1、第十三章 應力狀態和強度理論1FQ橫截面上不同點的應力各不相同。131 概 述 2單向應力狀態同一點不同方向面上的應力各不相同。3 受力構件內一點處所有方位截面上應力的集合，稱為一點的應力狀態 。研究一點的應力狀態時，往往圍繞該點取一個無限小的正六面體單元體來研究。 xyxxyxyyxyxyxxzyxzzyzyxyzyzx空間應力狀態平面應力狀態4 任何應力狀態，總能找到三對互相垂直的面，在這些面上只有正應力，而切應力等于零，這樣的面稱為應力主平面(簡稱主平面)，主平面上的正應力稱為主應力。 12132三向應力狀態雙向應力狀態單向應力狀態復雜應力狀態簡單應力狀態5簡單應力狀態下材料的強度條件：

2、復雜應力狀態下材料的強度條件： 單軸拉壓狀態 純剪切應力狀態工作應力；許用應力，通過直接試驗的方法確定。 不可能總是通過直接試驗的方法來確定材料的極限應力。通過應力狀態分析來探求材料破壞的規律，確定引起材料破壞的決定因素，從而建立相應的強度條件，即強度理論。 6132 平面應力狀態的應力分析解析法 一、斜截面應力 圖(a)所示平面應力單元體常用平面圖形(b)來表示。現欲求垂直于平面xy的任意斜截面ef上的應力。7 圖(b)中所示任意斜截面ef 的外法線n與x軸的夾角（方位角）為a ，故截面ef簡稱a截面。其中a角規定自x軸逆時針轉至外法線n為正。 斜截面上的正應力sa 以拉應力為正，切應力ta

3、以使其所作用的體元有順時針轉動趨勢者為正(圖(c)。8 由圖(c)知，如果斜截面ef的面積為dA，則體元左側面eb的面積為dAcosa，而底面bf的面積為dAsina。圖(d)示出了作用于體元ebf 諸面上的力。體元的平衡方程為：9根據切應力互等定理有：(13-1) (13-2) 利用三角關系整理后可得到a 斜截面上應力sa、ta的計算公式為：(13-4) 將其代入平衡方程可得：(13-3) 10例題131 圖a為一平面應力狀態單元體，試求與x軸成30角的斜截面上的應力。則由公式得到該斜截面上的應力：單位：MPa203030 xy(a)3030(b)xn30301020y303030解：由圖可

4、知：1112二、主應力和主平面將式(13 3)對取導數：令此導數等于零，可求得達到極值時的值，以0表示此值，即(135) (a)(b)13 由式(135)可求出0相差90的兩個根，亦即有相互垂直的兩個面，其中一個面上作用的正應力是極大值，以max表示，另一個面上的是極小值，以min表示。(135) 14(136) 將式(135)代入以上兩式，再回代到式(133)經整理后即可得到求max和min的公式如下：利用三角關系：15 由式(135)求得兩個0值后，確定哪個是max作用面的方位角(以0max表示)，哪個是min作用面的方位角(以0min表示)，則可按下述規則進行判定：(137)(1) 若

5、x y ，則有 |0max|45(2) 若 x y ，則有 |0max|45(3) 若 x = y ，則有 (138) 求得0max后，0min可按下式計算：16將式(b)與式(134)比較，可知： 這表明在正應力達到極值的面上，切應力必等于零，即該截面為主平面，相應的正應力即為主應力。 主應力常用1、 2、 3 表示，并按1 2 3排序。應注意在平面應力狀態下，應力為零的平面也是主平面，其主應力等于零，應將它與max和min 比較，確定出1、 2、 3 。 17(139) 即對于同一個點所截取的不同方位的單元體，其相互垂直面上的正應力之和是一個不變量，稱之為第一彈性應力不變量。可利用此關系來

6、校核計算結果。另外，由式(136) 可知：18 用類似的方法，可以討論切應力的極值和它們所在的平面。將式(134)對取導數：令此導數等于零，可求得達到極值時的值，以 表示此值，即(1310) 由式(1310)解出sin2和cos2，代入式(134)可求得切應力的最大和最小值：19(1311) 對比式(136)可知：(1312) 這表明20與2相差90，即切應力極值所在平面與主平面的夾角為45。(1313) 另外，對比式(135)和式(1310)可知：20例題132 圖示為某構件某一點的應力狀態，試確定該點的主應力的大小及方位。 單位：MPa20303035.813解：由圖可知：將其代入式21則

