1、數(shù)學(xué)物理方程Equations of Mathematical Physics第1頁(yè)第1頁(yè)序言典型二階線性偏微分方程有三種：波動(dòng)方程；熱傳導(dǎo)方程；位勢(shì)方程。第2頁(yè)第2頁(yè)完整地處理數(shù)學(xué)物理方程包括三個(gè)方面內(nèi)容：將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上定解問題；求解定解問題；對(duì)得到解作出物理解釋。第3頁(yè)第3頁(yè) 波動(dòng)方程解法行波法 適合用于無界波動(dòng)方程初值(Cauchy)問題# ；分離變量法（涉及固有值問題和特殊函數(shù)） 適合用于有界波動(dòng)方程初值邊值問題；傅氏變換法 適合用于無界波動(dòng)方程初值(Cauchy)問題；拉氏變換法 適合用于半無界波動(dòng)方程初值邊值問題；基本解辦法 適合用于無界波動(dòng)方程初值(Cauchy)問題。

2、第4頁(yè)第4頁(yè) 熱傳導(dǎo)方程解法分離變量法 適合用于有界熱傳導(dǎo)方程初值邊值問題；傅氏變換法 適合用于無界熱傳導(dǎo)方程初值(Cauchy)問題；拉氏變換法 適合用于半無界熱傳導(dǎo)方程初值邊值問題；基本解辦法 適合用于無界熱傳導(dǎo)方程初值(Cauchy)問題；第5頁(yè)第5頁(yè) 位勢(shì)方程解法分離變量法 適合用于有界位勢(shì)方程邊值問題；傅氏變換法 適合用于半無界高維位勢(shì)方程邊值問題；格林函數(shù)法 適合用于一些規(guī)則區(qū)域位勢(shì)方程邊值問題。第6頁(yè)第6頁(yè) 學(xué)時(shí)安排方程概論 (6學(xué)時(shí))分離變量 (4學(xué)時(shí))特殊函數(shù) (8學(xué)時(shí))積分變換 (4學(xué)時(shí))格林函數(shù) (6學(xué)時(shí))數(shù)值計(jì)算 (8學(xué)時(shí))簡(jiǎn)介性專項(xiàng) (4學(xué)時(shí))第7頁(yè)第7頁(yè) 數(shù)值解法第

3、六章討論數(shù)理方程數(shù)值解法。在第一節(jié)，給出了固有值問題和特殊函數(shù)計(jì)算辦法；在第二節(jié)研究了一維拋物線型方程計(jì)算辦法；第三節(jié)討論了二維橢圓型方程、拋物線型方程以及雙曲線型方程計(jì)算辦法，包括前處理和后處理問題。第8頁(yè)第8頁(yè)單位圓域內(nèi)調(diào)和方程邊值問題 第9頁(yè)第9頁(yè)帶孔矩形板熱傳導(dǎo)方程初邊值問題 第10頁(yè)第10頁(yè)圓形薄膜震動(dòng)問題初始位移 u = J0(01r) 第11頁(yè)第11頁(yè)零階貝塞爾函數(shù)J0(x)第12頁(yè)第12頁(yè)第一章 方程概論1.1 基本概念偏微分方程普通形式中包括多元未知函數(shù)u(x1,x2, ,xn)及其若干階偏導(dǎo)數(shù)偏微分方程中能夠不含未知函數(shù)u，但必須含有未知函數(shù)u偏導(dǎo)數(shù)。(1)第13頁(yè)第13頁(yè)

4、 舉例第14頁(yè)第14頁(yè) 線性偏微分方程未知函數(shù)u及各階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)都是一次，系數(shù)僅依賴于自變量，則方程稱之為線性偏微分方程。第15頁(yè)第15頁(yè) 非線性偏微分方程不然稱之為非線性偏微分方程。第16頁(yè)第16頁(yè) 擬線性偏微分方程在非線性偏微分方程中，假如關(guān)于未知函數(shù)最高階偏導(dǎo)數(shù)是線性，則稱之為擬線性偏微分方程。第17頁(yè)第17頁(yè) 偏微分方程階數(shù)偏微分方程階數(shù)等于未知函數(shù)最高偏導(dǎo)數(shù)階數(shù)。第18頁(yè)第18頁(yè)1.2 典型方程導(dǎo)出導(dǎo)出典型方程辦法有兩種：守恒方程變分原理本節(jié)利用第一個(gè)辦法導(dǎo)出三種典型方程。第19頁(yè)第19頁(yè)波動(dòng)方程桿縱向振動(dòng)方程可由桿力學(xué)基本方程導(dǎo)出。對(duì)于均勻直桿，有縱向運(yùn)動(dòng)方程物理方程幾何方程第20頁(yè)

