1、不識廬山真面目，只緣身在此山中 以反比例函數和幾何的綜合問題為例培養學生的數學問題解決能力 師大一中 張志勛學好數學離不開解題，而解題除了用到必要的基礎知識和基本能力外，還要有良好的數學素養、學習經驗，具備必要的數學核心素養和核心能力。筆者認為，數學問題解決的能力是學好數學的核心能力之一。所謂“問題解決能力”是指在解決數學問題的過程所用到的策略和方法的能力。在解決一個較復雜的數學問題時，需要經歷“解讀問題表征問題擬定方案實施方案評估方案”的過程。因此，基于培養學生“核心能力”的理念，課堂教學就不能僅流于“窄化”成單純的學科知識學習，而應是在教學中有一個指向關鍵能力、綜合發展的更高目標，教師的主

2、要任務就是幫助學生掌握學習數學的策略和方法，形成良好的數學問題解決能力。基于以上觀點，筆者在以反比例函數為基架的幾何中的面積問題一節中，通過一道反比例函數與圖形面積的綜合問題，力圖讓學生經歷數學解題活動的過程，積累數學學習活動經驗，激發學生對數學問題有價值的深度思考，探索總結數學問題解決的有效路徑，培養學生解決數學問題的策略、方法的良好素養，提高學生數學問題解決能力。一、內容分析 反比例函數與圖形面積的綜合問題是中考常考題型之一，這種題型對大多數學生來說較難。它既是反比例函數圖像和性質的鞏固和應用，也是考查學生運用反比例函數與幾何圖形的有關知識解決較復雜的數學問題的綜合能力。這種題型的特點是，

3、知識點多，綜合性強，思維量大，方法靈活。同時，學好這類題型的解法，對于解決二次函數與幾何的綜合問題也有正向遷移作用。二、學情分析結合本班學生的實際情況，學生已經學習過反比例函數的圖象及其性質，同時已具備運用數學知識解決實際問題的經驗，在學習過程中，學生初步具有合作探究的意識與能力。但是學生在解決反比例函數與幾何綜合問題時，常常是一聽就懂，一做就錯，大多數學生得分率不高。主要原因有：畏難情緒；不能獲取問題解決的有效信息；不善于對問題的數學表征；解題過程中目標、方向不明，缺乏有條理的分析問題的能力；評講、改錯后不善于反思總結等。教學目標 1.知識與技能以一道反比例函數與幾何圖形面積的中考綜合題為載

4、體，深刻領會解決反比例函數與幾何綜合問題的策略與方法，總結解題規律。過程與方法通過學生自主探究、合作交流，教師點撥等方式，促進學生解決數學問題的正遷移，提高學生數學問題解決的能力。情感態度和價值觀 通過小組討論，培養合作精神，讓學生在探索問題的過程中，體驗解決問題的方法和樂趣，增強學習興趣；在解題中感受生活中數學的存在，體驗數學中充滿著探索和創造。四、教學的重點、難點教學重點：利用反比例函數性質和圖形特點解決實際問題，初步掌握解決復雜問題的路徑、策略和方法。教學難點：解決反比例函數與幾何綜合問題的數學思想的滲透，方法的提煉，解題路徑的制定，解題方法的靈活選取。五、教法與學法 新課標明確要求：“

5、教師在教學過程中應與學生積極互動、共同發展，要處理好傳授知識與培養能力的關系，關注個體差異，滿足不同學生的學習需要。” 教學上盡可能給學生提供思考的空間及時間，以充分體現學生的主體地位，并發揮教師的主導作用，通過自主探索、合作交流，讓學生充分體驗解決反比例函數與幾何的綜合問題。教學方法：精選典例、教師點撥、滲透方法學習方法：自主探索、合作交流、總結反思教學手段：使用多媒體輔助教學六、教學過程(一)合作探究，百花齊放例：（2023.成都）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交于點、，與反比例函數(為常數，且)在第一象限的圖象交于點、過點作軸于，過點作軸于，直線與交于點若(為大于l的常數)記

6、的面積為，的面積為，則 =_ (用含的代數式表示)1.常規解法：解析： 設思想方法：設參法、圖像法。 教學理念：該解法更接近學生現有的認知基礎和水平，顯示的是通性、通法。體現數學的基礎性、普及性，從而培養了學生的符號意識、設參法、運算等能力，突出新課標理念“人人學有價值的數學”。2.別有洞天 思想方法：轉換思想，數形結合法。 教學理念：該解法培養了學生的幾何模型思想，提高了抽象思維、數學建模能力，體現新課標理念“人人都能獲得必需的數學”。3.“過河拆橋” 思想方法：類比、轉化、數形結合、整體思想教學理念：這種解法培養了學生的幾何模型思想和幾何中的整體思想，轉變學習方式，確保教學更上一層樓，從而

7、體現新課標中“不同的人在數學上得到不同的發展”。（二）師生評估、生生評估通過評估三種解法，總結出解決此類問題的有效途徑。本例題設計意圖 ：新課標指出：“教師要引導學生在數學知識和方法的應用中，體現數學的價值。”通過一道反比例函數與圖形面積的綜合問題，考查學生的符號意識、運算能力、數形結合、幾何基本模型的識別與構造。力圖讓學生經歷數學解題活動的過程，積累數學學習活動經驗，激發學生對數學問題有價值的深度思考，探索總結數學問題解決的有效路徑，培養學生解決數學問題的策略、方法的良好素養，提高學生“數學問題解決能力”。問題解決流程：解讀問題問題表征 思 維 碰 撞 評估反思執行方案擬定方案 （三）學以致用 趁熱打鐵如圖，已知雙曲線（為常數）與過原點的直線相交于、兩點，第一象限內的點、（點在的左側）是雙曲線上的一動點，設直線、分別與軸交于、兩點若則的值為 設計意圖：通過有效的課堂練習不僅可以提高學生的課堂參與程度，激發學生的學習興趣，還可以幫助學生加深對于所學知識的印象，提高對所學知識的掌握程度,從而提高問題解決能力。真正做到：做一題，得一法；解一類，會一片。（四）課后作業 鞏固提高 1.如圖，直線與反比例函數的圖像在第一象限內交于、兩點，交軸的正半軸與點，若，則的面積（用含的代數式表示）為多少？ 2.通過課堂上對例題的分析，請學生寫一篇數學小論文。 設計意圖：通過課后作