7、主應力為：因為所以22例題133 對圖(a)所示單元體，試用解析法求：（1）主應力值；（2）主平面的方位（用單元體圖表示）；（3）最大切應力值。單位：MPa200300200圖(a)解：由圖可知：23單位：MPa200300200圖(a)（1）將其代入式24128.153圖(b)由式（137）進行判斷，由于 ，即主應力1與x軸的夾角為28.15（如圖(b)所示）。（3）最大切應力為：（2）由25133 應 力 圓將式(133)與式(134)改寫成如下形式： 將以上二式各自平方后再相加可得：(c)(a)(b)一、應力圓26 這是一個以正應力、切應力為坐標的圓的方程，此圓稱為應力圓或莫爾(O.Mo

8、hr)圓。其圓心坐標為 ，半徑為 。OC圖 134 圓上任意一點的縱、橫坐標分別代表單元體相應截面上的切應力和正應力。27二、應力圓的繪制及應用OC(b) 圖a所示單元體的應力圓可按如下方法作出：由單元體x截面上的應力sx,tx按某一比例尺定出點D1，由單元體y截面上的應力sy,ty(取ty = -tx)定出點D2，然后連以直線，以它與s 軸的交點C為圓心，以 或 為半徑可作出應力圓(圖b)。(a)28 利用應力圓求a 斜截面(圖a)上的應力sa，ta時，只需將應力圓圓周上表示x截面上的應力的點D1所對應的半徑 按方位角a的轉向轉動2a角，得到半徑 ，那么圓周上E點的座標便代表了單元體a斜截面

9、上的應力。現證明如下(參照圖b)：29E點橫座標30E點縱座標31 當單元體內截面A和B的夾角為a 時，應力圓上相應點a和b所夾的圓心角則為2 a ，且二角之轉向相同。因此，單元體上兩個相互垂直的截面在應力圓上的對應點所夾圓心角為180，即它們必位于同一直徑的兩端。圖 136ABOC2ab32例題134 試用圖解法求解圖示應力狀態單元體的主應力。 (a)200300200單位：kPa0 100kPaOCCD(b)1283x62(c)解：首先選定坐標系的比例尺，由坐標(200,-300)和(-200,300)分別確定C和C點(圖b）。然后以CC為直徑畫圓，即得相應的應力圓。從應力圓量得主應力及方

10、位角，并畫出主應力的應力狀態如圖。 33134 三向應力狀態的最大應力dabc12xzy3213 表示與主應力3平行的斜截面上應力的點，必位于由1與2所確定的應力圓上。同理，與主應力2 (或1)平行的各截面的應力，則可由1與3(或2與3)所畫應力圓確定。 一、三向應力圓O132K34圖 138O132K圖 13912xzyB3CA 在坐標平面內，表示與三個主應力均不平行的任意斜截面ABC（圖139）上應力的點K必位于圖138所示以主應力作出的三個應力圓所圍成的陰影區域內。 35二、最大應力 (1319) (1317) (1318) 而最大切應力則為： 由應力圓可知，一點處的最大與最小正應力分別

11、為最大與最小主應力，即36例題135 圖a所示應力狀態，應力x = 80 MPa，x = 35 MPa， y = 20 MPa， z =-40 MPa，試畫三向應力圓，并求主應力、最大切應力。 (a)xyxxyzyz(c)CEODAB(b)yxx37解： 1. 畫三向應力圓 對于圖示應力狀態，已知z為主應力，其它兩個主應力則可由x ，x與y確定(圖b) 。在 坐標平面內(圖c)，由坐標(80,35)與(20, -35)分別確定A和B點，然后，以AB為直徑畫圓并與 軸相交于C和D，其橫坐標分別為：取E(-40, 0)對應于主平面z，于是，分別以ED及EC為直徑畫圓，即得三向應力圓。38而最大正應

