1、一、選題1某大樓共有 12 層有 11 人在第一層上了電梯，他們分別要去 至 12 層每層 1 人，因特殊原因，電梯只能停在某一層，其余 人要步行到所要去的樓層，假設初始的 “不意”為 ，位乘客每向下步行一層“不滿意度”增量為 ，每向上步行 1 層的“不 滿意度增為 2，要使得 10 人不滿意”之和最小，電梯應該停在第幾層（ ） A B C D2設等差數列 n前 項為 ，差數列bn前 n 項為 T ，若nnn n 則 （ ）ABC543已知數列n式 ，則前 n 項 的最小值 )A784 B368 C389 D3924在 中，內角 A B, 所對的邊分別為 b c，已知 2 , c 成等差數列，

2、則 的最小值為（ ）A12BC5已知等差數列項和 ， a ， 36 n 5 8，則數列 n n的 n 項為（ ）A B Cn n 6張丘建算經是我國北魏時期大學家丘建所著，約成書于公元 485年間，其記臷著這么一道題：某女子善于織布，一天比一天織得快，而且每天增加的數量相. 已 第一天織布 尺 天其織布 390 尺，則該女子織布每天增加的尺數不作近似計算）為 （ ）AB1627C7設等差數列 項和為 ， ， ， 中大的是 ). 8 13 nA 108設 是列 nB 項，且C S20S a ，則n 21式為a n（ ）A B 2 nC1 9在等比數列na, 是于 x 的程 x2 x 的兩個實根，

3、則a a 2 6 n n （ ）AB C 8 10知是等差數列n 項和，且6 7 ，下列說法錯誤的是（ ）Ad B C a 711知等比數列n4 , a ,2 1 32成等差數列，則公比 q ）A1B 2C D 12 1 和 19 之間插個 數，使這n 個數成等差數列，若這 個中第一個為 ，第 個，當 取最小值時， 的是（ ）A二、填題B C D13數列na ， 1 ，曲線 x在點 3 點 n ,0，下列四個結論 ； 13；4i i；數列 n數列；其中所有正確結論的編號_.14比數列n為正數，且 a 2 ，則log log a log log log a 2 1 2 3 _.15列n a2，a

4、n n ， 34 n ，則數列n的前 項為_16數列n 1，a a a ，則使得 2020n2成立的最小正整數 的是_.數列 n中，若 a a( n N a 則 1 n的通項公式為_.18義max , b表實數 a 中較大的數已知數列 n滿足a a 0), 1 max 2 n n N ，若a 4 ，數 2015 的前項和為，則 S 2015的值為_19數列na n ， a ，則 n n 120知數列 n 1， a 2, n *，若 1 a1 三、解題m，則 _21知數列 n滿足a a ( n N*). n . . n n 2 n n . . n n 2 n （）證：數an 是等差數列（）數列（

5、）數列 n n的通項公式的前 n 項為 S 求：S 7n . 2 422數列 足 n 1 n nn. （）的通項公式； n （）數列 前 項為 n ，證明：T .23數列n 項和S n2*（）n式（）數列n nnn，求數列和 S .n 24知數列n 項為 . n *（）數列n式（）下面兩條件中選擇一個填在橫線上，并完成下面的問. ， b 4 是 和 b 的比中項， T 72 .若差不為 0 的差數列 和為 2 1 8 ；，且 _求數列 項 .25知各項均為正數的數 項為 S ，滿足 n a 2 a n.（）數列式 （）3 b 2a，求數列項和 Tn .26知數列na ， 2 1 n.（）證數列

6、 ； （） log a ，求數列 n 項和 . b 【參考答案】*試卷處理標記，請不要除一選題1C 9 5 5 5 9 5 5 5 解析：【分析】根據題意，假設電梯所停的樓層，表達“不意”之，利用等差數列的求和公式即可 求得結論【詳解】解：設電梯所停的樓層是n 12) ，則 n 2) 21 (12 )(n )(13 2 3 2 ( 2 ( ) 157 3 2 開口向上，對稱軸為 ，故 S在 n 9時取最小值 min 2 31440 故選：C【點睛】本題考查數列知識，考查函數思想的運用，考查計算能力，求“滿意度之是關鍵 2B解析：【分析】本題首先可令 n 9 ，出S 4 ，然后通過等差數列的性質

