1、 復變函數 與積分變換主講：王興波專家佛山科學技術學院 大學數學多媒體課件/10/101第1頁第1頁參考用書復變函數與積分變換, 華中科技大學數學系, 高等教育出版社, .6 復變函數與積分變換學習輔導與習題全解, 華中科大, 高等教育出版社 復變函數, 西安交通大學高等數學教研室, 高等教育出版社, 1996.5 /10/102第2頁第2頁 目 錄第二章 解析函數第三章 復變函數積分第四章 解析函數級數表示第五章 留數及其應用第六章 傅立葉變換第七章 拉普拉斯變換第一章 復數與復變函數/10/103第3頁第3頁 第四章 解析函數級數表示 本章主要內容是：復數項級數和復變函數項級數一些基本概念

2、和性質；重點簡介復變函數項級數中冪級數和由正、負整次冪項所構成洛朗級數.關于復數項級數和復變函數項級數一些概念和定理都是實數范圍內相應內容在復數范圍內直接推廣，因此，在學習中結合高等數學中無窮級數部分復習，并在對此中進行學習/10/104第4頁第4頁 第四章 解析函數級數表示 4.1 復數項級數4.2 復變函數項級數4.3 泰勒級數4.4 洛朗級數本章小結 思考題/10/105第5頁第5頁第一節 復數項級數一、復數列極限 定義： 定理1：/10/106第6頁第6頁證實：必要性 充足性 /10/107第7頁第7頁例1解：/10/108第8頁第8頁/10/109第9頁第9頁定義： 例1解：二、復數

3、項級數概念 /10/1010第10頁第10頁定理2：證實：定理3：/10/1011第11頁第11頁定理3：證實：/10/1012第12頁第12頁闡明：例2下列級數是否收斂？是否絕對收斂？ 解：/10/1013第13頁第13頁第二節 復變函數項級數一、復變函數項級數 定義： 稱表示式： 稱為級數部分和 /10/1014第14頁第14頁二、冪級數 1冪級數概念 定義：形如 /10/1015第15頁第15頁定理1：（阿貝爾定理） 阿貝爾定理告訴我們:/10/1016第16頁第16頁證實：充足性用反證能夠證實（略） 必要性 /10/1017第17頁第17頁2收斂圓與收斂半徑 定義： 注意： /10/1

4、018第18頁第18頁例1解：冪級數部分和 故級數發散./10/1019第19頁第19頁3收斂半徑求法 定理2：（比值法） 證實：/10/1020第20頁第20頁定理3：（根值法） 例1求下列冪級數收斂半徑 解：/10/1021第21頁第21頁因此不能直接用公式 用比較審斂法: /10/1022第22頁第22頁4冪級數運算和性質 （1）冪級數代數運算 /10/1023第23頁第23頁/10/1024第24頁第24頁（2）復合運算 這個運算含有廣泛應用，慣用來將函數展為冪級數 例2解：/10/1025第25頁第25頁（3）冪級數和函數性質 定理4： 逐項求導、逐項積分 /10/1026第26頁第

5、26頁例3試求給定冪級數在收斂圓內和函數 解：/10/1027第27頁第27頁第三節 泰勒級數 前面已討論了已知冪級數，如何求收斂圓、和函數，并且知道和函數在它收斂圓內是一個解析函數，下面研究與此相反問題：即任何一個解析函數是否能用冪級數來表示？ /10/1028第28頁第28頁 /10/1029第29頁第29頁/10/1030第30頁第30頁定理5：/10/1031第31頁第31頁闡明：由此可見解析函數展開成冪級數結果就是泰勒級數，即展開式是唯一 /10/1032第32頁第32頁一、利用直接法將函數展開成冪級數 例1解：/10/1033第33頁第33頁二、利用間接展開法將函數展開成冪級數 借

6、助于已知函數展開式，利用冪級數運算性質和分析性質，以唯一性為理論依據得到函數泰勒展開式 /10/1034第34頁第34頁例2解：例3解：/10/1035第35頁第35頁例4解：例4/10/1036第36頁第36頁三、將函數展成冪級數 例5解：/10/1037第37頁第37頁例6解：/10/1038第38頁第38頁例7解：/10/1039第39頁第39頁第四節 洛朗級數 /10/1040第40頁第40頁/10/1041第41頁第41頁/10/1042第42頁第42頁/10/1043第43頁第43頁一、直接展開法 定理6（洛朗定理）證實：證實：/10/1044第44頁第44頁/10/1045第45頁第45頁/10/1046第46頁第46頁/10/1047第47頁第47頁/10/1048第48頁第48頁例1解：-直接展開法/10/1049第49頁第49頁證實：/10/1050第50頁第50頁二、間接展開法 依據由正、負整次冪項構成級數唯一性，可通過代數運算、變量代換、函數求導、積分等辦法將函數展開，這種辦法稱