1、高 二 下 數 學 知 識 點 總 結 第 1 頁,共 14 頁精品文檔 高二數學學問點總結大全 必修 1 .1 第 1 章 空間幾何體 1 柱,錐,臺,球的結構特點 1. 2 空間幾何體的三視圖和直觀圖 11 三視圖： 正視圖：從前往后 側視圖：從左往右 俯 視圖：從上往下 22 畫三視圖的原就： 長對齊,高對齊,寬相等 33 直觀圖：斜二測畫法 44 斜二測畫法的步驟： （1）. 平行于坐標軸的線照舊平行于坐標軸； （2）. 平行于 y 軸的線長度變半,平行于 （3）. 畫法要寫好； x,z 軸的線長度不變； 5 用斜二測畫法畫出長方體的步驟：（ 1）畫軸（ 2）畫底面（ 3）畫側棱（ 4

2、） 成圖 空間幾何體的表面積與體積 （一 ）空間幾何體的表面積 1 棱柱,棱錐的表面積： 各個面面積之和 2圓柱的表面積 2 rl 2r 2S 23 S rl r圓錐的表面積 2 24圓臺的表面積 S rl r Rl R25球的表面積 S 4R（二）空間幾何體的體積 1 柱體的體積 V ShA DB C2 錐體的體積 V 底 1 S 3 底 1（ S 上 3hS S 下 S hV 3 臺體的體積 4 球體的體積 V 4R33其次章 直線與平面的位置關系 空間點,直線,平面之間的位置關系 1 平面含義：平面是無限延展的 2 平面的畫法及表示 （ 1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊

3、 0形,銳角畫成 45 ,且橫邊畫成鄰邊的 2 倍長（如圖） 收集于網絡,如有侵權請聯系治理員刪除 第 2 頁,共 14 頁精品文檔 （ 2）平面通常用希臘字母 , 等表示,如平面 ,平面 等,也可 以用 表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示,如 平面 AC,平面 ABCD等； 3三個公理： （ 1）公理 1：假如一條直線上的兩點在一個平面內,那么這條直線在此平面內 符號表示為 AL BL= L A A B C LA B 公理 1 作用：判定直線是否在平面內 （ 2）公理 2：過不在一條直線上的三點,有且只有一個平面； 符號表示為： A,B,C 三點不共線 = 有且

4、只有一個平面 , 使 A, B, C； 公理 2 作用：確定一個平面的依據； （ 3）公理 3：假如兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過 該點的公共直線； 符號表示為： P = =L,且 PL 公理 3 作用：判定兩個平面是否相交的依據 P L空間中直線與直線之間的位置關系 1 空間的兩條直線有如下三種關系： 相交直線：同一平面內,有且只有一個公共點； 共面直線 平行直線：同一平面內,沒有公共點； 異面直線： 不同在任何一個平面內,沒有公共點； 2 公理 4：平行于同一條直線的兩條直線相互平行； 符號表示為：設 a, b, c 是三條直線 a b cb =ac 強調：公理 4

5、實質上是說平行具有傳遞性,在平面,空間這個性質都適用； 公理 4 作用：判定空間兩條直線平行的依據； 3 等角定理：空間中假如兩個角的兩邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互 補 4 留意點： a 與 b 所成的角的大小只由 a, b 的相互位置來確定,與 O 的選擇無關, 為了簡便,點 O 一般取在兩直線中的一條上； 兩條異面直線所成的角 當兩條異面直線所成的角是直角時,我們就說這兩條異面直線相互垂直,記 0 , ； 2作 ab； 兩條直線相互垂直,有共面垂直與異面垂直兩種情形； 運算中,通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角； 空間中直線與平面,平面與平面之間的位置關系 1,直

6、線與平面有三種位置關系： （ 1）直線在平面內 有很多個公共點 （ 2）直線與平面相交 有且只有一個公共點 收集于網絡,如有侵權請聯系治理員刪除 第 3 頁,共 14 頁精品文檔 （ 3）直線在平面平行 沒有公共點 指出：直線與平面相交或平行的情形統稱為直線在平面外,可用 a 來表 示 a a =A a 2.2. 直線,平面平行的判定及其性質 直線與平面平行的判定 1,直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行, 就該直線與此平面平行； 簡記為：線線平行,就線面平行； 符號表示： a = a b ab 平面與平面平行的判定 1,兩個平面平行的判定定理：一個平面內的兩條交直

