1、第 2 章 結構可靠性的概率統計基礎第 2 章 結構可靠性的概率統計基礎2.1 隨機變量2.2 隨機向量2.3 隨機變量的統計推斷2.4 隨機過程初步 2. 1 隨機變量第 2 章 結構可靠性的概率統計基礎2.1.1 隨機變量的定義 描述隨機事件的變量,隨機事件如:拋硬幣, 材料強度等; 隨機變量分離散隨機變量和連續隨機變量。2.1.2 描述隨機變量的基本函數1. 概率函數離散隨機變量對隨機變量進行描述的函數有:概率函數,概率分布函數和概率密度函數。離散隨機變量 取一個特定值 （實數）的概率。2. 1 隨機變量2. 概率分布函數離散隨機變量和連續隨機變量隨機變量 小于特定值 （實數）的概率，即

2、 小于 的概率函數的和。3. 概率密度函數連續隨機變量2. 1 隨機變量中心矩：4 二階原點矩和二階中心矩的關系5 均方差(標準差)6 變異系數2. 1 隨機變量2.1.4 常用隨機變量1. 均勻隨機變量2. 1 隨機變量主要用于隨機抽樣標準正態隨機變量PDF:CDF:由標準正態隨機變量可以得到任意正態隨機變量，2. 1 隨機變量3 對數正態隨機變量如果 是正態隨機變量,則 是對數正態隨機變量, 2. 1 隨機變量主要用于描述抗力 4 極值隨機變量極值型隨機變量用來描述極端事件。如： 為一年的風速序列，則 就可以用極值型隨機變量了描述。CDF:PDF:仍是極值隨機變量。，2. 1 隨機變量主要

3、用于描述活荷載第 2 章 結構可靠性的概率統計基礎2. 2 隨機向量2.2.1 隨機向量基本概念隨機向量是一組隨機變量的集合2. 隨機向量的描述函數1.隨機向量的定義聯合概率分布函數聯合概率函數聯合概率密度函數2. 2 隨機向量協方差矩陣相關系數矩陣2. 2 隨機向量 C和 均為對稱矩陣; 如果變量間為兩兩不相關, 則協方差矩陣和相關系數矩陣的特點2. 2 隨機向量2.2.2 隨機變量函數的統計參數1. 隨機變量的線性函數 令Y為隨機變量 的線性函數:式中 是常系數。隨機變量函數的均值和方差2. 2 隨機向量如果隨機變量相互獨立時當 2. 2 隨機向量2. 隨機變量的非線性函數 令Y為隨機變量

4、 的非線性函數:隨機變量函數的均值和方差2. 2 隨機向量 對函數Y在均值點 泰勒級數展開，保留線性項：如果隨機變量相互獨立時當 2. 2 隨機向量2.4 隨機變量的統計推斷第二章 結構可靠性的概率統計基礎 客觀世界的總體一般都可以用隨機變量來模擬。而這種隨機變量的數量規律是從大量實際事件中總結出來的，要得到這一規律，人們不可能從隨機現象的全部事件進行觀測和分析，只能對它們作有限數量的觀測和分析。從局部的觀測去估計和分析整體的隨機規律性，要用統計推斷的方法。 涉及可靠性統計的內容，其基本內容與概率論與數理統計學過的內容類似.2.4 隨機變量的統計推斷 1總體：研究對象的某項數量指標的值的全體。

5、個體：總體中的每個元素為個體。定義：設X 是具有分布函數F 的隨機變量，若是具有同一分布函數F 的相互獨立的隨機變量，則稱 為從總體X 中得到的容量為n的簡單隨機樣本，簡稱為樣本，其觀察值 稱為樣本值。例如：某工廠生產的燈泡的壽命是一個總體，每一個燈泡的壽命是一個個體；某學校男生的身高的全體一個總體，每個男生的身高是一個個體。注：根據所包含的個體個數是否有限可把總體分為有限總體和無限總體.2.4.1 總體、個體和樣本 2.4 隨機變量的統計推斷 32. 常用的統計量2.4 隨機變量的統計推斷 4它們的觀察值分別為：這些觀察值仍分別稱為樣本均值、樣本方差、樣本標準差、樣本k階矩、樣本k階中心矩。

6、則常用統計量的數字特征2.4 隨機變量的統計推斷 5結論：設為來自總體 的一個樣本，2-3-1 基本概念 1總體、個體和樣本 2統計量與抽樣分布 3順序統計量2-3-2 分布參數的估計 1點估計 1）矩估計法 2）極大似然估計法 2區間估計2-3-3 總體分布函數的假設檢驗 12檢驗法 2KS檢驗法 3區分分布類型的似然比檢驗法2.4 隨機變量的統計推斷 6本節其它內容自學2.6 隨機過程初步第二章 結構可靠性的概率統計基礎 隨著結構可靠性研究的進一步深入，結構設計基本變量的數學模型逐步引進了時間概念，使數學模型更能反映基本變量的客觀實際。如公路橋梁機動車輛荷載隨時間變化的研究，風荷載，雪荷載

7、，人群荷載，溫度作用等隨時間變化的統計特征研究等，都需要依賴于時間參數 t 的隨機量 X(t) 作為數學模型。常見的一類依賴于時間參數的隨機量就是所謂的隨機過程X(t) 。4. Central Limit Theory(1) Sum of Random VariablesLet the function Y be the sum of n statistically independent random variables whose probability distributions are arbitrary.The central limit theory states that as

8、n approaches infinity, the sum of these independent random variables approaches a normal probability distribution if none of the random variables tends to dominate the sum.AssumptionsTheoremIf we have a function defined as the sum of a large number of random variables, then we would expect the sum t

9、o be approximately as a normally distributed.ConclusionsThe sum of variables is often used to model the total load on a structure. Therefore, the total load can be approximated as a normal variable.2.5 隨機變量的統計處理 11.5 Probability Foundations for Structural Reliability Theory 37(2) Product of Random V

10、ariablesLet Y be a product of n statistically independent random variables of the form:AssumptionsTransformation and TheoremIf we have a product of many independent random variables, then the product approaches a lognormally distribution.ConclusionsThe product of variables is often used to model the

11、 resistance (or capacity) of a structure or structural component. Therefore, the resistance can be approximated as a lognormal variable.By using the central limit theorem, we can conclude that as n approaches infinity, approaches a normal probability distribution . If is normal, then Y must be logno

12、rmal.1.5 Probability Foundations for Structural Reliability Theory 381.5.9 Simulation of Random Variables1. Generation of Random NumbersGeneration of a uniformly distributed random number U between 0 and 1Generation of a uniformly distributed random number X between any any two values a and b ( ) MA

13、TLAB Function: randGeneration of standard normal random numbersGeneration of general normal random numbersGeneration of lognormal random numbers1.5 Probability Foundations for Structural Reliability Theory 39Generation of an arbitrary distributed random numbersCorrelated normal random variables 2. S

14、imulation of Correlated Normal Random Variableseigenvalue and eigenvector analysis Step1:Step2:Step3:Step4: Generation of the uncorrelated normal random number vectorwith andStep5: Generation of the correlated normal random number vector1.5 Probability Foundations for Structural Reliability Theory 403. Random Number Generators in MATLABrand: Uniformly distributed random number random: Parameterized random number routinenormrnd: Normal (Gaussian) random numberslognrnd: Lognormal random numbersweibrnd: Weibull rando