7、得出 9 以及T b9 ，代入S 4 中，即可得出結果.【詳解】因為 n n nS ，所以 ， 5 因為 S 是差數列 項和， T 是差數列 b 前 n 項和， n 9 所以 S 1 ， T 9 b ，2 S 4 9a 則 ， ， 5 9b b 故選：【點睛】關鍵點點睛：本題考查等差數列的相關性質的應用，主要考查等差數列前 項公式以及等差中項的應用，若等差數列 n前 n 項為 S ， S n 1 n2，當 k時， m n ，考查化歸與轉化思想，是中檔. 3D解析：【解析】令3n ，求得 ，即數列從第17項開始為正數，前 6 項為負數，故數列的前16 項和小， 1，S162，故選 【方法點睛】求

8、等差數列前 項的最大值的方法通常有兩種將前 項和表示成關于的二次函數， AnBn ， B時有最大值（若 不整數， 等 A 離它較近的一個或兩個整數時 S 最大）可據值4A解析：【解析】a 且 a 確 S 最時的 n 分析：用余弦定理推論得 c B a2 2ac2由a 2 b 2 2成等差數列，可得b2a2 2 a 2 2 a ，所以 cos 2 2ac 2，利用重要不等式可得a 2 2 4ac 4ac 詳解：因為a , b 2 c 成等差數列，所以 2a222a 2 2 由余弦定理推論得 2 ac 4 當且僅當a 時，上式取等號故選 A點睛：本題考查等差中項、余弦定理的推論、重要不等式等知識，

9、考查學生的運算能力及 轉化能力利用重要不等式、基本不等式求最值時，一定要判斷能否取相等，不能相等 時，應轉化為函數求最值5B解析：【解析】設等差數列 a ，差為 d . 1 5， 368 d 28d 36 ） ）a d ，則1a n n 1 1 1 n( n 數 項為 a a n 1 1 1 1 1 2 4 n 故選 點睛：裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破 這一難點的方法是根據式子的結構特點，常見的裂項技巧：(1) 1 1 k n 1 n n n； （） 1 2n 2 ） 1 1 1n 外需注意裂項之后相消過程中容易出現丟項或多項的 問題，導致計算結果錯

10、誤 6A解析：【解析】由題設可知這是一個等差數列問題，且已知a 390 1 30，求公差 d由等差數列的知識可得 216d ，解之得 ，應選答案 A297C解析：【解析】分析：利用等差數列的通項公式，化簡求得 ，進而得到a 20 ，即可作出判定詳解：在等差數列a 0,3 a 1 13，則3( ) a ) 1 1，整理得2 a d ， 1 1，所以 ，又由 ，所以 a a 20 ，所以前 n 項和 S 中大是 S ，選 C 點睛：本題考查了等差數列的通項公式，及等差數列的前 項和 的質，其中解中根據等差數列的通項公式，化簡求得 ，進而得到a 20 是解答的關鍵，著重考查了學生分析問題和解答問題的

11、能力 8C1 1 解析：【分析】由S a 結合a , 2 n 即可求出 和 a n n ，通過構造法即可求出通項公. 【詳解】當 n 時，a 2a 1 1，解得a 1；當 n 2 時a a a n nn a n n a ， a n 1 nn，故選C【點睛】本題考查了數列通項公式的求解，考查了a , Sn 的遞推關系求通項公式，考查了等比數列的通項公式，考查了構造法求數列的通項公式，屬于中檔.9B解析：【分析】結合根與系數關系，根據等比中項滿足的性質，計算 ，代入，計算式子，即可【詳解】a , 4 是關于 x 的方程 x 的實，所以 4 a 4 2 10 2，由a a 0, 得 a ，以 4 4

12、 6 a a .故 B2 6 2 ， ，所以【點睛】本道題考查了等比中項的性質，關鍵利用好該性質，計算結果，即可，難度中等 10解析：【分析】根據列且 6 ，變形為 , , 6 6 5 6 5 5 6 7 5【詳解】判斷即.數列列 6 ， , , 6 6 5 6 5 5 6 7 5，a a a 7 6 ，所以 ， S 11111 2a 6，S 12121 122126 72，a ，故選：【點睛】本題主要考查等差數列的通項與前 n 項和的關系及應用，還考查了轉化求解問題的能力， 屬于中檔題11解析：【分析】用等比數列的通項公式和等差中項公式求.【詳解】因為4 , ,2 1 3 2成等差數列，所以

