1、小學“代數初步”問題研究姚安縣長壽小學 於仕萍第1頁第1頁一、小學代數知識內容及課程原則要求二、小學數學代數部分教材編排特點分析。 三 、小學數學代數知識教學內容分析四、 代數知識教學迷惑。第2頁第2頁一、小學代數知識內容及課程原則要求：1.小學代數初步知識內容有：式與方程： 用字母表示數： 用字母表示運算定律，表示計算公式，表示數量關系 簡易方程： 方程，方程解，解方程比和百分比 意義和性質，求比值，化簡比，百分比尺，正反百分比，解百分比處理問題 第3頁第3頁2.課標對代數初步知識要求 第一學段：沒有提出詳細要求第二學段：明確提出要求 式與方程 要求：1在詳細情境中能用字母表示數。2結合簡樸

2、實際情境，理解等量關系，并能用字母表示。3. 能用方程表示簡樸情境中檔量關系（如3x+25，2x-x3） 理解方程作用。4理解等式性質，能用等式性質解簡樸方程。第4頁第4頁比和百分比要求1在實際情境中理解比及按百分比分派含義， 并能處理簡樸問題。2通過詳細情境，結識成正百分比量和成反百分比量。3會依據給出有正百分比關系數據在方格紙上畫圖， 并會依據其 中一個量值預計另一個量值。4能找出生活中成正百分比和成反百分比關系量實例， 并進行交流。第5頁第5頁課程原則對代數初步知識要求改變 數與代數改變 第一學段: 在內容結構上沒有改變。沒有出當代數初步知識詳細內容 第二學段：增長“結合簡樸實際情境，理

3、解等量關系，并能用字母表示”。 調整內容： 1. 將“理解等式性質”，改為“理解等式性質” 2. 將“會用等式性質解簡樸方程(如3x+25，2x-x3)”， 改為“能解簡樸方程(如3x+25，2x-x3)”。 3.使一些目的表述愈加準確和完整。比如將“會用方程表示 簡樸情境中檔量關系”，改為“能用方程表示簡樸情境中檔量關系， 理解方程作用”。 第6頁第6頁原課標： “符號感”主要表現在：能從詳細情境中抽象出數量關系和改變規律，并用符號來表示；理解符號所代表數量關系和改變規律；會進行符號間轉換；能選擇適當程序和辦法處理用符號所表示問題。”修改稿： “符號意識”主要是指能夠理解并且利用符號表示數、

4、數量關系和改變規律；知道使用符號能夠進行普通性運算和推理。建立符號意識有助于學生理解符號使用是數學表示和進行數學思考主要形式。 “意識”有兩個意思：第一，用符號能夠進行運算，能夠進行推理；第二，用符號進行運算和推理得到結果含有普通性。 第7頁第7頁二、小學數學代數初步知識 教材編排特點分析人教版小學數學代數部分教材編排分三個階段 一、前期滲入、孕伏階段 ( 14 年級 ) 二、集中生發、形成、發展、應用階段（5上）三、后期拓展、應用階段（5下6下）第8頁第8頁一、前期滲入、孕伏階段 ( 14 年級 )一上教材第70頁填未知加數是結合10加減法安排。教材第70頁上插圖：盒子里能放10枝圓珠筆，已

5、經放了7枝，還要放幾枝才干裝滿。讓學生明確圖意列出算式：7+（ ）=10，明白括號表示一個數。初步孕伏方程思想。第9頁第9頁一年下冊：體會加法、減法之間關系同時，初步孕伏方程思想。第10頁第10頁重點是讓學生明確符合要求數有多個，即答案多樣性，（ ）不是某個特定數，為以后學習代數知識打下了基礎。第11頁第11頁二年級下冊89頁：這是在學生學習了表內乘法以后第一次出現填最值練習，為以后學習用豎式計算除法作些準備。它采用變式讓學生靈活應用乘法口訣尋找答案，使學生明確在括號里只能填一個符合題意最大整數，同時滲入一點“最值”思想。第12頁第12頁二下教材第22頁 練習四思考題：這是第一次出現用或表示加

