特解為止；2解元一次不定方程時，可先順次求出，.若，則方程無解；若|，則方程有解，作方程組：求出最后一個方程的一切解，然后把的每一個值代入倒數第二個方程，求出它的一切解，這樣下去即可得方程的一切解。對于解不定方程（組），二元一次不定方程是最簡單的不定方程，一些復雜的不定方程（組）常常化為二元一次不定方程問題加以

5、解決，設a，b，c，d為整數，則不定方程ax+by=c有如下兩個重要命題：（1）若（a，b）=d，且d不等于c，則不定方程ax+by=c沒有整數解。（2）若Xo，Yo是方程ax+by=c且（a，b）=1的一組整數解（稱特解），則 x=Xo+bt，（t為整數）y=Yo-at 是方程的全部整數解（稱通解）。求：方程5x-3y=-7的正整數解. 解:原方程X=(3y-7)/5 即X=-2+3(y+1)/5 (1) Y=4時,x=1 即 X=1 Y=4 為原方程的一組整數解,因此,原方程的所有整數解為 X=1-3k (k為任意整數) Y=4-5k 再令X大于0,y大于0,即有不等式組 1-3k大于0

6、4-5k大于0 解得K小于1/3,所以當k取0,-1,-2,時原方程可得到無窮多組正整數X=1-3k (k=0,-1,-2,) Y=4-5k題：某人家的電話號碼是八位數，將前四位數組成的數和后四位組成的數相加得14405，將前三位組成的數雨后五位相加得16970，求這個人家中的電話號碼。解：可將兩個已知條件變為兩個方程，用方程只是去解決。關鍵是怎么樣設未知數，不妨將a b c d e f g h的a b c 設為x；d設為y，e f g h 設為z可以很快構造出方程組。設電話號碼是10000 x+10000y+z，其中x，y，z均為自然數，且100 x999，0y9， 10 x+y+z=144

7、05.1000z9999，則 x=10000y+z=16970。-化簡得1111y-x=285，即1111y=x+285.100 x999， 385x+2851284。385/1111y1284/1111又y為整數 y=1，x=826，z=6144即 此電話號碼為82616144.例：（1）求方程15x+52y=6的所有整數解。（2）求不定方程5x+7y=978的正整數解的組數。解：對于（1），通過觀察或輾轉相除法，先求出特解；對于(2)，先表示出方程的全部整數解，再解不等式組確定方程的正整數解的組數； 【解法一】（1）觀察易得一個特解x=42，y=-12 ，原方程所有整數解為x=42-52t

8、，（t為整數） y=-12+15t【解法二】（1）x=-4y+ 6+8y/15 , 令6+8y/15= t1 ,得y=2 t1- t1+6 / 8,令t1+6 / 8=t,得t1=8t-6，化簡得： x=42-52t，（t為整數） y=-12+15t（2）可得原不定方程的通解為 x=197-7t （t為整數） y=-1+5t 由x0，y0得 1t28即原不定方程有28個正整數解。利用輾轉相除法求整數解：例 求方程407x-2816y=33的一個整數解，并寫出它的通解 解：將方程化簡為 37x-256y=3即37x+256（-y）=3 256=637+34 37=134+3 34=113+1 1

9、=34-113=（256-637）-1137-（256-637）=256-637-1137+11256-6637=37（-6-11-66）+256（1+11） 即37（-83）+25612=1 上式各項乘以3得37（-249）+25636=3 原方程的一個整數解是Xo =-249Yo =-36通解為 （t為任意整數）x=-249+256ty=-36-37t 這就是用輾轉相除法解的，這種方適用于所有的有整數解的方程。因為1是所有整數的約數。輾轉相除總能除到余數為1，再逆推，化為原不定方程的形式。但用輾轉相除除到余數為1，再逆推，這一過程較繁，若除到余數是常數項的約數，也可逆推，化為原不定方程的形

10、式，這樣就簡便些。又如解不定方程13x+15y=8 解：15=13+2（2是常數8的約數）2=15-13即8=13（-4）+154 方程一特解Xo =-4Yo =4 所以原方程的通解為x=-4+15ty=4-13t 求不定方程47x-97y=501的整數解解：97=472+3 (3是501的約數) 3=97-472 (左右同乘167) 即501=97167-47334 47(-334)-97(-167)=501 Xo =-334 方程的一個特解為 Yo =-167 x=-334+97t 不定方程的通解 (t為整數) y=-167+47t 上述用輾轉相除,除到余數是常數的約數就逆推化為原不定方程

