1、 永久免費在線組卷 課件教案下載 無需注冊和點數PAGE 永久免費在線組卷 課件教案下載 無需注冊和點數三角形的內角和例題精講與同步練習【基礎知識精講】1.內角和定理及推論定理：三角形三個內角之和等于180.已知ABC，求證A+B+C=180(圖3.3-1)圖3.3-1分析 本題要添設輔助線，而輔助線的出現不是突發奇想得到的，而是按已知，結合求證及結論逐步分析后水到渠成的.要證內角和180，可先找到一個180，而三角形內、外角和180，這樣，第一條輔助線延長BC至D就自然出現，現將問題轉化為證A+B=ACD.可考慮在ACD內作一個ACE=A，若可行則CEAB.進而ECD=B，從而證得結論.考慮

2、到ACD與A，大小關系暫不知道，由上述分析，可改變輔助線CE的出現方式，即：作CEAB.這樣，A=ACE. B=ECD,從而得結論.具體證明見課本.推論1.直角三角形兩銳角互余.推論2.三角形外角等于不相鄰兩內角和.推論3.三角形外角大于任一不相鄰內角.分析 推論2，3中，都是指外角與不相鄰的兩內角間的關系，它與相鄰的內角除互補外，無其他明顯的大小關系.2.關于三角形按角分類鑒于三角形內角和180,故一個三角形中最多只有一個直角或鈍角(否則和就超過180)而必有兩個銳角，我們可根據第三個內角(兩個銳角以外的內角)的大小進行分類.(1)第三個角為銳角，即三個內角均為銳角，則稱為銳角三角形.（2）

3、第三個角為鈍角，即三內角中有一個是鈍角，則稱為鈍角三角形.(3)第三個角為真角，即有一個內角為直角，則稱為直角三角形.又(1)(2)合稱為斜三角形，即分類如下.三角形集合圖示注：斜三角形不要記為“斜角”三角形.按邊分類與按角分類地位是同等的，可交叉使用(如：等腰銳角三角形，不等邊鈍角三角形等等).這里我們只要了解最常見的等腰直角三角形即可.3.關于直角三角形(也記為Rt)直角三角形作為一類特殊三角形，以后各章節還將作專題研究.這里只介紹一些基本知識：各邊的名稱：夾直角的兩條邊稱為直角邊，第三邊為斜邊.推論1 已給出兩銳角的關系.由于點到直線的連線段中，垂線段最短，我們有結論：直角三角形斜邊大于

4、任意一條直角邊.即：直角三角形三邊中，斜邊最長.如果一個直角三角形同時又是等腰三角形.則稱為等腰直角三角形.由上述結論可知，相等的兩邊必為直角邊，且內角中每個銳角為45.我們也將等腰直角三角形定義為：兩條直角邊相等的三角形為等腰直角三角形.另外：由面積公式可知：直角三角形斜邊上的高與斜邊的積等于兩直角邊的積.即若CD為RtABC斜邊上的高，則ACBC=CDAD.【重點難點解析】重點：是內角和定理及推論；難點：在于這些知識結合前面相關知識的運用.例1 ABC中，ABC=237.則此三角形為：A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形分析 判斷三角形按角分類為哪一種三角形，

5、可先求出三個角的度數，再判斷角.也可只求出最大角的度數，再根據最大角的范圍判斷三角形是哪一類三角形.解：設A=2x,依題意B=3x, C=7x.又A+B+C=180 12x=180 x=15求得 A=30 B=45 C=105 選C也可直接求出C=10590 選C另解：設同上，=6x7x7x=90 C90 選C第二種解法中巧妙利用有一個角為鈍角的三角形是鈍角三角形，不求角度，直接得結論.上述兩解法均利用代數方法解幾何問題，這種思想方法很重要.另設未知數時，未簡單設某一個角為x，而是利用已知比例巧設，以達到簡化計算之目的.例2 已知：CD為RtABC斜邊上的高(圖3.3-2).求證ACD=B,B

