1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 20 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 20 頁2023屆山西省高三上學期第一次摸底數(shù)學試題一、單選題1，則（）ABCD【答案】A【分析】由根式的性質求定義域得集合，由二次函數(shù)性質求值域得集合，應用集合交運算求結果.【詳解】由題設或，所以.故選：A2已知復數(shù)，在復平面上對應的點分別為，若四邊形為平行四邊形（為復平面的坐標原點），則復數(shù)的模為（）AB17CD15【答案】A【分析】令，結合已知有，列方程求參數(shù)a、b，進而求復數(shù)的模.【詳解】若，則，而，由四邊形為平行四

2、邊形（為復平面的坐標原點），所以，即，則，所以.故選：A3已知平面向量，滿足，與的夾角為，在方向上的投影向量為（）ABCD1【答案】C【分析】根據(jù)向量數(shù)量積、投影向量的定義求在方向上的投影向量.【詳解】由在方向上的投影向量為.故選：C4如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸，的俯角分別為75，30，若河流的寬度是60，則此時氣球的高度等于（）ABCD【答案】B【分析】在中，利用正弦定理求出，再根據(jù)氣球的高度等于即可得解.【詳解】解：在中，則,因為，所以，所以氣球的高度為.故選：B.5從屬于區(qū)間的整數(shù)中任取兩個數(shù)，則至少有一個數(shù)是合數(shù)的概率為（）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)至少一個合數(shù)分兩類考

3、慮：只有一個合數(shù)和兩個都是合數(shù)，即可根據(jù)組合進行求解.【詳解】區(qū)間內的整數(shù)共有9個，則合數(shù)有4，6，8，9，10，故至少有一個是合數(shù)的概率為故選：B6函數(shù)在R上不單調，則的取值范圍是（）ABCD【答案】D【分析】對求導，根據(jù)定義域上有正有負及三角函數(shù)的性質確定參數(shù)范圍.【詳解】由，而，要使在R上不單調，則 .故選：D7水平放置的等邊三角形邊長為，動點位于該平面上方，三棱錐的體積為，且三棱錐的外接球球心到底面的距離為2，則動點的軌跡周長為（）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)三棱錐的外接球球心到底面的距離為2和的外接圓的半徑，求得外接球的半徑，再根據(jù)三棱錐的體積為，得到點到面的距離，從而得到動點的軌

4、跡是一個截面圓的圓周，求解截面圓的半徑及周長即可【詳解】解：設三棱錐的高為，因為三棱錐的體積為，所以，解得，設的外接圓的半徑為，則，因為三棱錐的外接球球心到底面的距離為2，所以外接球的半徑為，因為點到面的距離為4，所以動點的軌跡是一個截面圓的圓周，且球心到該截面的距離為，所以截面圓的半徑為，所以動點的軌跡長度為.故選：C.8在平面直角坐標系中，已知，為圓上兩動點，點，且，則的最大值為（）ABCD【答案】D【分析】令為中點，根據(jù)直角三角形性質，圓中弦長、弦心距、半徑的幾何關系求得軌跡為圓，求定點到所得圓上點距離的最大值，結合即可求結果.【詳解】由，要使最大只需到中點距離最大，又且，令，則，整理得

5、，所以軌跡是以為圓心，為半徑的圓，又，即在圓內，故，而，故.故選：D【點睛】關鍵點點睛：利用圓、直角三角形的性質求中點的軌跡，再求定點到圓上點距離最值即可.二、多選題9已知變量，之間的經驗回歸方程為，且變量，之間的一組相關數(shù)據(jù)如下表所示，則下列說法正確的是（）23452.534.5AB由表格數(shù)據(jù)知，該經驗回歸直線必過C變量，呈正相關D可預測當時，約為9.05【答案】ABC【分析】由平均值求法及樣本中心在回歸直線上可得，即可判斷A、B；根據(jù)回歸直線系數(shù)判斷C；應用回歸直線估計對應，判斷D.【詳解】由題設，則，又，故，則，A正確；由上知：樣本中心為，回歸直線必過該點，B正確；由回歸方程知：，呈正相

6、關，C正確；，D錯誤.故選：ABC10如圖，在所有棱長均為2的正三棱柱中，點是棱的中點，過點作平面與平面平行，則（）A當時，截正三棱柱的截面面積為B當時，截正三棱柱的截面面積為C截正三棱柱的截面為三角形，則的取值范圍為D若，則截正三棱柱的截面為四邊形【答案】ABD【分析】利用平面的基本性質畫出不同對應的截面圖形，結合已知求它們的面積判斷各選項正誤.【詳解】A：時，過作與面平行的平面，如下圖面且為中點，所以故上的高為，此時截面面積為，正確；B：時，過作與面平行的平面，如下圖面且為中點，所以，則，故，此時截面面積為，正確；C：由B知：時，平面與的截面也為三角形，錯誤；D：若為中點，當在上（不含端點