11、的形式,從而求出它的一個特解的方法,得出通解。參考文獻：1閔嗣鶴 嚴士健，初等數論【M】，高等教育出版社，2003年7月第3版，P252閔嗣鶴 嚴士健，初等數論【M】，高等教育出版社，2003年7月第3版,P25二元一次不定方程的解法我們知道，如果未知數的個數多于方程的個數，那么，一般來說，它的解往往是不確定的，例如方程x-2y=3，方程組等，它們的解是不確定的像這類方程或方程組就稱為不定方程或不定方程組不定方程(組)是數論中的一個古老分支，其內容極其豐富我國對不定方程的研究已延續了數千年，“百雞問題”等一直流傳至今，“物不知其數”的解法被稱為中國剩余定理近年來，不定方程的研究又有新的進展學習

12、不定方程，不僅可以拓寬數學知識面，而且可以培養思維能力，提高數學解題的技能我們先看一個例子例 小張帶了5角錢去買橡皮和鉛筆，橡皮每塊3分，鉛筆每支1角1分，問5角錢剛好買幾塊橡皮和幾支鉛筆？解 設小張買了x塊橡皮，y支鉛筆，于是根據題意得方程3x+11y=50這是一個二元一次不定方程從方程來看，任給一個x值，就可以得到一個y值，所以它的解有無數多組但是這個問題要求的是買橡皮的塊數和鉛筆的支數，而橡皮的塊數及鉛筆的支數只能是正整數或零，所以從這個問題的要求來說，我們只要求這個方程的非負整數解因為鉛筆每支1角1分，所以5角錢最多只能買到4支鉛筆，因此，小張買鉛筆的支數只能是0，1，2，3，4支，即

13、y的取值只能是0，1，2，3，4這五個若y=3，則x=17/3，不是整數，不合題意；若y=4，則x=2，符合題意所以，這個方程有兩組正整數解，即也就是說，5角錢剛好能買2塊橡皮及4支鉛筆，或者13塊橡皮及1支鉛筆像這個例子，我們把二元一次不定方程的解限制在非負整數時，那么它的解就確定了但是否只要把解限制在非負整數時，二元一次不定方程的解就一定能確定了呢？不能！現舉例說明例 求不定方程x-y=2的正整數解解 我們知道：3-1=2，4-2=2，5-3=2，所以這個方程的正整數解有無數組，它們是其中n可以取一切自然數因此，所要解的不定方程有無數組正整數解，它的解是不確定的上面關于橡皮及鉛筆的例子，我

14、們是用逐個檢驗的方法來求它們的非負整數解的，但是這種方法在給出的數比較大的問題或者方程有無數組解的時候就會遇到麻煩那么能不能找到一個有效而又方便的方法來求解呢？我們現在就來研究這個問題，先給出一個定理定理 如果a，b是互質的正整數，c是整數，且方程ax+by=c 有一組整數解x0，y0則此方程的一切整數解可以表示為其中t=0，1，2，3，證 因為x0，y0是方程的整數解，當然滿足ax0+by0=c， 因此a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c這表明x=x0-bt，y=y0+at也是方程的解設x，y是方程的任一整數解，則有ax+bx=c. -得a(x-x0)=b(y-y0) 由于

15、(a，b)=1，所以ay-y0，即y=y0+at，其中t是整數將y=y0+at代入，即得x=x0-bt因此x， y可以表示成x=x0-bt，y=y0+at的形式，所以x=x0-bt，y=y0+at表示方程的一切整數解，命題得證有了上述定理，求解二元一次不定方程的關鍵是求它的一組特殊解例1 求11x+15y=7的整數解解法1 將方程變形得因為x是整數，所以7-15y應是11的倍數由觀察得x0=2，y0=-1是這個方程的一組整數解，所以方程的解為解法2 先考察11x+15y=1，通過觀察易得11(-4)+15(3)=1，所以11(-47)+15(37)=7，可取x0=-28，y0=21從而可見，二