6、數。初步滲入符感。 第13頁第13頁二下冊：這題是用乘法口訣求積、求商變式練習。通過這個練習，首先提升學生應用口訣進行計算純熟程度，另首先孕伏方程思想。如，4=36，式中“”就是要求未知數，將它用一個字母代替，就變成了一個方程，使學生詳細地、早期地感受方程思 想。第14頁第14頁 三上教材：是培養學生初步符號感。 第15頁第15頁 三上教材：用 表示橫、豎式中數，培養學生初步符號感。 第16頁第16頁三年級上冊：53頁練習十二第三題這樣題型是第二次出現，這種練習有助于學生掌握除法試商辦法。同時滲入一點“最值”想。第17頁第17頁三年級下冊：這道題目是比較抽象等量代換練習，事實上是二元、三元一次

7、方程組一個直觀表示法，為以后學習簡樸代數知識做準備。第18頁第18頁四下教材第三單元用字母表示加法乘法五大運算定律：加法互換律:a+b=b+a加法結合律:(a+b)+c=a+(b+c)乘法互換律:axb=bxa乘法結合律:(axb)xc=ax(bxc)乘法分派律:(a+b)xc=axc+bxc 初次用字母表示定律，引導學生體會用字母表示定律比較簡練，能夠幫助記憶，為以后進一步學習用字母表示數打下知識基礎。第19頁第19頁從上面解讀中我們不難發覺，除了四年級下冊出現用字母表示定律外，其它1-3年級都是用（ ）、 等表示數，都是零碎在練習中穿插進行，沒有系統教學，這稱之為滲入、孕伏階段。第20頁第

8、20頁二、集中生發、形成、發展、應用階段 5年級上冊教材第四單元簡易方程小學階段正式教學代數初步知識 本單元內容分為兩節：第一節主要內容：用字母表示數、表示運算定律、計算公式和數量關系 第二節主要內容是方程意義，等式基本性質和解簡易方程，以及列方程處理一些比較簡樸實際問題。第21頁第21頁第一節：用字母表示數共安排了4個例題 ：例1用字母表示數例2：用字母表示運算定律；例3：用字母表示計算公式；例4：用字母表示數量關系； 第二節內容安培分為三個層次， 先結識方程意義，等式性質1，性質2； 再學習解方程，包括方程解，設置4個例題； 例1：解形如xa=b方程 ； 例2：解形如ax=b或xa=b ；

9、 例3：列方程解加減計算問題 ； 例4：列方程解乘除計算問題解方程。第22頁第22頁最后學習稍復雜方程例1： 解方程axb=c及其應用 例2：解方程axbcd及其應用 例3： 解方程axbxc 及其應用 第23頁第23頁教材這樣安排，在小學數學知識結構中地位和作用：一、是有助于培養學生抽象概括能力，發展學生思維靈活性。 從詳細事物數抽象出字母表示可變，抽象數是結識上一個奔騰用字母表示數到列方程處理問題又是數學思想辦法結識上一次奔騰 二、是有助于鞏固和加深理解所學算術知識 三、是有助于加強中小學數學銜接。 引入等式基本性質或方程同解原理，然后 重新學習依據等式基本性質或方程同解原 理解方程，有助

10、于加強中小學數學教學銜接。第24頁第24頁三、后期拓展、應用階段（5下6下） .五下教材用字母表示長方體正方體體積計算V=abhVaaa=a3Vsh 在學習用字母表示數基礎上，引導學生自覺用字母表示計算公式，是對新知識高度概括，也是用字母表示數知識應用。第25頁第25頁六上教材用字母表示圓周長面積計算公式：c= d 或 c=2rS=r2 引導學生自覺用字母表示計算公式，是對新知識高度概括，也是用字母表示數知識應用 用方程處理分數除法問題，用方程解雞兔同籠問題，是在學生已經學習了列方程處理實際問題以及利用分數乘法處理一些實際問題基礎上進行教學，是方程知識拓展應用 。第26頁第26頁 用字母表示正

11、百分比意義，是對新知識高度概括，也是用字母表示數知識應用 。第27頁第27頁用字母表示反百分比意義用字母表示數知識應用。第28頁第28頁第29頁第29頁第30頁第30頁 像解百分比，用方程求實際距離，百分比應用題等利用轉化思想將含有未知數百分比式轉化為方程，利用解方程辦法解題。 利用正反百分比關系解答比較簡易應用題。這些其實就是方程處理問題拓展應用。第31頁第31頁三、小學代數知識初步教學內容分析一、五年級上冊第四單元簡易方程教學分析：教學目的： 1、初步結識用字母表示數意義和作用，能夠用字母表示學過運算定律和計算公式，能夠在詳細情境中用字母表示常見數量關系。初步學會依據字母所取值，求含有字母

