1、2.3數學歸納法教學目標 了解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題。 教學重點：了解數學歸納法的原理第一課時一、歸納法對于某類事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情況，歸納出一般結論的推理方法，叫歸納法。歸納法 完全歸納法不完全歸納法由特殊 一般 特點:a2=a1+da3=a1+2da4=a1+3dan=a1+(n-1)d如何證明:1+3+5+(2n-1)=n2 (nN*)二、數學歸納法的概念證明某些與自然數有關的數學題,可用下列方法來證明它們的正確性:(1)驗證當n取第一個值n0(例如n0=1)時命題成立,(2)假設當n=k(kN* ，kn0 )時命題成立, 證明當n=k+

2、1時命題也成立完成這兩步，就可以斷定這個命題對從n0開始的所有正整數n都成立。這種證明方法叫做數學歸納法。驗證n=n0時命題成立若當n=k(kn0 )時命題成立, 證明當n=k+1時命題也成立命題對從n0開始的所有正整數n都成立。所以n=k+1時結論也成立那么求證注意 1.用數學歸納法進行證明時,要分兩個步驟,兩個步驟缺一不可.2(1)(歸納奠基)是遞推的基礎. 找準n0(2)(歸納遞推)是遞推的依據nk時命題成立作為必用的條件運用，而nk+1時情況則有待利用假設及已知的定義、公式、定理等加以證明證明：當n=1時，左邊=1，右邊=1，等式成立。 假設n=k(kN ,k1)時等式成立,即： 1+

3、3+5+(2k-1)=k2， 當n=k+1時： 1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1=k2+2k+1=(k+1)2， 所以當n=k+1時等式也成立。 由和可知，對nN ，原等式都成立。例、用數學歸納法證明1+3+5+(2n-1)=n2 （nN ）. 請問：第步中“當n=k+1時”的證明可否改換為：1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1= 1+3+5+(2k-1)+(2k+1)= = (k+1)2 ?為什么？例:用數學歸納法證明注意 1.用數學歸納法進行證明時,要分兩個步驟,兩個步驟缺一不可.2(1)(歸納奠基)是遞推的基礎. 找準n0(2)(歸納遞推)是遞推的依據nk時命題成立作為必

4、用的條件運用，而nk+1時情況則有待利用假設及已知的定義、公式、定理等加以證明例、求證:(n+1)(n+2)(n+n)=2n 1 3 (2n-1)證明： n=1時：左邊=1+1=2，右邊=211=2，左邊=右邊，等 式成立。 假設當n=k(kN ）時有： (k+1)(k+2)(k+k)=2k 1 3 (2n-1), 當n=k+1時： 左邊=(k+2)(k+3)(k+k)(k+k+1)(k+k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)(k+k) = 2k 1 3(2k-1)(2k+1)2 = 2k+11 3 (2k-1) 2(k+1)-1=右邊， 當n=k+1時等式也成立。 由 、可知，對一切nN

5、 ,原等式均成立。 作業:第二課時證明某些與自然數有關的數學題,可用下列方法來證明它們的正確性:(1)驗證當n取第一個值n0(例如n0=1)時命題成立,(2)假設當n=k(kN* ，kn0 )時命題成立, 證明當n=k+1時命題也成立完成這兩步，就可以斷定這個命題對從n0開始的所有正整數n都成立。這種證明方法叫做數學歸納法。注意 1.用數學歸納法進行證明時,要分兩個步驟,兩個步驟缺一不可.2(1)(歸納奠基)是遞推的基礎. 找準n0(2)(歸納遞推)是遞推的依據nk時命題成立作為必用的條件，而nk+1時情況則有待利用假設及已知的定義、公式、定理等加以證明回顧例:已知數列 計算 ,根據計算的結果

6、,猜想 的表達式,并用數學歸納法進行證明.例:是否存在常數a、b,使得等式: 對一切正整數n都成立,并證明你的結論.點撥:對這種類型的題目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系數,然后用數學歸納法證明它對一切正整數n都成立.解:令n=1,2,并整理得以下用數學歸納法證明:(2)假設當n=k時結論正確,即:則當n=k+1時,故當n=k+1時,結論也正確.根據(1)、(2)知,對一切正整數n,結論正確.(1)當n=1時,由上面解法知結論正確.例:比較 2n 與 n2 (nN*)的大小注：先猜想，再證明解：當n=1時，2n=2,n2=1, 2nn2 當n=2時，2n=4,n2=4, 2n=n2 當n=

7、3時，2n=8,n2=9, 2nn2 當n=6時，2n=64,n2=36, 2nn2猜想當n5時，2nn2(證明略)例:平面內有n條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不過同一點,證明交點的個數f(n)=n(n-1)/2.說明:用數學歸納法證明幾何問題,重難點是處理好當n=k+1時利用假設結合幾何知識證明命題成立.注:在上例的題設條件下還可以有如下二個結論:(1)設這n條直線互相分割成f(n)條線段或射線,-則: f(n)=n2.(2)這n條直線把平面分成(n2+n+2)/2個區域.:平面內有n條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不過同一點,證明這n條直線把平面分成f(n)(n2+n+2)/2個區域.作業：1:n邊形有f(n)條對角線,則凸n+1邊形的對角線