1、4 協(xié)方差及相關系數(shù)第四章 隨機變量的數(shù)字特征 協(xié)方差的定義 協(xié)方差的性質 相關系數(shù)的定義 相關系數(shù)的性質4 協(xié)方差第四章 隨機變量的數(shù)字特征一、協(xié)方差稱 Cov( X, Y ) = E( X EX )( Y-EY ) = E XY EX EY為隨機變量 X,Y 的協(xié)方差. Cov( X, X )=DX稱為隨機變量 X,Y 的相關系數(shù)。是一個無量綱的量；1）協(xié)方差的定義2）相關系數(shù)的定義4 協(xié)方差第四章 隨機變量的數(shù)字特征證明：E XY = EX EY所以Cov( X,Y ) = 0.由數(shù)學期望的性質: 定理：若X，Y 獨立，則 X , Y 不相關。 (反之，不然）稱 X,Y 不相關，此時 C

2、ov( X，Y ) = 0 .若X，Y 獨立，注意：若 E( X EX )(Y - EY )則X，Y一定相關，且 X，Y 一定不獨立。即 EXY-EXEY二、協(xié)方差的性質第四章 隨機變量的數(shù)字特征4 協(xié)方差1) Cov( X,Y )=Cov( Y, X ) 2) Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)；3) Cov(aX+bY , cZ)=acCov(X , Z)+bcCov(Y, Z);5) X，Y不相關COV( X, Y ) = E( X EX )( Y-EY )三、相關系數(shù)的性質證明：令：第四章 隨機變量的數(shù)字特征4 協(xié)方差求a，b 使 e 達到最小。令：第四章 隨機變量的數(shù)字特征4

3、 協(xié)方差得：,),(DXYXCov=第四章 隨機變量的數(shù)字特征第四章 隨機變量的數(shù)字特征即由上式得:4 協(xié)方差現(xiàn)在證明：由上面知此時第四章 隨機變量的數(shù)字特征4 協(xié)方差從而 所以第四章 隨機變量的數(shù)字特征4 協(xié)方差反之，若存在 使，這時故 則故第四章 隨機變量的數(shù)字特征4 協(xié)方差說 明X與Y之間沒有線性關系并不表示它們之間沒有關系。X 與 Y 不相關，但不一定相互獨立。程度的量之間線性關系緊密與相關系數(shù)是表征隨機變量YX存在著線性關系；之間以概率與1YX之間的線性關系越弱；與YX時，越接近于當0XYr時，當1=XYr時，當0=XYr(不相關).之間不存在線性關系與YX第四章 隨機變量的數(shù)字特征

4、4 協(xié)方差例1()，記，是二個隨機變量，已知，設1Cov41=YXDYDXYXYXYX-=-=22hx，試求：xhr解：()YXDD2-=x()YXDYDX，Cov 44-+=13=()YXDD-=2h()YXDYDX，Cov44-+=4=第四章 隨機變量的數(shù)字特征4 協(xié)方差()hx，Cov()YXYX-=22Cov，()XX，Cov2=()XY，Cov4-()YX，Cov-()YY，Cov2+()DYYXDX2Cov52+-=，5=所以，()hxhxrxhDD，Cov=4135=26135=第四章 隨機變量的數(shù)字特征4 協(xié)方差由上述知： 則：例2設(X，Y)服從二維正態(tài)分布，求：第四章 隨機變量的數(shù)字特征4 協(xié)方差令：第四章 隨機變量的數(shù)字特征4 協(xié)方差第四章 隨機變量的數(shù)字特征第四章 隨機變量的數(shù)字特征故4 協(xié)方差例3證明：第四章 隨機變量的數(shù)字特征4 協(xié)方差第四章 隨機變量的數(shù)字特征4 協(xié)方差2）則根據(jù)切比雪夫不等式有3）思考題：1)第四章 隨機變量的數(shù)字特征4 協(xié)方差小結：1）