12、式子值。 2、初步理解方程意義，初步理解等式基本性質，能用等式性質解簡易方程。 3、感受數學與現實生活聯系，初步學會列方程處理一些簡樸實際問題。 第32頁第32頁 教學重點難點： 重點是解方程與列方程處理實際問題。 列方程處理問題又是教學一個難點， 難點一是思維方式發生了改變，難點 二是找相等關系。第33頁第33頁例1（用字母表示某個詳細數）通過復習以前所學知識，鞏固用符號、字母表示某個詳細、特定數，滲入求未知數思想，從符號表示逐步過渡到字母表示，并引出例2。第34頁第34頁例2（用字母表示運算定律）（1）使學生結識用字母表示運算定律簡明性、優越性，一是能夠表示普通規律，二是敘述以便。在這兒，

13、字母不止表示一個特定數，而是表示普通數（2）兩字母相乘表示法（3）教材上只給出乘法互換律表示法，要求學生自己寫出其它定律。 “你知道嗎？”簡介單位名稱字母表示法，此后教材中單位名稱普通用字母表示。第35頁第35頁例3（用字母表示面積和周長計算公式）（1）兩個過程：用公式表示面積、周長公式是一個普通化過程（詳細到象），而依據公式計算某一詳細圖形面積和周長則是一個特殊化過程（代入求值）。代入求值在這兒要多加訓練，后面解方程驗算就是一個代入求值過程。（2）平方表示，數與字母相乘表示。第36頁第36頁例4（代數式）（1）用一個代數式能夠表示兩個含義：數量、數量關系。如a30能夠表示父親年齡，也能夠表示

14、父親與小紅年齡之間關系。（2）通過歸納法，從詳細到普通，得出代數式表示法，滲入函數思想，第1小題是加減法數量關系，第2小題是乘除法關系。（3）滲入函數中自變量取值范圍（定義域 )第37頁第37頁解簡易方程1.方程意義（1）通過用天平稱量物體活動引出方程概念，與后面利用天平原理解方程相一致。（2）前面已有了列代數式基礎，因此天平左邊代數式學生比較容易列出來。（3）通過兩邊物體輕重直觀比較引出不等式及方程。（4）依據方程概念自己寫一些方程，范圍可以很廣，能夠包括多元方程，只要符合方程定義即可。第38頁第38頁第39頁第39頁天平原理（等式性質）（1） 利用直觀形式使學生理解天平平衡兩條原理（在方程

15、中相稱于作同解變換）：天平保持平衡原理1：兩邊同時加上或減去相同數，左右兩邊仍然相等；天平保持平衡道理2：兩邊同時乘上或除以相同數（0除外），左右兩邊仍然相等。（2）其中第二、四個圖蘊含理解方程思緒即天平左邊只留下一個物體，在解方程時，最后目的是使方程左邊只剩余未知數）。 第40頁第40頁 方程解和解方程概念（1）利用前面天平平衡素材直接給出現成方程，因此不包括到怎樣列方程。（2）利用已經有知識，經過四種不同方法求出未知數值，其中一個方法就是后面要學到普通解方程方法。再給出方程解和解方程等概念。 第41頁第41頁 解基本方程 例1：（x+a=b）（1）情境相對簡樸，利用直觀即很容易列出方程，因

16、此重點不是列方程而是解程。（2）天平原理直觀演示與抽象:方程解法相相應。（3）重點突出“為何要減3”這一問題，目的是使方程一邊只剩余未知數。（4）驗算。就是前面所學代入求值過程 。第42頁第42頁例2（ax=b）（1）詳細過程同例1。天平原理直觀演示與抽象方程解法相相應。“除以幾”要求學生依據直觀圖自行摸索。（2）xa=b、xa=b這兩種類型解法要求學生利用所學知識進行遷移類推，不出專門例題，在“做一做”中出現。（3）方程普通性方法、環節也要求學生自行總結。 第43頁第43頁例3（列方程處理形如xa=b問題）（1）結合現實情境“洪澤湖蔣壩 水位超出警戒水位”。（2）先給出算術解法，但在用 算術

