1、機目上下返機目上下返結第十三正、負項相間的級數稱為交錯級數定或)n1u其中u )nnn定理1 (交錯級數判別法eibniz判別法如果交錯級數正、負項相間的級數稱為交錯級數定或)n1u其中u )nnn定理1 (交錯級數判別法eibniz判別法如果交錯級數滿足條1), 2)1(n尼()limu1, rn的絕對值n和 則級數收|n機目上下返結L1(n lims2n s分u3 usun4n數列s2n是單調由條件1(n lims2n s分u3 usun4n數列s2n是單調由條件 u2 )2n23ns2n是有界的 2機目上下返結()limun 證2由條件(2):liuu2 limslim()limun 證

2、2由條件(2):liuu2 limslim級數收斂于和s, 1.余項rn ( 滿足收斂的兩個條件定理證畢機目上下返結例證明交錯級數1111 n11 npnp23p收斂，并估1因u 例證明交錯級數1111 n11 npnp23p收斂，并估1因u 需證u 遞減趨解nnnp11 且n1pnnp審斂知級數收斂由且1n1p機目上下返結p 1得收斂級注n1 1n11 1 nnp 1得收斂級注n1 1n11 1 nn23n1(第五節ln和為ln絕對值級n1n1 n1)收斂發散2n1nn與nn 斂散性的關系？:問機目上下返結例判定下列級數的斂散性11111)(1)(1)n1 n1收n1n!n2311 1 1n

3、!2)例判定下列級數的斂散性11111)(1)(1)n1 n1收n1n!n2311 1 1n!2) 3! 2n3)(1)收問上述級數的絕對值級數 是否收?n1n1n1n發散;1n1收斂收斂n2n1n!任意項級數un, un 可正,可負定義若級數 收斂，則級un必定任意項級數un, un 可正,可負定義若級數 收斂，則級un必定收定理是注上述定理的逆定理是否成立否 1n例如交錯級收斂1n發散機目上下返結任意項級正項級un即收| 設收斂證nn2 正u|)(nn2un即收| 設收斂證nn2 正u|)(nn2vn收斂且顯然又 un收斂(機目上下返結比較判別則稱un若|絕對收斂收斂定義若un收斂,則稱u

4、n若|則稱un若|絕對收斂收斂定義若un收斂,則稱un若|發散條件收斂絕對收斂必收斂，但收斂不一定絕對 p；條件收斂1例如pnp 絕對收斂機目上下返結n!級數例條件收斂、絕對收斂還 sin1收斂u,解而2ninn!級數例條件收斂、絕對收斂還 sin1收斂u,解而2nin收斂n2in絕對收斂即n2機目上下返結(1)n 例證絕對收.en證（n2nlim n因nn(1)n 例證絕對收.en證（n2nlim n因nnnen 1 en n 因此 )故收斂)絕對收斂enen機目上下返結n例4判別級n1的斂散nu ，(1)n解nnnn1絕對收n例4判別級n1的斂散nu ，(1)n解nnnn1絕對收斂1n(n

5、 vnnnn1v發散而發散nn機目上下返結條件收斂nn需判定分遞減、趨nn fu fnn1(條件收斂nn需判定分遞減、趨nn fu fnn1(x10)x10 f(x)(x(xx(x當 10 x 單調減少，機目上下返結(n)故當n101 即 limn又lim nnnn n(n)故當n101 即 limn又lim nnnn nnnn1由萊尼布茨判收斂nn綜合12n1條件收斂n機目上下返結注用判別法判斷交錯級是否收斂時nnun是否單調減少有以下三種注用判別法判斷交錯級是否收斂時nnun是否單調減少有以下三種?n ?(2差值：1 Nu(3由un f (f?再n機目上下返結 un收斂n1 un發散n1關

6、（一般地但特殊地， un收斂n1 un發散n1關（一般地但特殊地，n1定理設任意項級lim (nnnnunn1則級機目上下返結lim 證 n(n Nlim 于是unnlim 證 n(n Nlim 于是unn1lim 從而（用比值法根值法判u 發散說明nn1機目上下返結級數是絕收斂、條件收斂還是例nnn 解,nn1nn1n1 nlim 比級數是絕收斂、條件收斂還是例nnn 解,nn1nn1n1 nlim 比值法判又nnn lim(1 1nne發散nnn發散由定理3n機目上下返結1 .判斷正項級數否？im unn是或不能肯 1 .判斷正項級數否？im unn是或不能肯 比值可判 nimn 根機目上

7、下返結（比值（可判根值比較審斂法部分和極限比比值（可判根值比較審斂法部分和極限比值法、根失效機目上下返結2. 任意項級數審斂 收斂n(1) 利用部分和極限2. 任意項級數審斂 收斂n(1) 利用部分和極限發散在 發(2利用收斂的必要條件: lim n(3) 利用正項級數審n1判un收斂n1 交錯級數(1)nun收斂判別法 u 發散判un發 n1n1比較審斂根值審斂例1. 判別級數的斂散性p解1n 例1. 判別級數的斂散性p解1n , 故原級數發1n故原級數發散 機目上下返結問級例2設級是否也收斂？說明理由提示: 對正項級數,由比較判別但對任意項級數卻不一定收斂問級例2設級是否也收斂？說明理由提

8、示: 對正項級數,由比較判別但對任意項級數卻不一定收斂 收斂1vn n例如n1limnlimnn , 級機目上下返結A例3 設a(A(B絕對收斂(C(D) 收斂或發散與a的取值有關分析絕對A例3 設a(A(B絕對收斂(C(D) 收斂或發散與a的取值有關分析絕對收由性質知發散，選而發發散例證明級機目上下返結n設為常數且 (1) ( n則級)B條件收斂D. 收斂性與A發散C正項級n(1)nn設為常數且 (1) ( n則級)B條件收斂D. 收斂性與A發散C正項級n(1)n( 2解)22n 由于而收斂2 2n1 n2n機目上下返結則級數設常數k 2nA發散BD. kC. 解k1n nn)則級數設常數k

9、 2nA發散BD. kC. 解k1n nn)絕對收條件收機目上下返結例設則級C(A(C例設則級C(A(C(B絕對收斂(D) 收斂性根據條件不能確定分析(B機目上下返結又于級數收故選所以原級數又于級數收故選所以原級數條件收機目上下返結證明：級例設級收斂提示: 先求部分Sn 證明：級例設級收斂提示: 先求部分Sn k1ak1 ak 2a2 a13a3 a2 4a4n1an1 an a1 ak n1an1knka3 5a5a4n機目上下返結為正項數列例設證明（1）級收斂（2）收斂 1 1 n （1）部分 S nSSS為正項數列例設證明（1）級收斂（2）收斂 1 1 n （1）部分 S nSSSk2k1nk又是單調遞增數列 1 limnnxS1機目上下返結（2）是單調遞增數列11=由比較審斂收收斂也收斂例8（1（2）是單調遞增數列11=由比較審斂收收斂也收斂例8（1）若數（2）絕對收斂收斂機目上下返結0u 1u +u 1u2+ 1 2n2 判別級n2是否收斂?收斂,是絕對收斂還是條件收斂 12解判別級n2是否收斂?收斂,是絕對收斂還是條件收斂 12解 n inn 121osn2 (1)n sin1 (1)n sin212n2正12為交錯級數機目上下返結(1)n2(1 n12 sin12根據比較判別法(1)n2(1 n12 sin12根據比較判別法的極限形式si