7、線與另一個平面平行,就 這兩個平面平行； 符號表示： a b ab = P a b 2,判定兩平面平行的方法有三種： （ 1）用定義； （ 2）判定定理； （ 3）垂直于同一條直線的兩個平面平行； 直線與平面,平面與平面平行的性質 1,定理：一條直線與一個平面平行,就過這條直線的任一平面與此平面的交線 與該直線平行； 簡記為：線面平行就線線平行； 符號表示： a a ab = b 作用：利用該定理可解決直線間的平行問題； 2,定理：假如兩個平面同時與第三個平面相交,那么它們的交線平行； 符號表示： 收集于網絡,如有侵權請聯系治理員刪除 第 4 頁,共 14 頁精品文檔 = a = b ab 作

8、用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行 直線,平面垂直的判定及其性質 直線與平面垂直的判定 1,定義 假如直線 L 與平面 內的任意一條直線都垂直,我們就說直 線 相互垂直,記作 L,直線 L 叫做平面 的垂線,平面 叫做直 線 面；如圖,直線與平面垂直時 , 它們唯獨公共點 P 叫做垂足； L 與平面 L 的垂 Lp 2,判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直,就該直線與此平 面垂直； 留意點： a 定理中的“兩條相交直線”這一條件不行忽視； b 定理表達了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”相互 轉化的數學思想； 平面與平面垂直的判定 1,二面角的概念：表示從空間始終線動

9、身的兩個半平面所組成的圖形 A 梭 l B 2,二面角的記法：二面角-l- 或 -AB- 3,兩個平面相互垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線,就這兩個平 面垂直； 直線與平面,平面與平面垂直的性質 1,定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行； 2 性質定理：兩個平面垂直,就一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂 直； 本章學問結構框圖 平面（公理 1,公理 2,公理 3, 收集于網絡,如有侵權請聯系治理員刪除 第 5 頁,共 14 頁精品文檔 空間直線,平面的位置關系 直線與直線的位置關 直線與平面的位置關系 平面與平面的位置關 第三章 直線與方程 直線的傾斜角和斜率 傾斜角和斜率 1

10、,直線的傾斜角的概念：當直線 l 與 x 軸相交時 , 取 x 軸作為基準 , x 軸正向 與直線 l 向上方向之間所成的角 叫做直 l 的傾斜角 . 特別地 , 當直線 l 與 x 軸平行或重合時 , 規定 = 2, 傾斜角 的取值范 0 . 疇： 0 180. 當直線 l 與 x 軸垂直時 , = 90 . 3,直線的斜率 : 一條直線的傾斜角 90 的正切值叫做這條直線的斜 , 斜率常用 率 小寫字母 k 表示, 也就是 k = tan 當直線 l 與 x 軸平行或重合時 , =0 , k = tan0 =0; 當直線 l 與 x 軸垂直時 , = 90 , k 不存在 . 由此可知 ,

11、 一條直線 l 的傾斜角 確定存在 , 但是斜率 k 不愿定存4, 直線的斜率公式 : 在 . 給定兩點 P1x1,y1,P2x2,y2,x1 x2, 用兩點的坐標來表示直線 P1P2斜率： 的 斜率公式 : 兩條直線的平行與垂直 1,兩條直線都有斜率而且不重合,假如它們平行,那么它們的斜率相等；反 之,假如它們的斜率相等,那么它們平行,即 留意 : 上面的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少這 個前提,結論并不成立即假如 k1=k2, 那么確定有 L1L2 收集于網絡,如有侵權請聯系治理員刪除 第 6 頁,共 14 頁精品文檔 2,兩條直線都有斜率,假如它們相互垂直,那么它

12、們的斜率互為負倒數；反 之,假如它們的斜率互為負倒數,那么它們相互垂直,即 直線的點斜式方程 1, 直線的點斜式方程：直線 l 經過點 P0 x0 , y0 ,且斜率為 k y y0 kx x0 2,直線的斜截式方程：已知直線 l的斜率為 k ,且與 y 軸的交點為 0,b y kx b直線的兩點式方程 1,直線的兩點式方程：已知兩點 P1 x1, x2, P2x2, y2 其中 x1x2 , y1 y2 y y2 2,直線的截距式方程：已知直線 B0, b,其中 a 0, b 0直線的一般式方程 y1 x x1 x 1 x2 , y y2 y1 x2 x1 l 與 x 軸的交點為 A a,0