12、力與最大切應力則分別為：2. 主應力與最大應力由上述分析可知，主應力為：39135 空間應力狀態的廣義胡克定律 對于各向同性材料，它在各個方向上應力與應變之間的關系相同。因此，對于各向同性材料： (1)在正應力作用下，沿正應力方向及與之垂直的方向產生線應變，而在包含正應力作用面在內的三個相互垂直的平面內不會發生切應變； (2)在切應力作用下只會在切應力構成的平面內產生切應變，而在與之垂直的平面內不會產生切應變；也不會在切應力方向和與它們垂直的方向產生線應變。40一、雙向應力狀態的廣義胡克定律11(b)22(c)1122(a) 當材料處于雙向應力狀態(圖a)時，為計算沿兩個主應力方向的應變1和2

13、 ，可按疊加原理將原應力狀態分解為圖b和圖c兩種單向應力狀態的疊加。 41而垂直于1或2方向的線應變分別為： 當材料處于圖b或圖c所示單向應力狀態時，沿主應力1或2方向的線應變分別為： (a) (b) 式中為泊松比。42 (13-20) 上式即雙向應力狀態下的廣義胡克定律。當材料處于圖a所示雙向應力狀態時，沿兩個主應力方向的應變1和2分別為：43yxyx圖 1311而對于圖1311所示平面應力狀態，廣義胡克定律表達式為 ： (13-21) 式中xy是在xy平面內由切應力x或y所引起的切應變，G是切變模量。 44二、空間應力狀態的廣義胡克定律當空間應力狀態以主應力表示時，廣義胡克定律為：式中，e

14、1，e2，e3分別為沿主應力s1，s2，s3方向的線應變。45一般空間應力狀態下的廣義胡克定律為：46例題136 有一邊長a=200mm的立方體混凝土試塊，無空隙地放在剛性凹座里(圖a) 。上表面受壓力F300kN作用。已知混凝土的泊松比1/6。試求凹座壁上所受的壓力FN 。 FNxFNzFa圖(a)FNx解：混凝土塊在z方向受壓力F作用后，將在x、y方向發生伸長。但由于x、y方向受到座壁的阻礙，兩個方向的變形為零，即根據對稱性可知，試塊在x、y方向所受到的座壁反力FNx和FNy應相等，即47FNxFNyFNy圖(b)FNx由三向應力的胡克定律，有：由上式可解出：由于試塊較小，可近似認為應力分

15、布均勻，則48將有關數據代入，可得49單元體受力變形時其體積的改變率稱為體應變q。 123213 設單元體變形前三個邊長分別為dx、dy、dz，在受力變形后其邊長分別為dx(1+e1)、dy(1+e2)、dz(1+e3)，故體應變為：三、體應變的概念50將上式展開并略去高階微量e1e2、e2e3、e3e1、e1e2e3，再利用各向同性材料的廣義胡克定律可得： 在一般空間應力狀態下，由于單元體每一個平面內的切應力引起的純剪切相當于該平面內的二向等值拉壓，它們引起的體應變為零，故體應變只與三個線應變之和有關，即：51例137 一體積為10 mm10 mm10 mm的正方形鋼塊放人寬度也為10 mm

16、的鋼槽中如圖a所示。在鋼塊頂部表面作用一合力F8kN的均布壓力，試求鋼塊的三個主應力及體應變。已知材料的泊松比0.33，材料的彈性模量E = 200 GPa，且不計鋼槽的變形。 解：由分析可知，正方形鋼塊處于雙向應力狀態（圖b）。在 y方向的應力為壓應力，即(a)F(b)yxxy52在x方向，應變為零，則由廣義胡克定律而z = 0，代入上式，得因此，正方形鋼塊的三個主應力為由體積應變計算公式(1326)，可得53136 主應力跡線的概念 一、m-m截面上的主應力 （a）（b）（c）abcdemmmmmmxq54梁內任一點處的主應力及其方位角： 在梁內任一點處的非零主應力中，其中必有一個為拉應力

