1、(理解復數的基本概念/理解復數相等的充要條件/了解復數的代數表示法及其幾何意義/掌握復數代數形式的四則運算/了解復數代數形式的加、減運算的幾何意義)第十一單元 數系的擴 推理與證明11.1 復數的概念及運算一、復數的有關概念1虛數單位i(1)它的平方等于1，即i21；(2)實數可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立2復數的定義：形如abi(a，bR)的數叫復數，a叫復數的實部，b叫復數的虛部全體復數所成的集合叫做復數集，用字母C表示3復數的代數形式：復數通常用字母z表示，即zabi(a，bR)，把復數表示成abi的形式，叫做復數的代數形式4復數的分類：對于復數abi(a

2、，bR)，當且僅當b0時，復數abi(a、bR)是實數a；當b0時，復數zabi叫做虛數；當a0且b0時，zbi叫做純虛數5兩個復數相等的定義：如果兩個復數的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數相等6復平面、實軸、虛軸：如圖，復數zabi(a、bR)與有序實數對(a，b)是一一對應關系這是因為對于任何一個復數zabi(a、bR)，由復數相等的定義可知，可以由一個有序實數對(a，b)唯一確定，復數z對應點的橫坐標是a，縱坐標是b，復數zabi(a、bR)可用點Z(a，b)表示，這個建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，也叫高斯平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸實軸上的點都表示實數除了原

3、點外，虛軸上的點都表示純虛數二、復數的運算1復數的四則運算法則若復數z1abi，z2cdi，其中a，b，c，dR，則(1)z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i.(2)z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i.(3)(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i.(4)(abi)(cdi) .2復數的加法乘法運算律(1)z1z2z2z1.(2)(z1z2)z3z1(z2z3)(3)z1z2z2z1.(4)z1(z2z3)(z1z2)z3.(5)z1(z2z3)z1z2z1z3.3虛數單位i的乘方i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1.(其中nZ)1設a是實數，且 是實數，則

4、a等于()A. B1 C. D2答案：B 2在復平面內，復數 對應的點位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限解析： 1i，則復數 對應的點(1，1)在第四象限答案：D3(2010開封高三月考)復數 ()A1 B1 Ci Di解析： 1.答案：A4復數(1i)3的虛部為()A3 B3 C2 D2解析：(1i)32i(1i)22i.則復數(1i)3的虛部為2.答案：D5復數 的值是_解析： 答案： 1. 根據復數的代數形式，通過其實部和虛部可判斷一個復數是實數，還是虛數2復數zabi，aR，bR與復平面上的點Z(a，b)是一一對應的，通過復數z的實部和虛部可判斷出其對應點在復平面上

5、的位置【例1】已知復數z與(z2)28i均是純虛數，則z_.解析：設zai，aR且a0，則(z2)28i4a2(4a8)i.(z2)28i是純虛數，4a20且4a80. 解得a2.因此z2i. 答案：2i變式1. 復數z (mR，i為虛數單位)在復平面上對應的點不可能位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限解析：解法一：z顯然 0與 0不可能同時成立，則z 對應的點不可能位于第一象限解法二：z 設x ，y ，則2xy20又直線2xy20不過第一象限，則z 對應的點不可能位于第一象限答案：A復數的加減乘法運算類似于多項式的加減乘法運算，而復數的除法是通過分母的實數化轉化為復數的乘法

6、運算【例2】已知z1i， 1i，求實數a、b的值解答：由 1i，把z1i代入得 1i， 1i.(ab)(a2)i(1i)i1i， 得變式2. 求值：(1) (2) 解答：(1)原式 (2)設 ，則31， i. 原式(i)88(1i)862(2i)4162 1. 利用代數形式進行復數的乘方運算一般方法就是利用二項式定理展開2在進行復數乘方運算時要注意以下特殊結論的應用：(1)虛數單位i的乘方；(2)(1i)22i；(3)1的三次虛根 的乘方【例3】(1)復數( )10的值是()A1 B1 C32 D32解析：本小題主要考查復數的運算，以及虛數單位的性質 答案：A(2)復數 的值是()A16 B1

7、6 C D. 解析：本小題主要考查復數的運算. 答案：A【方法規律】1復數可以用代數形式，復平面中的點表示，還可以用三角形式和向量表示等，要注意數形結合思想方法的運用2可以用復數相等的定義，將復數問題轉化為實數問題來解決3一般兩個復數不存在大小關系(除非兩個復數都是實數)這也是復數與實數的區別之一在數系擴充后有關實數的一些結論在復數范圍內未必成立如實數中a2b20的充要條件是ab0，在復數集中不一定成立4復數的加、減、乘法運算類似多項式的運算，虛數單位的乘方結果呈周期性的變化，復數的除法通過分母實數化轉化為乘法運算5對于簡單的復數乘方運算，可以利用二項式定理進行運算，特殊的可利用：(1)(1i)22i；(2)若 ，則3n1，3n1，3n2 ，nN.6在復數集中分解因式，對于x的多項式，都可分解為x的一次因式，分解因式與對應方程解的關系與實數集中分解因式與對應方程解的關系是一樣的7可利用復數的代數形式，根據復數相等的定義進行復數的開平方運算. (本題滿分4分)已知 1ni，其中m，n是實數，i是虛數單位，則mni等于()A12i B12i C2i D2i【答題模板】解析：由 1ni，