5、第20頁(yè)此式稱為桿縱向振動(dòng)方程。依次將物理方程和幾何方程代入運(yùn)動(dòng)方程，可得記則有第21頁(yè)第21頁(yè)弦力學(xué)基本方程為縱向運(yùn)動(dòng)方程橫向運(yùn)動(dòng)方程第22頁(yè)第22頁(yè)此式稱為弦橫向振動(dòng)方程。弦張力T為常數(shù)，橫向運(yùn)動(dòng)方程可寫成 記則有第23頁(yè)第23頁(yè)在連續(xù)介質(zhì)熱傳導(dǎo)問題中，基本物理定律有兩個(gè)：熱傳導(dǎo)定律和能量守恒定律。對(duì)于各向同性物體熱傳導(dǎo)問題，依據(jù)熱傳導(dǎo)定律可知，熱量由溫度高處流向溫度低處，單位時(shí)間內(nèi)通過單位面積熱流密度向量與溫度負(fù)梯度成正比或其中 q 為熱流密度向量， k 為熱傳導(dǎo)率，u 為溫度。 熱傳導(dǎo)方程和擴(kuò)散方程第24頁(yè)第24頁(yè)考慮任意閉合曲面所圍物質(zhì)體V，利用能量守恒定律可得 其中 c , 分別為

6、物體比熱和密度，等式左端項(xiàng)代表物質(zhì)體總熱量改變率, 右端第一項(xiàng)代表單位時(shí)間內(nèi)熱源產(chǎn)生總熱量，第二項(xiàng)代表單位時(shí)間內(nèi)通過物質(zhì)體表面總熱量，流入物體內(nèi)部為正，流出為負(fù)。對(duì)于固體，上式微分形式可寫成第25頁(yè)第25頁(yè)對(duì)于流體，熱傳導(dǎo)方程微分形式可寫成其中vi為流體速度。第26頁(yè)第26頁(yè)設(shè)水源中污染物濃度為c, 將污染物濃度擴(kuò)散問題與流體熱傳導(dǎo)問題相類比，可得污染物濃度偏微分方程其中vi為水源流速；Di為污染物擴(kuò)散速率；Q為污染源。第27頁(yè)第27頁(yè)泊松方程利用靜電場(chǎng)電位問題導(dǎo)出泊松方程。依據(jù)靜電學(xué)中電通量方程，有其中E為電場(chǎng)強(qiáng)度，為電荷密度。利用電場(chǎng)強(qiáng)度與電位關(guān)系，E = -u，方程可寫成第28頁(yè)第28頁(yè)

7、關(guān)于方程左邊利用高斯公式，曲面積分可寫成三維區(qū)域積分第29頁(yè)第29頁(yè)由積分區(qū)域V 任意性，最后導(dǎo)出電位所滿足三維泊松方程。若電荷密度為零，則得到電位所滿足三維拉普拉斯方程。第30頁(yè)第30頁(yè)1.3 定解條件與定解問題前面導(dǎo)出了一些典型偏微分方程。本節(jié)討論與之相關(guān)問題。首先什么是偏微分方程解？第31頁(yè)第31頁(yè)1.3.1 通解和特解假如函數(shù) u 及其導(dǎo)數(shù)能夠滿足偏微分方程，則稱函數(shù) u 為該方程解。第32頁(yè)第32頁(yè)例 1 方程通解求解二階偏微分方程。第33頁(yè)第33頁(yè)設(shè)化為解則原方程將 v 看作 t 函數(shù)，x 作為參數(shù)。第34頁(yè)第34頁(yè)解得兩邊對(duì) x 積分得其中 h(x),g(t) 是兩個(gè)任意一次可微

8、函數(shù)。第35頁(yè)第35頁(yè)此二階偏微分方程解，代表解函數(shù)空間（因含兩個(gè)任意函數(shù)），范圍很大，稱之為通解；若能擬定通解中任意函數(shù)，通解就變?yōu)榱颂亟猓亟庵胁缓我夂瘮?shù)或任意常數(shù)；僅有少數(shù)簡(jiǎn)樸偏微分方程能夠通過類似常微分辦法得到通解，如本例。普通而言，偏微分方程通解很復(fù)雜、也很難得到。第36頁(yè)第36頁(yè)例 2 方程特解試證實(shí)除點(diǎn)(x0,y0)外，函數(shù)滿足二維Laplace方程其中Laplace算子為標(biāo)量算子。第37頁(yè)第37頁(yè)設(shè)證得可得同理證實(shí)第38頁(yè)第38頁(yè)1.3.2 定解條件由物理定律導(dǎo)出偏微分方程稱之為泛定方程，這是 由于，要擬定完全一個(gè)真實(shí)物理問題還需附加一些定解條件。定解條件又分為初始條件和邊界

