1、 第三章 導數與微分第1頁第1頁第三章 導數與微分第一節 導數概念第二節 求導法則第三節 反函數、復合函數、隱函數導數第四節 導數公式第五節 高階導數第六節 微分第七節 導數在經濟上簡樸應用第2頁第2頁1.理解導數概念及可導性與連續性之間關系，2.掌握基本初等函數導數公式、導數四則運算導數，會求反函數與隱函數導數.法則及復合函數求導法則，會求分段函數理解導數幾何意義與經濟意義（含邊際與彈性概念），會求平面曲線切線方程和法線方程. 3.理解高階導數概念，會求簡樸函數高階導數.4.理解微分概念，導數與微分之間關系以及一階微分形式不變性，會求函數微分.本章基本要求第3頁第3頁本章重點、難點重點：導數

2、與微分計算.難點：分段函數分界點處可導性討論、隱函數求導.第4頁第4頁第一節 導數概念一、引出導數概念例子1、變速直線運動速度已知求解(1)(2)(3)第5頁第5頁2、平面曲線切線斜率切線割線第6頁第6頁2、平面曲線切線斜率解第7頁第7頁二、導數定義定義3.1設函數有定義,在點某鄰域內對自變量在點處任一改變量函數相應改變量為假如極限存在,則稱函數在點點處可導(或導數存在).并稱此極限值為可導點,為在點處導數(或微商).第8頁第8頁注(1)記號(2)、(3)求導三步曲:第9頁第9頁例1 求函數 y=x2 在點 x = 3 處導數.解第10頁第10頁討論導數另一定義形式第11頁第11頁定義3.1設

3、函數在點某鄰域內有定義,假如極限存在,(第二定義)則稱函數在點點可導(或導數存在).并稱此極限值為可導點,為在點導數(或微商).第一個定義做證實題以便,第二個定義討論分段函數分界點處導數以便.第12頁第12頁三、導數幾何意義幾何意義是:處切線方程為:曲線在點處切線斜率.曲線在點例2 求曲線 y=x2 在點 (3,9) 處切線方程.解因此所求切線方程為即函數在點導數第13頁第13頁處法線方程為:曲線在點例2 求曲線 y=x2 在點 (3,9) 處法線方程.解因此所求法線方程為即第14頁第14頁四、左導數和右導數定義3.2假如極限值為存在,在點處右導數,記作則稱此極限假如極限值為存在,在點處左導數

4、,記作則稱此極限第15頁第15頁假如極限值為存在,在點處右導數,記作則稱此極限假如極限值為存在,在點處左導數,記作則稱此極限定義3.2注 第16頁第16頁例 3 討論函數在解故不存在.處可導性.第17頁第17頁分段函數求分界點處導數時注意(1)用定義(2)普通分左右導數(3)假如分界點左右兩邊函數表示式同樣,則不分左右導數.(4)求左右導數時,函數值固定不變.第18頁第18頁五、可導與連續關系因此由 可得假如函數 y = f (x) 在點處可導,則它在點 x0 處一定連續.由于函數 y = f (x) 在點 x0 處可導,故連續.定理3.1證第19頁第19頁1. 可導必連續2. 連續不一定可導

5、3. 不連續一定不可導4. 不可導不一定不連續第20頁第20頁例4 討論函數在點 x = 0 及 x = 1處連續性與可導性.解 在點 x = 0 處連續性故 不連續,從而不可導.三者不等第21頁第21頁在點 x = 1 處可導性故函數可導,從而連續.第22頁第22頁例5已知求使得函數在點可導.解因此第23頁第23頁六、導函數定義稱為函數 y=f (x) 在開區間 (a,b) 內對 x 假如函數在某區間(a,b)內每一點 x 處都可導，則稱 f (x) 在區間(a,b)內可導.導函數,簡稱為導數.第24頁第24頁(1) 記號:(2)(3)求導函數三步曲:、第25頁第25頁例6求導函數.解第26頁第26頁例7求導函數.解第27頁第27頁例