17、，另一個為壓應力。 55二、主應力跡線 根據梁內各點的主應力方向，可繪制兩組曲線。在一組曲線上，各點的切向即該點的主拉應力方向；而在另一組曲線上，各點的切向則為該點的主壓應力方向。上述曲線族稱為梁的主應力跡線。 在鋼筋混凝土梁中，主要承力鋼筋應大致沿主拉應力跡線配置，使鋼筋承擔拉應力，從而提高梁的承載能力。 FxF/2F/256137 強度理論概述 材料在簡單應力狀態下的強度可通過試驗加以測定。但是材料在復雜應力狀態下的強度，則不可能總是由試驗來測定。因而需要通過對材料破壞現象的觀察和分析尋求材料強度破壞的規律。人們根據長期的實踐和大量的試驗結果，對材料失效的原因提出了各種不同的假說，通常將這

18、些假說稱為強度理論。材料強度破壞的兩種類型： 1.沒有明顯塑性變形的脆性斷裂； 2.產生顯著塑性變形而喪失工作能力的塑性屈服。57一、最大拉應力理論（第一強度理論） 最大拉應力是引起材料斷裂的主要因素。無論材料處于何種應力狀態，只要最大拉應力1達到材料在單向拉伸試驗中發生脆性斷裂時的強度極限u，材料即發生斷裂。即材料斷裂破壞的條件為：相應的強度條件為：其中，s為對應于脆性斷裂的許用拉應力，ssu/n，其中n為安全因數。58二、最大拉應變理論（第二強度理論） 最大拉應變是引起材料斷裂的主要因素。無論材料處于何種應力狀態，只要最大拉應變1達到材料在單向拉伸試驗中發生脆性斷裂時的極限拉應變值u，材料

19、即發生斷裂。即材料斷裂破壞的條件為：復雜應力狀態下的最大拉應變為：而材料在單向拉伸斷裂時的最大拉應變為：59考慮安全因數后，第二強度理論的強度條件為：則材料斷裂破壞的條件可改寫為 當脆性材料處于雙向拉伸壓縮應力狀態，且應力值不超過拉應力值時，該理論與試驗結果基本符合。但對于脆性材料雙向受拉或受壓的情況，該理論與試驗結果卻完全不符。 60三、最大切應力理論（第三強度理論） 最大切應力是引起材料屈服的主要因素。無論材料處于何種應力狀態，只要最大切應力max達到材料在單向拉伸屈服時的最大切應力s ，材料即發生屈服破壞。即材料屈服破壞的條件為：復雜應力狀態下的最大切應力為：61而材料單向拉伸屈服時的最

20、大切應力則為 ：考慮安全因數后，第三強度理論的強度條件為：則材料屈服破壞的條件可改寫為 這一理論與試驗符合較好，比較滿意地解釋了塑性材料出現屈服的現象，因此在工程中得到廣泛應用。但對于三向等值拉伸情況，按該理論分析，材料將永遠不會發生破壞，這與實際情況不符。 62 構件因其形狀和體積發生改變而在其內部積蓄的能量，稱為變形能。通常將構件單位體積內所積蓄的變形能，稱為比能。比能可分為形狀改變比能和體積改變比能兩部分 。 該理論認為形狀改變比能是引起材料屈服的主要因素。無論材料處于何種應力狀態，只要形狀改變比能vd達到材料在單向拉伸屈服時的形狀改變比能極限值vdu，材料即發生屈服破壞。即材料屈服破壞

21、的條件為：四、形狀改變比能理論理論（第四強度理論） 63而材料單向拉伸屈服時的形狀改變比能極限值為 ：考慮安全因數后，第四強度理論的強度條件為：則材料屈服破壞的條件可改寫為三向應力狀態下的形狀改變比能為：64 需要指出的是，破壞形式不但與材料有關，還與應力狀態等因素有關。例如由低碳鋼制成的等直桿處于單向拉伸時，會發生顯著的塑性流動；但當它處于三向拉應力狀態時，會發生脆性斷裂。低碳鋼制圓截面桿在中間切一條環形槽，當該桿受單向拉伸時，直到拉斷時，也不會發生明顯的塑性變形，最后在切槽根部截面最小處發生斷裂，其斷口平齊，與鑄鐵拉斷時的斷口相仿，屬脆性斷裂。這是因為在截面急劇改變處有應力集中，屬三向拉應力狀態。相應的切應力較小，不易發生塑性流動之故。又如大理石在單向壓縮時，其破壞形式為脆性斷裂