9、條件兩種。第39頁(yè)第39頁(yè)初始條件初始條件又稱為Cauchy條件。初始條件與微分方程中所含對(duì)時(shí)間偏導(dǎo)最高階數(shù)相聯(lián)系。初始位移初始速度波動(dòng)方程含有對(duì)時(shí)間二階偏導(dǎo)數(shù)，初始條件包括第40頁(yè)第40頁(yè)熱傳導(dǎo)方程含有對(duì)時(shí)間一階偏導(dǎo)數(shù)，初始條件是指初始溫度在位勢(shì)方程中，未知函數(shù)與時(shí)間無關(guān)，因此沒有初始條件。第41頁(yè)第41頁(yè)邊界條件邊界條件與微分方程中所含對(duì)坐標(biāo)偏導(dǎo)最高階數(shù)相聯(lián)系。典型方程中含有對(duì)坐標(biāo)二階偏導(dǎo)數(shù)，邊界條件可分為三種類型：第一類邊界條件(Dirichlet條件)第一類邊界條件是給出未知函數(shù)u在邊界S上取值，其普通形式為其中f1為已知函數(shù)。第42頁(yè)第42頁(yè)其中f2為已知函數(shù)。第三類邊界條件(Rob

10、in條件)第三類邊界條件能夠看作是前兩種邊界條件線性組合，其普通形式為其中是常數(shù)，f3為已知函數(shù)。第二類邊界條件(Neumenn條件)第二類邊界條件是給出未知函數(shù)u沿邊界S單位法線方向n方向?qū)?shù)值，其普通形式為第43頁(yè)第43頁(yè)1.3.3 定解問題偏微分方程加上對(duì)應(yīng)定解條件所組成問題，稱為定解問題。依據(jù)定解條件不同對(duì)定解問題進(jìn)行分類。第44頁(yè)第44頁(yè)初值問題由泛定方程和初始條件構(gòu)成定解問題稱為初值問題(Cauchy問題) 。比如：一維齊次波動(dòng)方程初值問題第45頁(yè)第45頁(yè)一維無界桿熱傳導(dǎo)方程初值問題第46頁(yè)第46頁(yè)泛定方程與邊界條件構(gòu)成定解問題稱為邊值問題。位勢(shì)方程邊值問題可分為三種。 第一邊值問

11、題位勢(shì)方程與第一類邊界條件構(gòu)成定解問題成為第一邊值問題，也稱為Dirichlet問題。比如三維泊松方程第一邊值問題#邊值問題第47頁(yè)第47頁(yè) 第二邊值問題位勢(shì)方程與第二類邊界條件構(gòu)成定解問題成為第二邊值問題，也稱為Neumenn問題。比如三維泊松方程第二邊值問題第48頁(yè)第48頁(yè) 第三邊值問題位勢(shì)方程與第三邊界條件構(gòu)成定解問題成為第三邊值問題，也稱為Robin問題。比如三維泊松方程第三邊值問題第49頁(yè)第49頁(yè)既有初值條件又有邊界條件定解問題稱為稱為初值邊值問題或混合問題，如有界弦自由振動(dòng)初值邊值問題初值邊值問題第50頁(yè)第50頁(yè)1.3.4 適定性概念判斷一個(gè)定解問題是否合理，是否能夠描述一個(gè)給定物

12、理狀態(tài)，普通有三個(gè)原則：解存在性 所給定解問題有解；解唯一性 所給定解問題只有一個(gè)解；解穩(wěn)定性 當(dāng)定解條件以及方程中系數(shù)有微小變動(dòng)時(shí)，相應(yīng)解也只有微小變動(dòng)。解穩(wěn)定性也稱為解關(guān)于參數(shù)連續(xù)依賴性。假如定解問題解存在、唯一且穩(wěn)定，就稱這個(gè)定解問題是適定。第51頁(yè)第51頁(yè)1.4 含有兩個(gè)自變量二階線性偏微分方程分類1.4.1 方程分類第52頁(yè)第52頁(yè)雙自變量二階線性偏微分方程普通形式為其中u(x,y)是未知函數(shù)，a11,a12,a22,b1,b2,c,f 都是x,y已知函數(shù)，而且含有足夠連續(xù)性和可微性，且a11,a12,a22不同時(shí)零。方程普通形式第53頁(yè)第53頁(yè)雙自變量二階線性偏微分方程分類。定義判