7、）時，即，利用平面的基本性質畫出平面與的截面如下圖示：結合上述分析：過程中，截面為四邊形，正確；故選：ABD11已知函數(shù)，則（）A存在，使得為奇函數(shù)B任意，使得直線是曲線的對稱軸C最小正周期與有關D最小值為【答案】ABC【分析】舉例，如，即可判斷A；判斷與是否相等，即可判斷B；距離如和，即可判斷C；令，則，利用換元法結合二次函數(shù)的性質即可判斷D.【詳解】解：對于A，當時，因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以存在，使得為奇函數(shù)，故A正確；對于B，因為，所以函數(shù)關于對稱，即任意，使得直線是曲線的對稱軸，故B正確；對于C，當時，最小正周期，當時，因為，所以不是函數(shù)的周期，所以最小正周期與有關，故C正確；對于

8、D，令，則，則，則有，當，即時，當，即時，當，即時，所以，故D錯誤.故選：ABC.12已知函數(shù)，則（）A當或時，有且僅有一個零點B當或時，有且僅有一個極值點C若為單調遞減函數(shù)，則D若與軸相切，則【答案】AD【分析】根據(jù)零點的定義可得的零點即方程的根，利用導數(shù)研究函數(shù)的性質，結合圖像判斷A，由導數(shù)的幾何意義判斷D，根據(jù)導數(shù)與函數(shù)的單調性的關系求的范圍，由此判斷C，結合單調性與極值的定義判斷B.【詳解】令可得，化簡可得，設，則，當，函數(shù)在單調遞減，當，函數(shù)在單調遞增，又，由此可得函數(shù)圖像如下：所以當或時，有且僅有一個零點所以當或時，有且僅有一個零點，A對，函數(shù)的定義域為，若與軸相切，設與軸相切相切

9、與點，則，所以，所以，故D正確；若為單調遞減函數(shù)，則在上恒成立，所以在上恒成立，設，則，當時，函數(shù)單調遞減，當時，函數(shù)單調遞增，且，當時，由此可得函數(shù)的圖像如下：所以若為單調遞減函數(shù)，則，C錯，所以當時，函數(shù)在上沒有極值點，B錯，故選：AD.【點睛】本題為函數(shù)綜合性問題，涉及函數(shù)的零點，導數(shù)的幾何意義，根據(jù)函數(shù)的單調性求參數(shù)，函數(shù)的極值，考查的知識點較多，要求具有扎實的基礎知識，較強的解題能力.三、填空題13二項式的展開式中含項的系數(shù)為24，則_【答案】【分析】寫出二項式展開式的通項公式，根據(jù)已知項系數(shù)求參數(shù)a即可.【詳解】由二項式展開式通項為，且項的系數(shù)為24，所以，可得.故答案為：14，三

10、個數(shù)中最小的是_【答案】【分析】將問題轉化為比較、的大小關系，應用作差法、對數(shù)的運算及對數(shù)函數(shù)性質比較大小即可.【詳解】由，所以只需比較、的大小關系即可，而，則，又，綜上，最小數(shù)為，即最小.故答案為：15已知拋物線，過點和點做兩條斜率為2的平行線，分別與拋物線相交于點，和點，得到一個梯形若存在實數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍為_【答案】【分析】寫出直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，利用弦長公式求出、，由點到直線的距離公式求出點到直線的距離，求出梯形的面積，得到與的關系式，結合的范圍計算即可【詳解】設點，、，,代入可得：，所以所以，點到直線的距離為，同理可求得：，故答案為：四、雙空題16等差數(shù)列的前項和，

11、則數(shù)列的通項公式為_；的最小值為_【答案】 【分析】根據(jù)與的關系求出數(shù)列的通項，再根據(jù)數(shù)列是等差數(shù)列，求出，即可求得數(shù)列的通項，再利用二次函數(shù)的性質即可求出的最小值.【詳解】解：由，當時，當時，則，又因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，所以，所以；則，又，所以當時，取得最小值.故答案為：；.五、解答題17已知數(shù)列中，是公差為2的等差數(shù)列(1)求的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義求出，從而可求出的通項，再利用累加法即可求出答案；（2）利用裂項相消法求解即可.【詳解】(1)解：因為是公差為2的等差數(shù)列，所以，即，所以，則，所以，則，累加得，所以；(2)解

