1、第三章機床數控裝置的插補原理3.1概述3.1.1插補的基本概念刀具的運動軌跡在微觀上是由小線段的折線。定義：數控系統根據零件輪廓線型的有限信息，計算出刀具的一系列加工點、完成所謂的數據“密化”工作。用基本線形擬合其它輪廓曲線。指標：實時性，精度要求： 1.所需的原始數據少。2.插補精度高，沒有累計誤差，局部偏差不超差。3.進給速度基本恒定。4.硬件線路簡單，插補算法簡潔。3.1.2插補方法的分類硬件插補器插補器軟硬件結合插補器完成插補運算的裝置或程序稱為插補器1.基準脈補每次插補結束僅向各運動坐標軸輸出一個控制脈沖，各坐標僅產生一個脈沖當量或行程的增量。脈沖序列的頻率代表坐標運動的速度，而脈沖

2、的數量代表運動位移的大小。基準脈補方法有：逐點比較法、數字積分法、脈沖乘法器等。2.數據采樣插補采用時間分割，根據編程的進給速度將輪廓曲線分割為每個插補周期的進給直線段（又稱輪廓步長），以此來近輪廓曲線。然后再將輪廓步長分解為各個坐標軸的進給量（一個插補周期的進給量），作為指令發給伺服驅動裝置。該裝置按伺服檢測采樣周期實際位移，并反饋給插補器與指令比較，有誤差運動，誤差為零停止，從而完成閉環控制。數據采樣插補方法有：直線函數法、擴展DDA、二階遞歸算法等。3.2基準脈補3.2.1 逐點比較法1.插補原理及特點原理：每次僅向一個坐標軸輸出一個進給脈沖，而每走一步都要通過偏差函數計算，判斷偏差點的

3、瞬時坐標同規定加工軌跡之間的偏差，然后決定下一步的進給方向。每個插補循環由偏差判別、進給、偏差函數計算和終點判別四個步驟組成。特點：運算直觀，插補誤差不大于一個脈沖當量，脈沖輸出均勻，調節方便。2.逐點比較線插補（1）偏差函數構造對于第一象限直線OA上任一點(X,Y)Xe Y 0YXe若刀具加工點為Pi（Xi，Yi），則該點的偏差函數Fi可表示為Y iXe FiXYie若Fi=0，表示加工點位于直線上；Y若F 0，表示加工點位于直線上方；i若Fi0Pi (Xi,Yi)F=0，規定向+X方向走一步 Xi 1 XeYi Ye (Xi 1) Fi YeXi1Fi1若Fi0，規定+Y方向走一步，則有

4、Yi 1Yi1F X (Y 1) Y X F Xi1eieiie（3）終點判別直線插補的終點判別可采用三種方法。 1）判斷插補或進給的總步數；2）分別判斷各坐標軸的進給步數；3）僅判斷進給步數較多的坐標軸的進給步數。Y（4）逐點比較線插補舉例A10對于第一象限直線OA，終點坐標Xe=6 ,Ye=4，插補從直線起點O開始，故F0=0 。終點判別是判斷進給總步數 N=6+4=10，將其存入終點判別計數器中，每進給一步減1，若N=0，則停止插補。9857643X21O步數判別坐標進給偏差計算終點判別0F0=0=101F=0+XF1=F0-ye=0-4=-4=10-1=92F0+XF3=F2-ye=2

5、-4=-2=8-1=74F0+XF5=F4-ye=4-4=0=6-1=56F=0+XF6=F5-ye=0-4=-4=5-1=47F0+XF8=F7-ye=2-4=-2=3-1=29F0+XF10=F9-ye=4-4=0=1-1=03.逐點比較法圓弧插補（1）偏差函數任意加工點Pi（Xi，Yi），偏差函數Fi可表示為F X YR 222iii若Fi=0，表示加工點位于圓上； Y若Fi0，表示加工點位于圓外；若Fi 0Pi（Xi，Yi）F 0AX（2）偏差函數的遞推計算1） 逆圓插補X X 1i1i若F0，規定向-X方向走一步 (Xi 1) Yi R Fi 2Xi 1222Fi1 Yi 1Yi1若