16、元一次不定方程在無約束條件的情況下，通常有無數組整數解，由于求出的特解不同，同一個不定方程的解的形式可以不同，但它們所包含的全部解是一樣的將解中的參數t做適當代換，就可化為同一形式例2 求方程6x+22y=90的非負整數解解 因為(6，22)=2，所以方程兩邊同除以2得3x+11y=45 由觀察知，x1=4，y1=-1是方程3x+11y=1 的一組整數解，從而方程的一組整數解為由定理，可得方程的一切整數解為因為要求的是原方程的非負整數解，所以必有由于t是整數，由，得15t16，所以只有t=15，t=16兩種可能當t=15時，x=15，y=0；當t=16時，x=4，y=3所以原方程的非負整數解是

17、例3 求方程7x+19y=213的所有正整數解分析 這個方程的系數較大，用觀察法去求其特殊解比較困難，碰到這種情況我們可用逐步縮小系數的方法使系數變小，最后再用觀察法求得其解解 用方程7x+19y=213 的最小系數7除方程的各項，并移項得因為x，y是整數，故3-5y/7=u也是整數，于是5y+7u=3儆*5除此式的兩邊得2u+5v=3 由觀察知u=-1，v=1是方程的一組解將u=-1，v=1代入得y=2y=2代入得x=25于是方程有一組解x0=25，y0=2，所以它的一切解為由于要求方程的正整數解，所以解不等式，得t只能取0，1因此得原方程的正整數解為當方程的系數較大時，我們還可以用輾轉相除

18、法求其特解，其解法結合例題說明例4 求方程37x+107y=25的整數解解 107=237+33，37=133+4，33=84+1為用37和107表示1，我們把上述輾轉相除過程回代，得1=33-84=37-4-84=37-94 =37-9(37-33)=933-837 9(107-237)8379107-2637 =37(-26)+1079由此可知x1=-26，y1=9是方程37x+107y=1的一組整數解于是x0=25(-26)=-650，y0=259=225是方程37x+107y=25的一組整數解所以原方程的一切整數解為例5 某國硬幣有5分和7分兩種，問用這兩種硬幣支付142分貨款，有多少

19、種不同的方法？解 設需x枚7分，y枚5分恰好支付142分，于是7x+5y=142. 所以由于7x142，所以x20，并且由上式知52(x-1)因為(5，2)=1，所以5x-1，從而x=1，6，11，16，的非負整數解為所以，共有4種不同的支付方式說明 當方程的系數較小時，而且是求非負整數解或者是實際問題時，這時候的解的組數往往較少，可以用整除的性質加上枚舉，也能較容易地解出方程多元一次不定方程可以化為二元一次不定方程例6 求方程9x+24y-5z=1000的整數解解 設9x+24y=3t，即3x+8y=t，于是3t-5z=1000于是原方程可化為用前面的方法可以求得的解為的解為消去t，得大約1

20、500年以前，我國古代數學家張丘建在他編寫的張丘建算經里，曾經提出并解決了“百錢買百雞”這個有名的數學問題，通俗地講就是下例例7 今有公雞每只五個錢，母雞每只三個錢，小雞每個錢三只用100個錢買100只雞，問公雞、母雞、小雞各買了多少只？解 設公雞、母雞、小雞各買x，y，z只，由題意列方程組化簡得 15x+9y+z=300 -得 14x+8y=200，即 7x+4y=100解7x+4y=1得于是7x+4y=100的一個特解為由定理知7x+4y=100的所有整數解為由題意知，0 x，y，z100，所以由于t是整數，故t只能取26，27，28，而且x，y，z還應滿足x+y+z=100t x y z

21、26 4 18 7827 8 11 8128 12 4 84即可能有三種情況：4只公雞，18只母雞，78只小雞；或8只公雞，11只母雞，81只小雞；或12只公雞，4只母雞，84只小雞練習1求下列不定方程的整數解：(1) 72x+157y=1；(2)9x+21y=144；(3)103x-91y52求下列不定方程的正整數解：(1)3x-5y=19； (2)12x+5y=1253求下列不定方程的整數解：(1)5x+8y+19z=50； (2)39x-24y+9z=784求不定方程2x+5y+7z+3t=10的整數解5求不定方程組 的正整數解.不定方程及整數拆分 求二元一次方程及多元一次方程組的自然數