13、2 a a a 3 1 ，即 a q 1 1 1，化簡得q2 0，解得q .故選 【點睛】本題考查等比數列與等差數列的綜合運.12解析：【分析】設等差數列公差為 d ,可 20 再利用基本不等式求最從求出答. 【詳解】設等差數列公差為 d,則 ，b ,從 a ,此時d ,故 , b a b a所以 ( ) 25 , b a b a 即 16 16 ,且僅當 4 ,即 b a 時“又a , 19 ,解d ,所以19 ,所以n ,故選B.【點睛】本題主要考查數列和不等式的綜合運需要學生對所學知識融會貫靈運用. 二、填題. 0 4 1 653 1 n . 0 4 1 653 1 n 3 13分析】先

14、利用導數求得曲線在點處的切線方程由此求得與的遞 推關系式進而證得數列是等比數列由此判斷出四個結論中正確的結論編號【詳 解】 曲線在點處的切線方程為則 則是首項為 1 公比為的等比數列從而 解析：【分析】先利用導數求得曲線y 在點 n n處的切線方程，由此求得a與 的遞推關系 n 式，進而證得數列 【詳解】n是等比數列，由此判斷出四個結論中正確的結論編.y 2， 曲 x在點 3 為 ny a n 則 a 2 a ， a nn n，則n是首項為 1，公比為的等比數列，從而 ， 3 4， ii .2 273故所有正確結論的編號是.故答案為：【點睛】本小題主要考查曲線的切線方程的求法，考查根據遞推關系

15、式證明等比數列，考查等比數 列通項公式和前 項公式，屬于基礎.14【分析】由題意利用等比數列的性質求得的值再利用對數的運算性質求得 結果【詳解】解：等比數列an的各項均為正數且 則故答案為：【點睛】本 題考查等比中項的性質考查運算求解能力求解時注意對數運算法則的運用 解析 【分析】由題意利用等比數列的性質求得 的值，再利用對數的運算性質，求得結.【詳解】解：等比數a 的項均為正數，且 2 4 231 ， ，2則log a log a log a 2 1 2 2 2 4 2 a5 ，故答案為： . a a ， ， 【點睛】本題考查等比中項的性質，考查運算求解能力，求解時注意對數運算法則的運. 1

16、532【析】利用數列的遞推公式推導出由此能求出數列的前 6 項和【詳 解】 數列中 解得 數列的前 6 項和為：故答案為：32 【點睛】本題主要考 查數列的前 6 項和的求法考查遞推公式遞推思想等基礎知識考查運算求解 解析：【分析】利用數列的遞推公式推導出a 1，由此能求出數列n的前 6 項和.【詳解】 數 a 中 n 2，a ， a n n n 8， a ， 2 3 1 3 1 ，a ， a a 10 a 5 3 1 6 5 1，a a ， a a 34 7 6 5 8 6 1解得 1 數 a 的 項為：n， 1 1 1 1 ，故答案為：【點睛】本題主要考查數列的前 6 項的求法，考查遞推公

17、式、遞推思想等基礎知識，考查運算求 解能力，屬于中檔題16【分析】根據遞推關系式可證得數列為等比數列根據等比數列通項公式求 得代入不等式結合可求得結果【詳解】數列是以為首項為公比的等比數列由 得：即且滿足題意的最小正整數故答案為：【點睛】本題考查根據數列遞推關 解析： 【分析】根據遞推關系式可證得數列 為比數列，根據等比數列通公式求得 n，代入不等式，結合 n 可求得結果【詳解】a 2 a ，n n a ，n 數 a 是以 a 為項， 為公比的等比數列，n n a 由a 得： ，即2n 20212 2 ，2 ， 1024 且 N 滿題意的最小正整數 n .故答案為： .【點睛】本題考查根據數列