6、F 0，規定向+Y方向走一步i X (Yi 1) R Fi 2Yi 1222Fi1i2） 順圓插補Yi 1Yi1若Fi0，規定向-Y方向走一步 X(Yi 1) R Fi 2Yi 1222Fi1i Xi 1Xi1若Fi0，規定向+y方向走一步(Xi 1) Yi R Fi 2Xi 1222Fi1（3）終點判別1）判斷插補或進給的總步數：N X a XbX a XbYa Yb2）分別判斷各坐標軸的進給步數；N x,Ny Ya YbY（4）逐點比較法圓弧插補舉例對于第一象限圓弧AB，起點A（4，0），終點B（0，4）4BAX4步數偏差判別坐標進給偏差計算坐標計算終點判別起點F0=0 x0=4, y0=

7、0=4+4=81F0=0-xF1=F0-2x0+1=0-2*4+1=-7x1=4-1=3 y1=0=8-1=72F10+yF2=F1+2y1+1=-7+2*0+1=-6x2=3 y2=y1+1=1=7-1=63F20+yF3=F2+2y2+1=-3x3=4, y3=2=54F30-xF5=F4-2x4+1=-3x5=4, y5=0=36F50-xF7=F6-2x6+1=1x7=4, y7=0=18F70?F0?FFNNn=0?Yn=0?Y1結束結束n=n-1n=n-1i , j 1 Fi ,j2yj1Fi 1 j, Fi ,j2ix 1F|e y|FF|e x|沿-x向走一步沿+y向走一步沿y

8、向走一步沿x向走一步初始化n|xe |e y |初始化x0 xeey0開始開始4.逐點比較法的速度分析LVNf式中：LV Nf直線長度；刀具進給速度；插補循環數；插補脈沖的頻率。N X e Ye L cos L sinfsin cosV 所以：刀具進給速度與插補時鐘頻率f 和與X軸夾角有關15.逐點比較法的象限處理（1）分別處理法四個象限的直線插補，會有4組計算公式，對于4個象限的逆時針圓弧插補和4個象限的順時針圓弧插補，會有8組計算公式順圓逆圓（2）坐標變換法用第一象限逆圓插補的偏差函數進行第三象限逆圓和第二、四象限順圓插補的偏差計算，用第一象限順圓插補的偏差函數進行第三象限順圓和第二、四象

9、限逆圓插補的偏差計算。13.2.2 數字積分法 (DDA法)用數字積分的方法計算刀具沿各坐標軸的位移，數字積分法又稱數字微分分析（DDA）法.1.插補原理及其特點VX V cosV V sinY刀具在X、Y方向的位移X VX dt V cosdtY VY dt V sin dt積分的過程可以用微小量的累加近似為 X VX t V cost Y V t V sin tY特點：運算速度快，脈沖分配均勻，易于實現多坐標聯動。12.DDA線插補線插補的積分表達式Y（1）DDA由于V LX KXVX VYKA(X ,Y )eeXeYeeVY V,KY則eX mi1i1VXKtY Vye得me YXKtV

10、x終點的過程，可以看作是各坐標軸直線插補從始點每經過一個加的過程。時間間隔，分別以增量kxe及kye同時累1令 t1K X2 Nm i1X e2 NY則DDA直線插補的積分表達式mi1e 2 NY1N為累加器的位數，當累加數等于或大于2N時，便發生溢出，而余數仍存放在累加器中積分值=溢出脈沖數+余數當兩個積分累加器根據插補時鐘同步累加時，用這些溢出脈沖數分別控制相應坐標軸的運動。X mi1i1XKtem+Y e YKtx軸溢出脈沖t（2）終點判別累加次數、即插補循環數是否等于2N可作為DDA線插補終點判別的依據y軸溢出脈沖+1y被積函數寄存器kye累加器累加器x積分 y積分x被積函數寄存器kx

11、eY（3）DDA線插補舉例A(5,3)插補第一象限直線OE，起點為O（0，0），終點為E（5， 3）。取被積函數寄存器分別為JVX、JVY，余數寄存器分別為 JRX、JRY，終點計數器為JE，均為三位二進制寄存器。X1累加次數t X積分器Y積分器終點計數器 JE備注JVX(Xe)JRX溢出Jvy(Ye)JRy溢出0101000011000000初始狀態1101101011011001第一次迭代21010101011110010X溢出31011110110011011Y溢出41011001011100100X溢出51010011011111101X溢出61011100110101110Y溢出71