22、解的方法，及此相關或涉及整數分拆的數論問題 補充說明：對于不定方程的解法，本講主要利用同余的性質來求解，對于同余性質讀者可參考思維導引詳解五年級第15講 余數問題. 解不定方程的4個步驟：判斷是否有解；化簡方程；求特解；求通解 本講講解順序：包括1、2、3題包括4、5題包括6、7題，其中步驟中加入百雞問題 復雜不定方程：、依次為三元不定方程、較復雜不定方程、復雜不定方程整數分拆問題：11、12、13、14、15 1在兩位數中，能被其各位數字之和整除，而且除得的商恰好是4的數有多少個?【分析及解】 設這個兩位數為，則數字和為，這個數可以表達為，有 即，亦即 注意到和都是0到9的整數，且不能為0，

23、因此只能為1、2、3或4，相應地的取值為2、4、6、8 綜上分析，滿足題目條件的兩位數共有4個，它們是12、24、36和48 2設A和B都是自然數，并且滿足,那么A+B等于多少? 【分析及解】 將等式兩邊通分，有3A+llB=17,顯然有B=l，A=2時滿足，此時A+B=2+1=3 3甲級鉛筆7分錢一支，乙級鉛筆3分錢一支張明用5角錢恰好可以買這兩種不同的鉛筆共多少支?【分析及解】設購買甲級鉛筆支，乙級鉛筆支 有7+3=50，這個不定方程的解法有多種，在這里我們推薦下面這種利用余數的性質來求解的方法： 將系數及常數對3取模(系數7，3中，3最小)： 得=2(mod 3)，所以可以取2，此時取1

24、2；還可以取2+3=5，此時取5； 即、,對應為14、10 所以張明用5角錢恰好可以買這兩種不同的鉛筆共14支或10支4有紙幣60張，其中1分、l角、1元和10元各有若干張問這些紙幣的總面值是否能夠恰好是100元?【分析及解】 設1分、1角、1元和10元紙幣分別有a張、b張、c張和d張，列方程如下： 由 (2)(1)得 注意到式左邊是9的倍數，而右邊不是9的倍數，因此無整數解，即這些紙幣的總面值不能恰好為100元 5.將一根長為374厘米的合金鋁管截成若干根36厘米和24厘米兩種型號的短管，加工損耗忽略不計問：剩余部分的管子最少是多少厘米?【分析及解】 24厘米及36厘米都是12的倍數，所以截

25、成若干根這兩種型號的短管，截去的總長度必是12的倍數，但374被12除余2，所以截完以后必有剩余剩余管料長不小于2厘米 另一方面，374=2712+412+2，而3612=3，2412=2，有39+22=31即可截成9根36厘米的短管及2根24厘米的短管，剩余2厘米 因此剩余部分的管子最少是2厘米 6某單位的職工到郊外植樹，其中有男職工，也有女職工，并且有寺的職工各帶一個孩子參加男職工每人種13棵樹，女職工每人種10棵樹，每個孩子種6棵樹，他們一共種了216棵樹那么其中有多少名男職工?【分析及解】設男職工人，孩子人，則女職工3-人(注意，為何設孩子數為人，而不是設女職工為人)， 那么有=216

26、，化簡為=216，即=72 有. 但是，女職工人數為必須是自然數，所以只有時，滿足那么男職工數只能為12名 7一居民要裝修房屋，買來長0.7米和O.8米的兩種木條各若干根如果從這些木條中取出一些接起來，可以得到許多種長度的木條，例如：O.7+O.7=1.4米，0.7+0.8=1.5米那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米這5種長度中，哪種是不可能通過這些木條的恰當拼接而實現的?【分析及解】設0.7米，0.8米兩種木條分別，根，則0.7+0.8=3.43.6， 即7+8=34，36，37，38，39 將系數，常數對7取模，有6，l，2，3，4(mod 7)，于是最小分別取6,1,

27、2，3，4 但是當取6時，86=48超過34，無法取值所以3.4米是不可能通過這些木條的恰當拼接而實現的 8.小萌在郵局寄了3種信，平信每封8分，航空信每封1角，掛號信每封角，她共用了1元2角2分那么小萌寄的這3種信的總和最少是多少封? 【分析及解】顯然，為了使3種信的總和最少，那么小萌應該盡量寄最貴的掛號信，然后是航空信，最后才是平信但是掛號信、航空信的郵費都是整數角不會產生幾分 所以，2分，10+2分應該為平信的郵費，最小取3，才是8的倍數，所以平信至少要寄4封，此時剩下的郵費為122-32=90，所以再寄4封掛號信，航空信1封即可 于是，小萌寄的這3種信的總和最少是4+1+4=9封 9.