13、 ,與 y 軸的交點為 1,直線的一般式方程：關于 x, y 的二元一次方程 Ax By C0 （A,B 不同 時為 0） 2,各種直線方程之 間的互化； 直線的交點坐標與距離公式 兩直線的交點坐標 1,給出例題：兩直線交點坐標 L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0 解：解方程組 3x 4 y 202x 2 y 20得 x=-2 ,y=2 所以 L1 與 L2 的交點坐標為 M（-2 ,2） 兩點間距離 兩點間的距離公式 P1P2x2 x2 2y2 y1 2點到直線的距離公式 1點到直線距離公式： 收集于網絡,如有侵權請聯系治理員刪除 第 7 頁,共 14 頁精品文檔 點 P

14、x0 , y0 到直線 l : Ax By C0 的距離為： d Ax0 By0 C 2 A 2 B 2,兩平行線間的距離公式： 已知兩條平行線直線 l1 和 l 2 的一般式方程為 l1 ： Ax By C1 0 , l 2 ： Ax By C2 0 ,就 l 1 與 l 2 的距離為 d C1 C2 A2 B 2 第四章 圓與方程 圓的標準方程 1,圓的標準方程： 2 x a 2 y b r2圓心為 Aa,b, 半徑為 r 的圓的方程 2 2 22,點 M x0 , y0 與圓 x a y b r 的關系的判定方法： 2 2 2（ 1） x 0 a y 0 b r ,點在圓外 2 2 2（

15、 2） x 0 a y 0 b = r ,點在圓上 2 2 2（ 3） x 0 a y 0 b r ,點在圓內 圓的一般方程 1,圓的一般方程： 2 x 2 y Dx Ey F 02,圓的一般方程的特點： 1 x2 和 y2 的系數相同,不等于 0 沒有 xy 這樣的二次項 2 圓的一般方程中有三個特定的系數 系數,圓的方程就確定了 D,E,F,因之只要求出這三個 3 ,與圓的標準方程相比較,它是一種特別的二元二次方程,代數特點 明顯,圓的標準方程就指出了圓心坐標與半徑大小,幾何特點較明顯； 圓與圓的位置關系 1,用點到直線的距離來判定直線與圓的位置關系 收集于網絡,如有侵權請聯系治理員刪除

16、第 8 頁,共 14 頁精品文檔 心 設直線 ： ax lby c 0 ,圓 ： x 2 y 2 Dx Ey F 0 ,圓的半徑為 ,圓 rD, E 到直線的距離為 d ,就判別直線與圓的位置關系的依據有以下幾 22點： （1）當 d r 時,直線 l 與圓 C 相離； （2）當 d r 時,直線 l 與圓 C 相切； （3）當 d r 時,直線 l 與圓 C 相交； 圓與圓的位置關系 兩圓的位置關系 設兩圓的連心線長為 l ,就判別圓與圓的位置關系的依據有以下幾點： （1）當 l r1 r 2 時,圓 C1 與圓 C 2 相離； （2）當 l r1 r 2 時,圓 C1 與圓 C 2 外切；

17、 （3）當 | r1 r 2 | l r1 r2 時,圓 C1 與圓 C 2 相交； （4）當 | r1 r2 |時,圓 C1 與圓 C2 內切； （5）當 l | r1 r2 | 時,圓 C1 與圓 C 2 內含； 直線與圓的方程的應用 1,利用平面直角坐標系解決直線與圓的位置關系； 2,過程與方法 用坐標法解決幾何問題的步驟： 第一步：建立適當的平面直角坐標系,用坐標和方程表示問題中的幾何元 素,將平面幾何問題轉化為代數問題； 其次步：通過代數運算,解決代數問題； 第三步：將代數運算結果“翻譯”成幾何結論 空間直角坐標系 RMP O Q y M x 收集于網絡,如有侵權請聯系治理員刪除 第

18、 9 頁,共 14 頁精品文檔 1,點 M 對應著唯獨確定的有序實數 組 x , y , z 軸上的坐標 x, y, z , x , y , z 分別是 P, Q,R 在 2,有序實數組 x, y, z ,對應著空間直角坐標系中的一點 3,空間中任意點 M 的坐標都可以用有序實數 組 x, y, z 來表示,該數組叫做點 M 在此空間直角坐標系中的坐標,M x, y, z , x 叫做點 M 的橫坐y 叫做 記 點 M 的縱坐標, z 叫做點 M 的豎坐標, 標； 空間兩點間的距離公式 1,空間中任意一點 P1 x1, y1, z1 到點 P2 x2 , y2 , z2 之間的距離公式 z O