12、010111011101111X溢出810100010110001000X,Y溢出Y3.(1)DDA法圓弧插補DDA法圓弧插補的積分表達式BVyV由 V VVxVRP X Y KYiX iVX KYiVY KXiAXK 1 t 1令則2 N+x軸溢出脈沖 1 m X 2 NYiti1Y 1 mXy軸溢出脈沖i2 Ni1+圓弧插補時，是對切削點的即時坐標Xi與Yi的數值分別進行累加1y被積函數寄存器xi累加器累加器x積分 y積分x被積函數寄存器yiRYXDDA圓弧插補舉例1次序X積分器X終Y積分器Y終注(Yi)(Xi)000000001011010000101初始1000000010110110

13、10101200000100001011010101100修正Yi300100101011011110100400101001011011001011修正Yi501001110001011010011010修正Yi601111101011011100010701110001011001010111001修正Yi修正Xi810011001001001110001910010101010111000111000修正Yi修正Xi101011110011011111010011001011010修正Xi121010011001010001修正Xi1310111000010011410101110000

14、01000結束4.DDA法插補的速度分析1直線Lfv KLv 2 N1Rfv v KR圓弧2 N其中：f插補時鐘頻率坐標軸的脈沖當 量進給速度受到加工直線長度和圓弧半徑的影響。13.3數據采樣插補3.3.1概述1.數據采樣插補的基本原理，根據進給速度F和插補周期T，將粗插補：采用時間分割廓型曲線分割成一段段的輪廓步長L，L=FT，然后計算出每個插補周期的坐標增量。精插補：根據位置反饋采樣周期的大小，由伺服系統完成。2.插補周期和采樣周期1.插補周期大于插補運算時間與完成其它實時任務時間之和。2.插補周期為采樣周期的整數倍。23.插補精度分析直線插補輪廓步長與被加工直線重合，不會造成軌跡誤差。圓

15、弧插補a.采用弦線對圓弧進行近時FT 22l22 l r reer2 r 2 8 r8r近時b.采用內外差分弦對圓弧進行（內外差分弦使內外半徑的誤差er相等）FT 2l 2 l 2rer 2e e 2rrr16r1r6 2 結論：1.當輪廓步長相等時，內外差分弦的半徑誤差是內接弦的一半2.圓弧插補時的半徑誤差er與圓弧半徑r成反比，而與插補周期T和進給速度F的平方成正比。當er給定時，可根據圓弧半徑r選擇插補周期T和進給速度F。23.3.2數據采樣線插補1.插補計算過程插補準備插補計算值。主要是計算輪廓步長及其相應的坐標增量。實時計算出各插補周期中的插補點（動點）坐標2.實用的插補算法（1）直

16、接函數法l LYX Ye X插補準備：插補計算：Xieii Xe Y Yi1iil FTKYFR N T LL（2）進給速率字法插補準備：X步插補計算：cos 長系K數XKYieieA(Xe,Ye) Y Yi1iiX ecos YeXLLYclos （3）方向余弦法插補準備：X插補計算clos Y Yi1iYllYi YeX iX eLL（4）一次計算法插補準備插補計算： Y Yi1ii2Y3.3.3數據采樣法圓弧插補A(Xi,Yi)EFC1.直線函數法（弦）P2 MODiB(X,Y)i+1i+1 DHtanHMi2 OCCD 112closX XXii2tan X 11slinY YYOii

17、22上式中，sin和cos都是未知數，難以用簡單方法求解，采用近似計算，用cos4和5 sin45來取代，則2Xli4tan tan 2Yli4FL sin X L cos AYXBF Y12Y iY2DHMi+1i2.擴展DDA法數據采樣插補一個插補周期T內，輪廓步長l的坐標分量Xi和YiY12X KKXi1i1iY 1iK 2 X i1i1KYYFT其中: KF RN T RAi-1BQAi新加工點Ai的坐標位置CMAiHY YYi1iiXO特點：計算簡單，速度快，精度高。23.遞歸函數計算法（RFB）遞歸函數采樣插補是通過對軌跡曲線參數方程的遞歸計算實現插補的。1）一階遞歸插補YP0(X0,Y0)Pi(Xi,Yi)Pi+1(Xi+1,Yi+1)Pi+2(Xi+2,Yi+2)Xi R cosi Y R sin i ii1i R cos(i1 ) Xicos Yi sinXi1 Y R sin() X sin Y cosXi1Oi1ii將三角函數sin、cos用冪級數展開進行二階近似 2K 22cos 1 1 sin K2X X K Y1 KXi i1ii2帶入上式，得KY 1 Y Y K