13、別式依據(jù)在某點(diǎn)(x0,y0)處，系數(shù)判別式符號(hào)三種也許，將二階線性偏微分方程分成三類：雙曲型方程 0拋物型方程 = 0 橢圓型方程 0時(shí)，以,為新變量可得雙曲型方程第一原則形式第57頁(yè)第57頁(yè)原微分方程可化為橢圓型方程原則形式(2) 當(dāng)0時(shí)，方程為雙曲型方程，將特性方程第61頁(yè)第61頁(yè)積分后得兩族特性線取新變量,為分解為兩個(gè)特性線方程 計(jì)算可得第62頁(yè)第62頁(yè)詳細(xì)地計(jì)算函數(shù)微分：第63頁(yè)第63頁(yè)方程化為雙曲型方程第一原則形式即微分計(jì)算結(jié)果及原方程：第64頁(yè)第64頁(yè)(2) 當(dāng)=-y at第80頁(yè)第80頁(yè)驗(yàn)證端點(diǎn)固定條件。當(dāng) x=0 時(shí)，由上述公式有滿足端點(diǎn)固定條件，即初始條件決定左行波與端點(diǎn)反射

14、右行波作用在此抵消。第81頁(yè)第81頁(yè)考慮區(qū)域（ x-at0 ），由達(dá)朗貝爾公式可得公式表明，解析解不受端點(diǎn)反射波影響。第82頁(yè)第82頁(yè)端點(diǎn)自由半無界弦振動(dòng)問題初值問題(A)為了利用無界問題研究結(jié)果，設(shè)計(jì)一個(gè)右半端保持原狀態(tài)無界問題，使其初始條件對(duì)稱于坐標(biāo)原點(diǎn)。f( x ) = f( -x )第83頁(yè)第83頁(yè)(B)在反射區(qū)（ x0，x-at0 ），由達(dá)朗貝爾公式可得第84頁(yè)第84頁(yè)驗(yàn)證端點(diǎn)自由條件。 計(jì)算上述公式梯度滿足端點(diǎn)自由條件。當(dāng) x=0 時(shí)第85頁(yè)第85頁(yè)在區(qū)域（ x-at0）內(nèi)，由達(dá)朗貝爾公式可得公式表明，方程解不受端點(diǎn)反射波影響。第86頁(yè)第86頁(yè)1.6 疊加原理和齊次化原理在線性物理

15、方程和線性定解條件中，非齊次項(xiàng)作用類似于力疊加，所有非齊次項(xiàng)作用結(jié)果等于每個(gè)非齊次項(xiàng)單獨(dú)作用結(jié)果總和，因此解析解結(jié)構(gòu)也是線性。第87頁(yè)第87頁(yè)1.6.1 疊加原理考慮二階線性偏微分方程其中aij,bi,c,f是自變量x1,x2, ,xn連續(xù)函數(shù)，且方程定解條件也是線性，則關(guān)于微分方程解有下列疊加原理：第88頁(yè)第88頁(yè)滿足原方程則它們?nèi)我饩€性組合設(shè)基函數(shù)un滿足方程第89頁(yè)第89頁(yè)當(dāng) m 趨于無窮時(shí)，要求級(jí)數(shù)都收斂，且級(jí)數(shù)解 u 可逐項(xiàng)求導(dǎo)兩次，則 u 滿足原方程第90頁(yè)第90頁(yè)思考如何考慮定解條件?第91頁(yè)第91頁(yè)例 5依據(jù)疊加原理，能夠?qū)⒁粋€(gè)較為復(fù)雜線性問題等價(jià)地分解成若干個(gè)簡(jiǎn)樸線性問題。圓

16、域內(nèi)泊松方程第一邊值問題試將該問題等價(jià)地分解成兩個(gè)簡(jiǎn)樸邊值問題，并求解析解。第92頁(yè)第92頁(yè)解設(shè) u=v+w，其中v,w分別滿足非齊次方程和齊次方程邊值問題設(shè) v,w 表示式分別為第93頁(yè)第93頁(yè)可得以及解得第94頁(yè)第94頁(yè)1.6.2 齊次化原理設(shè) L 是關(guān)于 t 和 x 線性微分算子，其中關(guān)于 t 最高解導(dǎo)數(shù)不超出 m-1 階，若函數(shù) w(x,t;) 滿足齊次方程則函數(shù)滿足非齊次方程初值問題第95頁(yè)第95頁(yè)設(shè) L 是關(guān)于 t 和 x 線性微分算子，其中關(guān)于 t 最高解導(dǎo)數(shù)不超出 m-1 階，若函數(shù) w(x,t;) 滿足齊次方程則函數(shù)滿足非齊次方程初值問題初值邊值問題齊次化原理第96頁(yè)第96頁(yè)例 6齊次化原理應(yīng)用。（1）試求解一維非齊次波動(dòng)方程齊次初值問題（2）驗(yàn)證所得結(jié)果滿足齊次初始條件。（3）依據(jù)疊加原理，寫出一維非齊次波動(dòng)方程非齊次初值問題達(dá)朗貝爾公式。第97頁(yè)第97頁(yè)解（1）首先求解下述問題依據(jù)達(dá)朗貝爾公式（或行波法