19、 MP1 P2 M1 M2 H N2 y N1 Nx P1 P2 x1 2 x2 y1 2 y2 z1 2 z2 二,“三種角”與“六種距離” 1 三種角： 1）異面直線所成的角是指： 與平行與垂直相聯系； ；_2）線面角是指： ；二面角的平面角是指： ；_3）二面角是指：；其作法與求法為：當二面角棱上一點為兩個半 平面內圖形的特別點常常接受定義法 , 過該點在兩個半平面內作垂直于棱的射 線,兩射線所成角就是二面角的平面角； 當已知二面角一個面內一點在另一個面內的射影常常利用三垂線定理 或 逆定理 , 通過證明線線垂直,找到二面角的平面角； 當已知二面角內點在兩個半平面內的射影常常接受垂面法

20、, 交線所成的角 為二面角的平面角； 當已知一平面圖形在另一個半平面內的射影常常利用射影法 , 即使用射影 收集于網絡,如有侵權請聯系治理員刪除 第 10 頁,共 14 頁精品文檔 面積公式 cos= S ,式中 是二面角, S是一面積S 的平面圖形在另一面 為 S 內的射影面積； 2六種距離（兩點間的距離,點與直線之間的距離,點與平面之間的距 離,直線與直線之間的距離,直線與平面之間的距離,平面與平面之間的距 離）的重點是點與平面之間的距離與異面直線間的距離； 1）點與平面之間的距離：（ 1）概念；（ 2）求法有兩種 : 直接法：作點到平面的垂線,然后通過解三角形求垂線段長； 等積法：把點面

21、距看成是某個體積可求的錐體的高,利用等體積法求出高即 點面距； 2 異面直線間的距離：（ 1）概念；（ 2）求法有以下三種 : 直接應用定義 目前高考中不要求作法 ；利用線面距來求；也可利用面面距求之； 三,多面體與旋轉體的概念與性質： 1棱柱：兩個面相互平行,其余各面都是平行四邊形,且每相鄰兩個面的 公共邊相互平行,這些面圍成的幾何體,稱為棱柱；其主要性質有： 1）側棱都相等且相互平行； 2）側面都是平行四邊形； 3）上下底面與平行于棱柱底面的截面是全等多邊形； 4）過不相鄰兩條側棱的截面是平行四邊形； 特別地有,長方體 的性質： 1）長方體一條對角線的平方等于同一個頂點上三條棱 的平方和；

22、 2）設 B D 是長方體 AC的一條對角線,（ 1）如 B D與 DD, DC,DA 2 2 2 所成的角分別為 , ,就 cos +cos +cos =1；（ 2）如 B D 與平面 AC,平面 DA,平面 C D 所成的角分別為 , , , 就 cos 2 +cos 2+cos 2=2； 2棱錐：有一個面是多邊形,其余各面是有一個公共頂點的三角形圍成的 幾何體叫棱錐 . 其主要性質有：截面面積與底面面積之比為它們相像比的平 方,所截得的棱錐的高與已知棱錐的高的比等于相像比； 特別地有,正棱錐及性質： （1）正棱錐：底面題多邊形,頂點在底面的射影是底面的中心的棱錐； （2）正棱錐的性質：正

23、棱錐的側棱相等；各側面都是全等的等腰三角 形；正棱錐的斜高都相等；正棱錐的高,斜高和斜高在底面內的射影組成一個 直角三角形；正棱錐的高,側棱和側棱在底面內的射影也組成一個直角三角形 3球：定義（ 1）半圓以它的直徑為旋轉軸,旋轉所成的曲面叫做球面, . 球面所圍成的幾何體叫做球體,簡稱球；定義（ 定長的全部點的集合,就是球；其主要性質有： 2）在空間,到定點的距離等于 （ 1）連結球心和截面圓心的直線垂直于截面；（ 2）球半徑的平方 =球心到 截面圓的距離的平方 +截面圓的半徑的平方；（ 3）不過球心的截面截得的是球 的小圓；經過球心的截面截得的是球的大圓,且大圓是最大的截面圓； 四,面,體積

24、公式： 1 S 柱ch, 其中, c 為直棱柱或圓柱的底面周長（斜棱柱的直截面周長）, h側為柱體的側棱或母線長； 收集于網絡,如有侵權請聯系治理員刪除 第 11 頁,共 14 頁精品文檔 2 S 錐側 1/ 2 ch/ ,其中, c 為正棱錐或圓錐的底面周長, / h 為正棱錐的斜高 或圓錐的母線長； 3 S 球 4 V 柱42 R ,其中, R 為球的半徑； sh ,其中, S 為柱體的底面積, h 為柱體的高； 體5 V 錐 體 6 V 球 1 / 3 sh ,其中, S 為錐體的底面積, h 為錐體的 高； 4R3/ 3 ,其中, R 為球的半徑； 五,重要的數學思想和方法： 一）六個