6、CD=A.圖3.3-2分析 充分利用直角三角形兩銳角互余是解決本題之要點.證 CD為RtABC斜邊上的高，A+B=90,又在RtACD中，BCD+B=90ACD=B BCD=A.例3 已知：如圖3.3-3，AD，BE為ABC的高.圖3.3-3求證：CAD=CBE.分析 考查RtACD與RtBCE即可得出結論，或設AD，BE交于P，考查AEP和BDP亦可.證一 ADBC CAD+C=90同理CBD+C=90(BEAC) CAD=CBE.證二 設AD，BE交于P，ADBC,BEAC.在APE和BPD中，EAP+APE=90 DBP+DPB=90.又APE=DPBEAP=DBP 即CAD=CBE.例

7、4 P為ABC內一點，求證(1) BPCA;(2)若P為B，C的角平分線交點,求BPC-A的值.圖3.3-4分析 本題可利用內角和公式直接計算比較大小，亦可通過輔助線利用推論來得結論.解一 (1)BPC=180-(PBC+PCB) A=180-(ABC+ACB)又 ABCPBC ACBPCB BPCA.(2)PBC=ABC PCB=ACB.P=180-(PBC+PCB)P-A=180-(ABC+ACB+A)=180-180=90解二 (1)延長BP交AC于Q. BPC為PQC的角BPCPQC 又PQC為ABQ的外角.PQCA BPCA.(2) BPC=ACP+PQC=ACB+A+ABC=(AC

8、B+ABC+2A)=(180+A)=90+ABPC-A=90本題還可通過連AP并延長來解決，證明過程讀者可自己解決.例5 如圖3.3-5，求A+B+C+D+E的度數.圖3.3-5分析 學會對圖形的觀察是解決本題關鍵所在，分別考查ACM、BDN及EMN即可得結論.解 1為ACM的外角1=A+C2為BDN的外角2=B+D在EMN中，1+2+E=180A+B+C+D+E=180【難題巧解點撥】例1 如圖3.3-6線段AD，BC交于Q，OD平分CDA交BC于H，OB平分ABC平AD于G，求.圖3.3-6分析 充分觀察圖形，合理利用各角之間的關系是解決本題關鍵，圖中眾多三角形中，找出與O，A，C相關三角

9、形很重要.解 在CHD和OHB中，C+4=O+2 在OGD和AGB中，A+1=O+3 + A+C+1+4=2O+2+31=2 3=4 A+=2O =2.例2 如圖3.3-7,ABC的三條角平分線AD，BE，CF交于一點O，OGBC于G.求證：BOD=COG.圖3.3-7分析 本題可利用本節重難點解析例4第(2)問的結論，考慮到O為BAC和ABC的角平分線交點AOB=90+ACB，再利用直角三角兩銳角互余，在RtOGC中，用OCG表示GOC.證 O為三內角平分線交點AOB=180-(ABC+BAC)=90+ACB,BOD=180-AOB=90-ACB=90-OCDOGBC于G GOC=90-OC

10、D BOD=COG.例3 ABC中，三內角度數均為整數，ABC,且4C=7A，求B的度數.分析 利用4C=7A AC=47設A=4k，C=7k(k為正整數) B=180-11k.又 ABC 4k180-11k7k解得 10k12 又k為正整數 k=11B=180-1111=59【命題趨勢分析】三角形內角和定理及三個推論，在幾何中有著廣泛的應用，歷來就是考試熱點所在，結合前后知識，解決有關角度大小關系等問題，角度相等、不等的計算、證明及求值問題，常以各種題型出現(判斷、選擇、填空各類題型均可出現)【典型熱點考題】例1 ABC三內角比為234，求三外角的比.分析 不妨設ABC=234,對應的三個角

11、角為、，本題可利用內角和公式及已知求出各內角，再求出相應的外角，最后求此，亦可利用外角等于不相鄰內角和，不求出具體角度來求出比.解一 ABC=234 A+B+C=180 A=40 B=60 C=80 =140 =120 =100 ：=765.解二 ABC=234 設A=2k B=3k C=4k(k0).則=B+C=7k =A+C=6k =A+B=5k.=765.兩解比較，解法二顯然簡單一些.例2 對任意一個ABC,總存在一個最小的內角,則的取值范圍是( ).A.6090 B.045C.030 D.060解：不妨設ABC三內角為，且.3+=18060 選D.例3 ABC中，B，C的外角平分線交于