18、遞推關系式求解數列通項公式并解不等式的問題，關鍵是能夠通過構造 的方式，通過遞推關系式得到等比數列的形式，進而利用等比數列通項公式來進行求 17【分析】兩邊取對數化簡整理得得到數列是以為首項公比為 3 的等比數列 結合等比數列的通項公式即可求解【詳解】由兩邊取對數可得即又由則所以數 列是以為首項公比為 3 等比數列則所以故答案為：【點睛】本題主要考查了解析 ( n )【分析】兩邊取對數，化簡整理得log log a ，得到數列log a n是以 為項，公比為 的比數列，結合等比數列的通項公式，即可求. 【詳解】由 ( ) ，邊取對數，可得 a a，即log log ，又由a ，則 log a

19、，所以數列log a 3 是以 log 為首項，公比為 等比數列，則 log a ，所 ( n .故答案為： ( n N)【點睛】本題主要考查了對數的運算性質，以及等比數列的通項公式的求解，其中解答中合理利用 對數的運算性質，結合等比數列的通項公式求解是解答的關鍵，著重考查推理與運算能. 18【分析】參數進行分類討論由已知求出數列的前幾項從中發現是以 為周期的再根據求得的值可得答案【詳解】由題意當時因此是周期數列周期為 所以不合題意當時同理是周期數列周期為所以故答案為：【點睛】本題 解析：【分析】參數 進行分類討論，由已知求數列的前幾項，從中發現是以 5 為期的，再根a2015 a 求 的可得

20、答案.【詳解】由題意a 4a，當a 時， ， a ， a ， a ，此 6 7 列，周期為，所以 a 4 5，不合題意，當 時，a 8a，a a ， ， ，理 ，期為 ，所以 6 n 4 5，a ， ， S 2 4 5403 7254.故答案為： 7254 【點睛】本題考查新定義問題，考查周期數列的知識，解決此類問題常采取從特殊到一般的方法，可先按新定義求出數列的前幾項（本題由 , a 2依次求出 , a , a , a 5 ），從中發現周期性的規律，本題求解中還要注意由新定義要對參數 進分類討論解決新定義問題考查 的學生的閱讀理解能力，轉化與化歸的數學思想，即把新定義“識、運算”等我們 已學

21、過的知識表示出來，用已學過的方法解決新的問題19【分析】根據寫出相減以后可得可以判斷出數列是等差數列然后判斷出首 項和公差即可得【詳解】兩式相減得故是首項為公差為的等差數列的第項故故 答案為：【點睛】要注意等差數列的概念中的從第項起與同一個常數的重要解析：.【分析】根據a n 寫 a n n n n，相減以后可得a n ，可以判斷出數列 n列然后判斷出首項公差，即可得 a .2020【詳解】a nn n an n n.兩式相減，得a n .a a 1 2 2.故 是項為 4 2020，公差為 5 的差數列的第項，故a .故答案為： 5049 .【點睛】要注意等差數列的概念中“從 項起”與同個常

22、數”的重要性，巧妙運用等差數列的性質，可化繁為簡；如果a n 是常數，則n列如果 n 是常數，則數列中的奇數項或者偶數項為等差數列，所以需要注意等差數列定義的推廣應 2012【分析】先取倒數得成等差數列再根據等差數列求和公式列式求得結果 【詳解】所以為以為首項為公差的等差數列故答案為： 【點睛】本題考查等 差數列定義以及求和公式考查基本分析求解能力屬基礎題解析：【分析】1 先取倒數得 差數列，再根據等差數列求和公式列式求得結. 【詳解】 a a n n n n n 1 n n 1 a a n n n n n 1 n n 1 n 1 1 1 1n 2, n * + 2 a 2n n n 1 所以

23、 11為首項， 為差的等差數列， 2 a1 m m ( 2 m 故答案為：【點睛】本題考查等差數列定義以及求和公式，考查基本分析求解能力，屬基礎. 三、解題211）明見解析；2 ；3）明見解析.【分析】（）用已知件通分計算或者直接整理，證明 a n n n，即證結論； （）用1）得數列 項公式，即求得 通項公式； （）合2）結果，利用錯位相減法求得 ，計算整理 得結論【詳解】S n ，根據 即 n 解：（）法1 ：n a n n a 3a n n n nn 3n 3n a .又a 11 ，故數列 為項，以1 為差的等差數. 3 3解法 ：由an n*，得 n 3n n，即 a n 3n.又 1