17、辦法解答時實際已經把“今 天水位超出警戒水位0.64米”轉 化成了“警戒水位比今天水位低 0.64米”，就是所謂逆思考。（3）列方程處理問題時由于 未知數是參與運算，因此 第一步要把未知數設成一個 “假設已知數”。（4）第二步，依據題目中 信息敘述方式，通過順向 思考列出數量關系。由于是 剛接觸方程，列出文字性 數量關系對于學生正確地列 出方程是很主要。（5）依據數量關系列出方程（此時數量關系中每一部分都是作為“已知數”參與運算），解方程和驗算過程在這兒不是重點，可讓學生獨立完畢。 第44頁第44頁例4（列方程處理形如ax=b或xa=b問題）（1）基本過程同例3，可更多地讓學生自主探究，列方程

18、過程中要注意單位統一。第一步要把未知數設成一個“假設已知數”。第二步，依據題目中信息敘述方式，通過順向思考列出數量關系。依據數量關系列出方程。（2）滲入環境保護教育。第45頁第45頁例1（列方程處理形如axb=c問題）（1）結合現實素材引入，這種問題用算術方法處理思考起來比較麻煩。列方程解就顯得較容易。重點是列方程，解方程。（2）能夠列出不同方程，如2x20=4，2x4=20，關鍵是使學生了解數量關系。（3）解方程過程其實是由解若干基本方程組成（y-20=4，2x=24），需要強調把2x當作一個整 第46頁第46頁例2（列方程處理 形如axab=c問題）（1）依據不同思緒 列出不同數量關系，

19、進而列出不同方程。 2x2.8210.4， （2.8x）210.4（2）兩個方程之間有 內在聯絡， 從2x2.8210.4到（2.8x）210.4實 際是利用了初中“ 合并同類項”，而從后者到前者實際是“去括號” 過程。（3）在解法上第一個 解法只是在例1基礎上多了一步，可自行處理。（4）第二種解法重點 第47頁第47頁（列方程解形如axbx=c問題）（1）這類問題稱為“和差、和倍、 差倍問題”，用算術方法解比較難。（2）有兩個未知數，不過兩個未知 數之間存在和差關系或倍數關系， 因此其中一個未知數能夠用另一個 未知數形式來表示，因此用方程 解就顯得比較簡樸。（3）重點是設誰是x，普通為了 解

20、方程方便，設倍數關系中 單位量為x。當然，也可任意設， 只是解答起來比較困難。教課時， 可能有學生海洋面積為x億平方 千米，列出方程是 xx2.45.1，只是解方程 方法超出學生接受范圍， 教師適當引導即可。（4）解方程過程就是一個乘法 分 配 律進行合并同類項過程。（5）求海洋面積時能夠依據不同數量關系用不同方法求（地球總面積陸地面積、陸地面積2.4倍 第48頁第48頁新課標教材對于解方程這部分內容與原教材相比有下列改進：（1）用字母表示數教材編排更貼近學生認知特點 （2）以等式基本性質為基礎，而不是依據逆運算關系解方程。（3）調整簡易方程內容，突顯利用等式基本性質解方程優勢。（4）解方程與

21、處理實際問題教學有機整合。第49頁第49頁二、六年級上冊比結識內容分析比結識和應用安排在六年級上冊第三單元分數除法最后一節學習第50頁第50頁 老式算術教材在講比意義時，只強調比一個情況，即兩個同類量倍數關系 。 現在小學數學教材， 既講同類量比，又 講不同類量比（必須 相關聯）。 第51頁第51頁 比讀、寫及比各部分名稱，并計算出其中一個比比值，闡明“比值通常用分數表示”。然后根據分數與除法關系，闡明比也可以寫成分數形式。最后，由小精靈提出問題，引導學生聯系比與除法、分數關系，同時思考比后項可不可認為0。 由同類量比和不同類量比概括出比意義第52頁第52頁 在比較兩個量關系時，能夠把除法、比