12、D，則下列等式成立的是( )圖3.3-8A. A+D=90 B.A-D=90C. A+D=90 D.A-D=90分析 本題關鍵在于準確分析A與D關系，合理利用內角和定理及推論.解 D=180-(1+2)1=BCE=(A+ABC) 2=CBF=(A+ACB) D=180-(A+ABC+ACB+A) =180-(180+A)=90-A D+A=90 選C本例與重難點解析中的例4第二問為有關三角形兩內角和角平分線所成角的重要結論.即：ABC中，若B，C平分線交于O，則BOC=90+A.若B，C外角平分線交于P，則BPC=90-A.例4 ABC三個內角A、B、C滿足3A5B,3C2B，判斷這個三角形若

13、按角分類，是什么三角形.分析 判斷三角形按角分類是什么三角形,需弄清最大角是銳角、鈍角，還是直角.解 3A5B BA.又 3C2B 3CA CAA A為最大內角.180=A+B+CA+A+A=2AA90ABC為鈍角三角形.【同步達綱練習】一、判斷(3分8=24分)( )1.三角形的外角大于內角.( )2.三角形的外角等于兩內角之和.( )3.三角形中最多只有一個內角不小于直角.( )4.三角形的兩內角平分線交點與三角形的兩個頂點一定組成鈍角三角形.( )5.若三角形中有兩個內角相等，且有一個角為70，則三個內角分別為70、55、55.( )6.不等邊三角形一定是斜三角形.( )7.若A=B=C

14、,則ABC是直角三角形.( )8.三角形的一個外角大于與它相鄰的內角，則該三角形一定是銳角三角形.二、填空(3分8=24分)1.ABC中，A=31, B=64,則C= .2.三角形中有一個角為40,且有兩個內角相等，則與它們不等的內角度數是 .3.ABC中，A=70,高BE，CF交于O，則BOC= .4.CD為ABC的角平分線，DEBC交AC于E，A=50, B=60，則BCD= . EDC= .5.若三角形的三外角比為234,則該三角形最大的內角度數為 .6.ABC中，A=80, B的平分線與C的外角的平分線相交于D，則BDC= .7.ABC中，A=110,D為BC上一點，且B=DAC，則A

15、DC= .8.若三角形只有兩對外角是鈍角，則該三角形按角分類應是 三角形.三、選擇(3分8=21分)1.三角形中最大的內角一定不小于( )A.30 B.45 C.60 D.752.ABC中，B，C的外角分別為135和105，那么A的度數為( )A.30 B.45 C.60 D.903.如圖3.3-9,l1l2，則下列式子中等于180是( )圖3.3-9A.+ B.+- C.+- D.+-4.ABC的三組外角平分線相交，構成的新三角形MNL一定是( )A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不確定5.直角三角形兩銳角平分線在交點處形成的鈍角度數為( )A.105 B.150 C.120

16、 D.1356.斜三角形是指( )A.有斜邊的三角形 B.沒有內角是直角的C.有一個角是鈍角的三角形 D.三個角都是銳角的三角形7.如圖3.3-10,C在AB延長線上，CEAF于E交FB于D.F=40,C=20,則EBA的度數為( )圖3.3-10A.50 B.60 C.70 D.80四、ABC中，B=56, C=44，ADBC于D，AE為ABC的角平分線，求DAE.(7分)五、如圖3.3-11，求證：A+B+C+D+E=180.(7分) 圖3.3-11【素質優化訓練】1.D為ABC的邊BC延長線上一點，A=96，ABC與ACD平分線交于A1，A1BC與A1CD的平分線交于A2，依次類推，A4BC與A4CD的平分線交于A5，求A5的度數.(8分)2.ABC中，A=42,D、E為ABC與ACB三等分線的交點，求D，E(圖3.3-12).(9分)圖3.3-12【生活實際運用】小王家有一塊長4米，寬2米的長方形院地，現在要在院地上開辟一個花圃，使花圃面積等于院地面積的一半，請幫助小王多設計幾種方案，并盡可能給你設計的圖案作出有關的定量計算.參考答案:【同步達綱練習】一、1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.二、1.85 2.40或100 3.70或110 4