24、1 ，數列 為項，以1 為差的等差數. 3（）（）得 n n 3n 1， n N *，即 n 2 ，故 ；（）（）可知 n n 故 n n n 故 n n n n 2 S 2 3 2 S 1 3 n 由得 7 S n n 3 2 7 S ，從而 7 12 7 7 3n 7 3 4 4 4 2 4.【點睛】方法點睛：數列求和的常用方法：（）式法：用等差數列和等比數列前 項和公式進行計算即可；（）序相加：如果一個數列 n的前 項首末兩端等距離的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前 項即可以用倒序相加法；（）位相減：如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構 成的，那

25、么這個數列的前 n 和即可以用錯位相減法來求；（）項相消：把數列的通項拆成兩項之差，在求和時，中間的一些項可相互抵消，從 而求得其和；（）組轉化：一個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組 成，則求和時可用分組轉換法分別求和再相加減；（）項求和：一個數列的前 項和可以兩兩結合求解，則稱之為并項求和，如a 類型，可采用兩項合并求.221）a 22n ；（）明見解.【分析】（） n 時，可求 ，當 時，可得a a 1 2 n n n 與已知條件兩式相減可得a 檢驗 滿 1 ，即可得 n的通項公式；（）（）知a 22n ，所以a 2 2 n (2 n (2 n ( n 【詳解】，

26、計算其前 項即可證明.（） n 時， 1當 時，a a n a 1 2n n 2nn2 n 2 n a a n 1 2n n 得.a 2 .當 n 時， 1，上式也成立.a 22n （）（）知a n2 .當 n 時，a n，當 時，a 2 2 1 n n n n ( n n 1 1 3 1 n 【點睛】方法點睛：數列求和的方法 （）序相加：如果一個數列 n的前 項中首末兩端等距離的兩的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前 項即可以用倒序相加法（）位相減：如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構 成的，那么這個數列的前 n 和即可以用錯位相減法來求；（）項相消：把數列

27、的通項拆成兩項之差，在求和時，中間的一些項可相互抵消，從 而求得其和；（）組轉化：一個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組 成，則求和時可用分組轉換法分別求和再相加減；（）項求和：一個數列的前 項和可以兩兩結合求解，則稱之為并項求和，如a 類型，可采用兩項合并求.231） ；2 n n.【分析】（）用公式 a 【詳解】S , S n ，求通項公式；2由（）利用錯位相減法求和解：（）n 時， 1 ，n 2 3 n 3 n 2 3 n 3 當 時，a n nn 2 ，當 n 時，也符合上式，所以對任意正整數 n ， .（）（）得b n2 ，所以 n 3 5 n n 31 3

28、3 3 ，1 1 5 2 S 3 3 3 34 3 ， ，2 1 1 3 3 3 2 3n ，1 2 1 1 ) 3 1 3n n 3n 3 ，所以 nn 【點睛】方法點睛：本題考查已知數列 S 與 a 的系式，求通項公式，和錯位相減法求和，一般 n數列求和包含 公法利用等差和等比數列的前 項和公式求解錯位相減法求和， 適用于等差數列乘以等比數列的數列求和項相消法求和，適用于能變形為 ， 分轉化法求和，適用于c n n；倒相加法和.241） ；（）擇： ；選擇： 3 .【分析】（）數列 a 與 S 的關系轉化條件為 an n，結合等比數列的性質即可得解；（）數列 ，若選擇，等差數列的通項公式列方程可得 合錯位相減法即可得解；b ，進而可得 T ，再結若選擇，等比中項的性質結合等差數列的通項公式、前 n 項和式可得 再結合錯位相減法即可得.【詳解】 ，（）n 時，a 2a 1 1，可得 1；當n 2時， a ，以 a 2 a a n n n n n ，即 an n，因為a 1，所以數列是以 2 為項2 為公比的等比數列，所以 nn n；1 2 兩 式相減，得 1 2 兩 式相減，得 ，（）數列 若選擇，題意 b 1，解得b ；所以 T nn 2 ，由（），a nn，所以 2 n n n n 2n ，所以 n 1 21 n， 1 1 n 2 3 2 ，兩式相減得 1 2 2 1