22、、分數看作是形式不同，它們能夠相互轉化。比基本性質可由商不變性質和分數基本性質導出。 第53頁第53頁比基本性質應用教學化簡比： 1.簡化整數比題目已知兩面旗長和寬，要求這兩面旗長和寬最簡樸整數比。這里兩個答案相同，滲入了兩面旗按百分比縮小相同變換思想，同時也便于學生感悟化簡必要性，即能使數量關系愈加簡樸明了。選取這一素材，既有思想性、趣味性，且數據真實，又有數學內涵。2.化簡分數、小數比第54頁第54頁比應用兩個內容:百分比尺和按百分比分派 例2，以清潔劑濃縮液稀釋為例，提出問題，引導學生把一個數量按照已知比分成兩部分。簡介了兩種解法。一個是先求出每份是多少，再求幾份是多少。即轉化為整數除法

23、、乘法來處理。另一個是把比轉化成每種成份占總數幾分之幾，變成求一數幾分之幾是多少，用分數乘法來處理。教學時: 1.注意相關知識復習。充足利用學生原有知識基礎，學習新內容。2.讓學生感悟相關知識聯系和區別 .第55頁第55頁三、六年級下冊百分比教學內容分析1.百分比意義和基本性質2.正百分比和反百分比意義，3.百分比應用三部分內容 第56頁第56頁 百分比是小學數學數與代數最后一個知識點，是前面學習一個綜合應用，是數與計算發展。同時又是進一步學習中學數學、物理、化學知識基礎。 百分比是在比知識基礎上并結合一些常見數量關系學習。到了中學學生就要學習正百分比函數、反百分比函數等知識。本單元教學一個重

24、點是：對學生滲入函數思想，進行辯證唯物主義觀點啟蒙 教育。第57頁第57頁 百分比意義和基本性質 百分比意義百分比基本性質解百分比正百分比和反百分比意義成正百分比量 成反百分比量百分比應用百分比尺圖形放大與縮小用百分比處理問題教學內容及知識間聯系第58頁第58頁教材前后知識間聯系小學（三六年級）已有知識新授知識后續知識1、比知識 2、常見數 量關系1、百分比 2、正百分比、反百分比 3、百分比尺 4、圖形放大與縮小5、用百分比處理問題 1、正、反百分比函數 2、相同圖形 3、處理問題小學（六年級下冊）中學循序漸進、螺旋上升（承上啟下）第59頁第59頁4理解百分比尺，會求平面圖百分比尺以及依據百

25、分比尺求圖上距離或實際距離。5結識放大與縮小現象。3結識正百分比關系圖像，能依據給出有正百分比關系數據在有坐標系方格紙上畫出圖像，會依據其中一個量在圖像中找出或預計出另一個量值。單元教學目的 知識 與 能力1、能利用方格紙等形式按一定百分比將簡樸圖形放大或縮小，體會圖形相同。2、通過觀測、比較、判斷、歸納等辦法， 建立明晰概念，把握概念內涵。3、能找出生活中成正百分比和成反百分比量實例. 4、學會用轉化辦法解百分比。情感、態度、 價值觀 過程與 辦法1理解百分比意義和基本性質，會解百分比。2理解正百分比和反百分比意義，能利用百分比知識處理簡樸實際問題。1、滲入函數思想，使學生受到辯證唯物主義觀

26、點啟蒙教育。2、養成檢查良好習慣。 第60頁第60頁教學重點教學難點1、會解百分比。2能正確判斷正百分比和反百分比，并能利用正、反百分比知識列出算式。1、理解百分比意義和基本性質，會解百分比。2會判斷正百分比和反百分比，能利用正、反百分比知識處理簡樸實際問題。3、會依據百分比尺求圖上距離和實際距離。1、理解百分比意義和基本性質。2能正確判斷正百分比和反百分比，并能利用正、反百分比知識處理簡樸實際問題。1、理解百分比意義和基本性質，會解百分比。2會判斷正百分比和反百分比，能利用正、反百分比知識處理簡樸實際問題。3、會依據百分比尺求圖上距離和實際距離。第61頁第61頁在百分比意義和基本性質中涵蓋三

27、部分知識：(1).百分比意義： 表示兩個比相等式子,通過比值是否相等判斷是否構成百分比。(2).百分比基本性質：在百分比里兩個外項積等于兩個內項積。(3).解百分比： 其解百分比辦法就是把百分比轉化成方程。第62頁第62頁2、成正百分比和反百分比量： 在成正反百分比意義中涵蓋 成正百分比量和成反百分比 量兩部分（1）正百分比意義： 首先是兩種相關聯量， 當這兩種相關聯量比值 一定，也理解為商一定期， 能夠用字母y:x=k(一定)表示， 我們就說y和x成正百分比關系（2）反百分比意義： 同樣是兩種相關聯量， 這兩種相關聯量乘積一定， 能夠用字母x y=k(一定)表示， 我們就說x和y 成反百分比

