1、空間向量與空間角練習題空間向量與空間角練習題14/14空間向量與空間角練習題課時作業(二十)學業水平層次一、選擇題1若異面直線l1的方向向量與l2的方向向量的夾角為150，則l1與l2所成的角為()A30B150C30或150D以上均不對【分析】l1與l2所成的角與其方向向量的夾角相等或互補，且異面直線所成角的范圍為0，2.應選A.【答案】A2已知A(0,1,1)，B(2，1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，則直線AB與直線CD所成角的余弦值為()522522A.66B66522522C.22D22【分析】AB(2，2，1)，CD(2，3，3)，5522ABCDcosAB，CD|66

2、，|322ABCD522直線AB、CD所成角的余弦值為66.【答案】A3正方形ABCD所在平面外一點P，PA平面ABCD，若PAAB，則平面PAB與平面PCD的夾角為()A30B45C60D90【分析】如下圖，成立空間直角坐標系，設PAAB1.則A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)于是AD(0,1,0)取PD中點為E，1則E0，2，2，11AE0，2，2，易知AD是平面PAB的法向量，AE是平面PCD的法向量，cos2AD，AE2，平面PAB與平面PCD的夾角為45.【答案】B4(2014陜西師大附中高二檢測)如圖3-2-29，在空間直角坐標系Dxyz中，四棱柱ABCDA1B1

3、C1D1為長方體，AA1AB2AD，點E、F分別為C1D1、A1B的中點，則二面角B1-A1B-E的余弦值為()圖3-2-293333A3B2C.3D.2【分析】設1，則1(1,0,2)，(1,2,0)，由于、分別ADABEF為C1D1、A1B的中點，所以E(0,1,2)，F(1,1,1)，所以A1E(1,1,0)，A1B(0,2，2)，設m(x，y，z)是平面A1BE的法向量，則xy0，yx，A1Em0，所以取x1，則2y2z0，所以yz，ABm0，1yz1，所以平面ABE的一個法向量為m(1,1,1)，又DA平面1ABB，所以DA(1,0,0)是平面ABB的一個法向量，所以cosm，DA1

4、11113mDAAB-E為銳二面角，所以二面角33，又二面角B-11|m|DA|B-AB-E的余弦值為33，應選C.11【答案】C二、填空題5棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別為A1B1、BB1的中點，則異面直線AM與CN所成角的余弦值是_【分析】依題意，成立如下圖的坐標系，則A(1,0,0)，11M1，2，1，C(0,1,0)，N1，1，2，11AM2CN2122cosAM，CN555，222故異面直線AM與CN所成角的余弦值為5.2【答案】56(2014臨沂高二檢測)在空間直角坐標系Oxyz中，已知A(1，2,0)、B(2,1，6)，則向量AB與平面xOz的法向量的夾

5、角的正弦值為_【分析】設平面xOz的法向量為n(0，t,0)(t0)，AB(1,3，3tnAB6)，所以cosn，AB4|t|，由于n，AB0，|n|AB|3t27，所以sinn，AB14|t|4.7【答案】47已知點E，F分別在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，則平面AEF與平面ABC所成的二面角的正切值等于_【分析】如圖，成立空間直角坐標系設正方體的棱長為1，平面ABC的法向量為n1(0,0,1)，平面AEF的法向量為n2(x，y，z)所以(1,0,0)，E1，1，1，F0，1，2，A33所以0，1，1，1，0，1，AE3EF312y3z0

6、，即則1n2EF0，x3z0.2取x1，則y1，z3.故n(1，1,3)n1n2311所以cosn1，n2|n1|n2|11.所以平面AEF與平面ABC所成的二面角的平面角知足cos31122211，sin11，所以tan3.【答案】23三、解答題如圖3-2-30所示，在四周體ABCD中，O，E分別是BD，BC的中點，CACBCDBD2，ABAD2.圖3-2-30求證：AO平面BCD；求異面直線AB與CD所成角的余弦值【解】(1)證明：連接OC，由題意知BODO，ABAD，AOBD.又BODO，BCCD，COBD.在AOC中，由已知可得AO1，CO3，222又AC2，AOCOAC，AOC90，

7、即AOOC.BDOCO，AO平面BCD.以O為坐標原點成立空間直角坐標系，則B(1,0,0)，D(1,0,0)，C(0，3，0)，A(0,0,1)，13，E，2，023，0)，BA(1,0,1)，CD(1，CD2cosBA，CD4.|BA|CD|2異面直線AB與CD所成角的余弦值為4.9四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，點E在棱PB上求證：平面AEC平面PDB；當PD2AB且E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成的角的大小【解】如圖，以D為原點成立空間直角坐標系Dxyz，設ABa，PDh，則A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，P(0,0，

8、h)，AC(a，a,0)，DP(0,0，h)，DB(a，a,0)，ACDP0，ACDB0，ACDP，ACDB，又DPDBD，AC平面PDB，又AC?平面AEC，平面AEC平面PDB.(2)當PD2AB且E為PB的中點時，P(0,0，2a)，E1，1，2，2a2a2aa設ACBDO，O2，2，0，連接OE，由(1)知AC平面PDB于O，AEO為AE與平面PDB所成的角，1，1，22EA，EO，2a2a2a002a2EAEOcosAEO2，|EA|EO|AEO45，即AE與平面PDB所成的角的大小為45.能力提高層次1已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中，ABBC1，AA12，E是側棱BB1的

9、中點，則直線AE與平面A1ED1所成角的大小為()A60B90C45D以上都不對【分析】以點D為原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸，成立空間直角坐標系，如圖由題意知，A1(1,0,2)，E(1,1,1)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)，所以A1E(0,1，1)，D1E(1,1，1)，EA(0，1，1)設平面A1ED1的一個法向量為n(x，y，z)，yz0，nA1E0，則?xyz0.nD1E0令z1，得y1，x0，所以n(0,1,1)，2nEAcosn，EA1.22|n|EA|所以n，EA180.所以直線AE與平面A1ED1所成的角為90.【答案】B2在空間中，已知平

10、面過(3,0,0)和(0,4,0)及z軸上一點(0,0，a)(a0)，假如平面與平面xOy的夾角為45，則a_.【分析】平面xOy的法向量為n(0,0,1)，設平面的法向3x4y0，量為u(x，y，z)，則3xaz0，aa即3x4yaz，取z1，則u3，4，1.而cosn，u12a2a22，916112又a0，a5.12【答案】5三棱柱ABC-A1B1C1，CACC12CB，則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為()圖3-2-3155A.5B.3253C.5D.5【分析】不如設CACC12CB2，則AB1(2,2,1)，C1B(0，2,1)，AB1C1B所以cosAB1，C1B|AB1|C1B

11、|2022115955.115由于直線BC與直線AB夾角為銳角，所以所求角的余弦值為5.【答案】A如圖，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，點D是BC的中點圖3-2-32求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值【解】(1)以A為坐標原點，成立如下圖的空間直角坐標系Axyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以A1B(2,0，4)，C1D(1，1，4).18310A1BC1D由于cosAB，CD10，11201811|AB|CD|310所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為10.設平面ADC1的法向量為n1(x，y，z)，由于AD(1,1,0)，