25、基本思想： 1等價轉化的思想：空間轉化為平面；平面與平面的平行,垂直轉化為直 線與平面的平行,垂直,進一步轉化為直線與直線的平行,垂直；點面距轉化 為某個體積可求的錐體的高；異面直線間的距離轉化為點面距,線面距,面面 距 等等 ；無一不布滿等價轉化的思想； 2實物特例的思想：我們利用手中的筆,三角板,翻折的試卷等實物 去考查,爭辯線與線,線與面,面與面的關系或線,面的特別位置而解決問題 的一種想法,稱之為實物特例的思想； 3函數的思想：函數思想是解決數學問題的重要的數學思想方法之一；在 立幾問題中,依據幾何圖形的特點,建立有關幾何量的函數關系式,利用函數 的有關性質從而解決問題的想法；特別是在

26、解決最短距離,最大面,體積等問 題經常常要用到； 4分類爭辯思想：從通常意義上說,分類就是依據確定的標準,把爭辯對 象分成如干部分去解決；分類爭辯是數學才能的重要組成部分,因此應幫忙學 生把握分類的思想和方法,培養同學的思維品質和綜合解決問題的才能；爭辯 平面與平面的位置關系,直線與平面的位置關系,直線與直線的位置關系都體 現分類爭辯思想； 5開放的思想：沿柱,錐的側棱或母線剪開展平或求最大,小值等等都要 用到開放的思想； 6極限的思想：利用“分割,求近似和,再由近似和轉化為精確和”的極 限的思想求球的面,體積； 二）四種基本方法： 1割補法：是“割體法”與“補體法”的統稱；把一個幾何體分成幾

27、個熟 悉的簡潔的幾何體,從而得出原幾何體需要的結果的方法稱為割體法；把一個 幾何體拼補成一個新的幾何體,通過對新幾何體的爭辯從而得出原幾何體需要 的結果的方法稱為補體法；在解題過程中,有時要割,有時要補,有時既割又 補； 2等積法：把點面距看成是某個體積可求的錐體的高,利用等體積法求出 高即點面距； 3球面距離的求法： 1）求 |AB| 的長； 2）求球心角 AOB（弧度數）； 3） 利用弧長公式 l AOB R 得球面距 4反證法：立幾問題中,很多問題從正面難易入手,就多接受反證法； 離； 收集于網絡,如有侵權請聯系治理員刪除 第 12 頁,共 14 頁精品文檔 第四章 排列,組合,二項式定

28、理,概率 一,排列,組合,二項式定理： 1分類計數原理和分步計數原理是排列組合的理論基礎,這兩個原理的本質區 別在于分類與分步,分類用加法原理,分步用乘法原理；用加法原理的關鍵 在于恰當分類,做到“不重不漏”；用乘法原理的關鍵在于分步,要正確設 計分步程序； 2排列與組合的區分在于排列與次序有關,而組合與次序無關；它們的關系 是：排列可分為“組合”和“全排”兩步； 3 A = m n. =nn 1 n m+1； 記住共有 m 個因數 . , n m. Cn m An m= n n -1 n - m 1 ；, 這是最常用的兩個公式 ； An m n. , m. m m 1 21 n m. Cn

29、m n. ； m. n m. 兩個規定： 0. 1 , C 1n 1； 兩個性質： C n mC n nm , C n m1 C n mC n m 1 下同上差 1,下加 1,上取大 ； 兩個結論： C n 0C n 1C n 2C n n2, Cm n mCm m1 Cm m2 Cn mCn m 1 1； 4常見策略： 1 特別元素優先支配； 2 合理分類與精確分步； 3 排列組合混合問題先選 后排； 4 正難就反,等價轉化； 5 相鄰問題用捆綁法； 6 不相鄰問題用插 空法； 7 定序問題用除法； 8 分排問題直排法； 9 元素相同用隔板法； （10）數字不大時用窮舉法； 11 防止用“保證法”； 6 a b nC a 0 nC a 1 n 1 b C a 2 n 2 b 2 C a r n r b r C n n 1 ab n 1 C b n n ； k n-k k 通項公式：二項式開放式中第 k+1 項