28、關系。第63頁第63頁3、百分比應用在百分比應用中涵蓋：認識百分比尺、圖形放大與縮小、用百分比處理問題三部分。認識數值百分比尺和線段百分比尺；會求百分比尺，能依據百分比尺求圖上距離或實際距離；應用百分比尺畫圖；掌握圖形放大與縮小方法；知道按照一定百分比放大縮小后，圖形形狀相同，大小不同；用正反百分比意義處理問題，以及實際應用自行車里數學第64頁第64頁 4.比和百分比知識邏輯線索：比和百分比這部分知識教材分別放在六年級兩個學期中，百分比知識生長點就是比，教材按照這樣一條線索來編排，學生首先理解除法意義，然后學習分數，包括分數意義與基本性質，分數與除法關系，分數乘除法計算辦法等知識，再次基礎上來

29、結識比，研究比意義和比基本性質。教材把比最基礎知識提前安排在六年級上冊第三單元分數除法這個單元中教學，表達著比與分數有密切聯系。單元知識呈現由概念到辦法技能遞進關系。教科書按照知識邏輯順序來編排，既有助于教師教，有助于學生學。 第65頁第65頁5.教學提議1.注重基本概念教學。 百分比、正百分比、反百分比是本單元學習幾種基本概念，十分主要。學習百分比相關知識以及百分比應用都有賴于對這些概念理解 和掌握。如解答含正反百分比關系實際問題，首先要對兩個量成何百分比做出判斷，然后依據正百分比或反百分比數量關系特點解答教學中要通過觀測、比較、判斷、歸納等辦法幫助學生建立明晰概念，把握概念內涵。同時通過應

30、用，不斷加深對這些概念理解和掌握。第66頁第66頁2提升學生綜合利用知識能力。本單元知識綜合性比較強。因此學習中既要注意新舊知識聯系，又要注意發展學生綜合利用知識能力。教材編寫也注意表達知識綜合應用，比如百分比尺一些練習，不但限于計算圖上距離和實際距離，并且涉及到測量、圖形、方向與位置知識以及依據實際設計百分比尺。第67頁第67頁教學策略1、創設與實際生活緊密聯系且學生熟悉情景。便于學生在情景中體驗、感知、理解知識，同時又能在情景中靈活 利用知識。如：百分比意義 、解百分比、圖形 放大或縮小等。2、注重基本概念教學。尤其是百分比、正百分比、反百分比幾種基本概念，教學中通過觀測、比較、判斷、歸納

31、等辦法幫助學生建立明晰概念，把握概念內涵。同時通過應用，不斷加深對這些概念理解和掌握。3、提升學生綜合利用知識能力。比如解百分比用到方程相關知識：百分比尺練習，不但限于計算圖上距離和實際距離，并且涉及到測量、圖形、方向與位置知識以及依據實際設計百分比尺。4、加強新舊知識聯系，找準連接點，讓舊知為新知服務。比如用百分比處理實際問題，要用到正、反百分比關系;解百分比用到方程相關知識。第68頁第68頁代數初步知識教學中迷惑1. “簡易方程”教學中問題 （1）代入公式求值計算結果要不要求寫上單位名稱？ 代入公式求值計算結果原義務教材不要求寫單位名稱，現課標教材要求寫單位名稱。這種改變原因一是為了與中學統一，二是考慮到代入公式求值結果應與以前學習直接列式計算結果統一。另外代入求值，課標教材先寫出公式是為了便于學生更加好記憶和應用（事實上，如果沒有明確要求，能夠不寫出公式，用已知數據直接寫出算式）。第69頁第69頁（2）“等式性質”教學：是否需要歸納出等式 性質1和性質2？ 以往教材是利用四則運算各部分間關系來解方程，現在課程原則要求“會用等式性質解簡樸方程”。為了減輕學生記憶承擔，課標教材沒有給出“等式基本性質”名稱，也沒有用文