12、：，則.18在中，內角，所對的邊分別為，為上一點，(1)若，求；(2)若，當面積取最小值時，求的值【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用正余弦定理及三角形內角性質求；（2）且、求得，關于參數(shù)的表達式，再應用三角形面積公式及二次函數(shù)性質確定面積最小對應的參數(shù)值，最后應用余弦定理求的值【詳解】(1)令，又，所以，即，則，即，又，則，故.(2)由題設，且，所以，又，則，而，所以，當時，有最小值，此時，所以.19四棱錐中，四邊形為梯形，其中，平面平面(1)證明：；(2)若，且與平面所成角的正弦值為，點在線段上且滿足，求二面角的余弦值【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）由題設可得，利用面

13、面垂直的性質可得面，再由線面垂直的性質證；（2）若為中點，連接，首先求證，兩兩垂直，構建空間直角坐標系，確定相關點坐標并令且，根據(jù)線面角及向量夾角的坐標表示求參數(shù)m，進而可得，再求面、面的法向量，應用向量夾角的坐標運算求二面角余弦值.【詳解】(1)由題設，為等邊三角形，則，又四邊形為梯形，則，在中，即，面面，面面，面，則面，又面，故.(2)若為中點，則，面面，面面，面，則面，連接，則，且面，故，綜上，兩兩垂直，構建以為原點，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標系，所以，若且，則，而面的一個法向量為，所以，可得，故，所以，若是面的一個法向量，則，取，若是面的一個法向量，則，取，所以，由圖知：銳二面

14、角的余弦值.20高中生的數(shù)學閱讀水平與其數(shù)學閱讀認知、閱讀習慣和方法等密切相關為了解高中生的數(shù)學閱讀現(xiàn)狀，調查者在某校隨機抽取100名學生發(fā)放調查問卷，在問卷中對于學生每周數(shù)學閱讀時間統(tǒng)計如下：時間（小時/周）0人數(shù)20403010(1)為了解學生數(shù)學閱讀時間偏少的原因，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣從這100名學生中隨機抽取10名學生，再從這10人中隨機抽取2名進行詳細調查，求這2名學生中恰有一人每周數(shù)學閱讀時間大于0.5小時的概率；(2)用頻率估計概率，從該校所有學生中隨機抽取10名學生，用表示這10名學生中恰有名學生數(shù)學閱讀時間在小時的概率，求取最大值時對應的的值【答案】(1)(2)4

15、【分析】(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，即可知10人有4人閱讀時間大于0.5，由組合即可求解概率，(2)將頻率視為概率則，利用二項分布概率公式及不等式法求取得最大時對應的值【詳解】(1)抽取的10人中，周閱讀時間大于0.5小時的有4人，小于等于0.5小時的有6人， 故恰有一人每周數(shù)學閱讀時間大于0.5小時的概率為(2)周閱讀時間在小時的頻率為，故概率為，則，所以，由得：，化簡得解得，又，故，21已知橢圓的左、右焦點分別是，點，若的內切圓的半徑與外接圓的半徑的比是(1)求橢圓的方程；(2)過的左焦點作弦，這兩條弦的中點分別為，若，證明：直線過定點【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）由內切圓半徑與

16、三角形面積關系、外接圓半徑與弦長和弦心距關系列方程組求橢圓參數(shù)，即可得橢圓方程；（2）討論直線斜率都存在或一條斜率不存在，設直線方程、并聯(lián)立橢圓，應用韋達定理用表示出，坐標，進而寫出直線方程，即可證是否過定點.【詳解】(1)由題設，又，若內切圓半徑為，則外接圓半徑為，所以，即，而，即，綜上，即，可得，所以，則.(2)當直線斜率都存在時，令為，聯(lián)立，整理得：，且，所以，則，故，由，即，故為，聯(lián)立，所以，有，則，故，所以，則為，整理得，所以過定點；當一條直線斜率不存在時對應，故即為x軸，也過定點；綜上，直線過定點22已知函數(shù)(1)求的單調區(qū)間；(2)證明：有且僅有兩個實根，且兩個實根互為相反數(shù)；(

17、3)證明：存在兩條直線，使，既是曲線的切線，也是曲線的切線，且，斜率之積為1【答案】(1)遞增區(qū)間為；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【分析】（1）利用導數(shù)研究的區(qū)間單調性即可，注意定義域范圍；（2）將問題轉化為在上有兩個零點且互為相反數(shù)，利用導數(shù)研究其零點分布，并判斷零點的數(shù)量關系即可；（3）設與都相切的直線為，切點分別為，利用導數(shù)幾何意義及斜率公式可得，進一步整理得，構造且，利用導數(shù)研究其零點個數(shù)及其數(shù)量關系即可.【詳解】(1)由題設且，當時，故遞增，當時，故遞增，綜上，遞增區(qū)間為.(2)要證有且僅有兩實根，即證在上有兩個零點，而，所以，故上，遞減；上，遞增；而上，所以存在使，綜上，且上，上，所以在上遞減，上遞增，所以在上各有一個零點，為，所以，即，故，