28、有三堆砝碼，第一堆中每個砝碼重3克，第二堆中每個砝碼重5克，第三堆中每個砝碼重7克現在要取出最少個數的砝碼，使它們的總重量為130克那么共需要多少個砝碼?其中3克、5克和7克的砝碼各有幾個?【分析及解】 為了使選取的砝碼最少，應盡可能的取7克的砝碼1307：184，所以3克、5克的砝碼應組合為4克，或4+7克重 設3克的砝碼個，5克的砝碼個，則 當=0時，有，無自然數解； 當=1時，有，有=2，=1，此時7克的砝碼取17個，所以共需2+1+17=21個砝碼，有3克、5克和7克的砝碼各2、1、17個 當1時，7克的砝碼取得較少，而3、5克的砝碼卻取得較多，不是最少的取砝碼情形所以共需2+1+17

29、=20個砝碼，有3克、5克和7克的砝碼各2、1、17個 105種商品的價格如表81，其中的單位是元現用60元錢恰好買了10件商品，那么有多少種不同的選購方式?【分析及解】 設B、C、D、E、A商品依次買了b、c、d、e、(10-b-c-d-e)件，則有=60=310，顯然只能取0，1，2有=310，其中d可取0，1，2，3，4 (1)當d=0時，有=310，將系數，常數對6取模得：4(mod 6)，于是最小取4，那么有18b=310-434=138，b不為自然數所以d=0時。不滿足；(2)有=233，將系數，常數對6取模得：5(mod 6),于是最小,那么有18b=233-435=18,；(3

30、)有=156，將系數，常數對6取模得：O(mod 6)，于是最小取0，那么有18b=156，b不為自然數，所以d=2時，不滿足；(4)有=79，將系數、常數對6取模得：1(mod 6)，于是最小那么有18b=7943=36(5)當d=4時，有=2，顯然不滿足有=190，其中d可以取0、1、2(1)有=190，將系數、常數對6取模有：4(mod 6)，于是最小那么有18b=190-434=18,(2)當d=1時，有=113，將系數、常數對6取模有：5(mod 6)，于是最小取5，即18+215=113，顯然d=1時，不滿足；(3)有=36,顯然有時有=70，只能取0，有=70，將系數、常數對6取

31、模有：4(rood 6)，于是最小取4，那么有18+172=70，顯然不滿足最后可得到如下表的滿足情況：共有4種不同的選購方法 11有43位同學，他們身上帶的錢從8分到5角，錢數都各不相同每個同學都把身上帶的全部錢各自買了畫片畫片只有兩種：3分一張和5分一張每11人都盡量多買5分一張的畫片問他們所買的3分畫片的總數是多少張? 【分析及解】 錢數除以5余0，1，2，3，4的人，分別買0，2，4，1，3張3分的畫片因此，可將錢數8分至5角2分這45種分為9組，每連續5個在一組，每組買3分畫片0+2+4+1+3=10張，9組共買109=90張，去掉5角1分錢中買的2張3分畫片，5角2分中買的4張3分

32、畫片，43個人買的3分畫片的總數是90-2-4=84張 12哥德巴赫猜想是說：“每個大于2的偶數都可以表示成兩個質數之和”試將168表示成兩個兩位質數的和，并且其中的一個數的個位數字是1【分析及解】 個位數字是1的兩位質數有11，31，41，61，71 其中168-11=157，168-31=137，168-41=127，168-61=107，都不是兩位數，只有168-71=97是兩位數，而且是質數，所以168=71+97是惟一解13(1)將50分拆成10個質數之和，要求其中最大的質數盡可能大，那么這個最大質數是多少?(2)將60分拆成10個質數之和，要求其中最大的質數盡可能小，那么這個最大的質數是多少?【分析及解】 (1)首先確定這10個質數或其中的幾個質數可以相等，不然10個互不相等的質數和最小為2+3+5+7+11+13+17+19+23+29，顯然大于50 所以，其中一定可以有某幾個質數相等 欲使最大的質數盡可能大，那么應使最小的質數盡可能小，最小的質數為2，且最多可有9個2，那么最大質數不超過5029=32，而不超過32的最大質數為31 又有，所以滿足條件的最大質數為31 (2)最大的質數必大于5，否則10個質數的之和將不大于50 所以最大