1、 10.2事件的相互獨(dú)立性學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.結(jié)合有限樣本空間，了解兩個隨機(jī)事件獨(dú)立性的含義(重點(diǎn)、易混點(diǎn))2結(jié)合古典概型，利用獨(dú)立性計(jì)算概率(重點(diǎn)、難點(diǎn))1.通過學(xué)習(xí)兩個隨機(jī)事件獨(dú)立性的含義，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)2通過利用隨機(jī)事件的獨(dú)立性計(jì)算概率，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).1相互獨(dú)立事件的定義對任意兩個事件A與B，如果P(AB) P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡稱為獨(dú)立2相互獨(dú)立事件的性質(zhì)當(dāng)事件A，B相互獨(dú)立時(shí)，則事件A與事件eq o(B,sup12()相互獨(dú)立，事件eq o(A,sup12()與事件B相互獨(dú)立，事件eq o(A,sup12()與事件eq o(B,

2、sup12()相互獨(dú)立思考：(1)事件A與B相互獨(dú)立可以推廣到n個事件的一般情形嗎？(2)公式P(AB)P(A)P(B)可以推廣到一般情形嗎？提示(1)對于n個事件A1，A2，An，如果其中任何一個事件發(fā)生的概率不受其他事件是否發(fā)生的影響，則稱事件A1，A2，An相互獨(dú)立(2)公式P(AB)P(A)P(B)可以推廣到一般情形：如果事件A1，A2，An相互獨(dú)立，那么這n個事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)1袋內(nèi)有3個白球和2個黑球，從中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”記為B，否則記為C，那么事件A與B，

3、A與C的關(guān)系是()AA與B，A與C均相互獨(dú)立BA 與B相互獨(dú)立，A與C互斥CA與B，A與C均互斥DA與B互斥，A與C相互獨(dú)立A由于摸球過程是有放回的，所以第一次摸球的結(jié)果對第二次摸球的結(jié)果沒有影響，故事件A與B，A與C均相互獨(dú)立，且A與B，A與C均有可能同時(shí)發(fā)生，說明A與B，A與C均不互斥，故選A.2某同學(xué)做對某套試卷中每一個選擇題的概率都為0.9，則他連續(xù)做對第1題和第2題的概率是()A0.64B0.56C0.81 D0.99CAi表示“第i題做對”，i1,2，則P(A1A2)P(A1)P(A2)0.90.90.81.3甲袋中有8個白球、4個紅球，乙袋中有6個白球、6個紅球，從每袋中任取一球

4、，則取到相同顏色的球的概率是 eq f(1,2)由題意知Peq f(8,84)eq f(6,66)eq f(4,84)eq f(6,66)eq f(1,2).相互獨(dú)立事件的判斷【例1】判斷下列各對事件哪些是互斥事件，哪些是相互獨(dú)立事件(1)擲一枚骰子一次，事件M：“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”；事件N：“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”(2)擲一枚骰子一次，事件A：“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”；事件B：“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”解(1)二者不可能同時(shí)發(fā)生，M與N是互斥事件(2)樣本空間為1,2,3,4,5,6，事件A2,4,6，事件B3,6，事件AB6，P(A)eq f(3,6)eq f(1,2)，P(B)eq f(2,6)eq f(1,

5、3)，P(AB)eq f(1,6)eq f(1,2)eq f(1,3)，即P(AB)P(A)P(B)故事件A與B相互獨(dú)立當(dāng)“出現(xiàn)6點(diǎn)”時(shí)，事件A，B可以同時(shí)發(fā)生，因此，A，B不是互斥事件判斷事件是否相互獨(dú)立的方法(1)定義法：事件A，B相互獨(dú)立P(AB)P(A)P(B)(2)利用性質(zhì)：A與B相互獨(dú)立，則A與eq xto(B)，eq xto(A)與B，eq xto(A)與eq xto(B)也都相互獨(dú)立1壇子里放有3個白球，2個黑球，從中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，則A1與A2是()A互斥事件 B相互獨(dú)立事件C對立事件 D不相互獨(dú)立事件D由于事件A1是否發(fā)生對事

6、件A2發(fā)生的概率有影響，所以A1與A2是不相互獨(dú)立事件相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算【例2】在某校運(yùn)動會中，甲、乙、丙三支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽(即每兩隊(duì)比賽一場)，共賽三場，每場比賽勝者得3分，負(fù)者得0分，沒有平局在每一場比賽中，甲勝乙的概率為eq f(1,3)，甲勝丙的概率為eq f(1,4)，乙勝丙的概率為eq f(1,3).(1)求甲隊(duì)獲第一名且丙隊(duì)獲第二名的概率；(2)求在該次比賽中甲隊(duì)至少得3分的概率解(1)設(shè)甲隊(duì)獲第一名且丙隊(duì)獲第二名為事件A，則P(A)eq f(1,3)eq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)eq f(1,18).(2)甲隊(duì)至少得3分有兩種

7、情況：兩場只勝一場；兩場都勝設(shè)事件B為“甲兩場只勝一場”，設(shè)事件C為“甲兩場都勝”，則事件“甲隊(duì)至少得3分”為B C，則P(B C)P(B)P(C)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,4)eq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)eq f(1,3)eq f(1,4)eq f(5,12)eq f(1,12)eq f(1,2).用相互獨(dú)立事件的乘法公式解題的步驟：(1)用恰當(dāng)?shù)淖帜副硎绢}中有關(guān)事件；(2)根據(jù)題設(shè)條件，分析事件間的關(guān)系；(3)將需要計(jì)算概率的事件表示為所設(shè)事件的乘積或若干個事件的乘積之和(相互乘積的事件之間必須滿足相

8、互獨(dú)立)；(4)利用乘法公式計(jì)算概率2紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A，B，C進(jìn)行圍棋比賽，甲對A，乙對B，丙對C各一盤已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5，假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立，求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率解記甲勝A、乙勝B、丙勝C分別為事件D，E，F(xiàn)，則甲不勝A、乙不勝B、丙不勝C分別為事件eq o(D,sup12()，eq o(E,sup12()，eq o(F,sup12().根據(jù)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立，可得紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率為PP(DEeq o(F,sup12()P(Deq o(E,sup12()F)P(eq o(D,sup12()EF)P(DEF)P(

9、D)P(E)P(eq o(F,sup12()P(D)P(eq o(E,sup12()P(F)P(eq o(D,sup12()P(E)P(F)P(D)P(E)P(F)0.60.5(10.5)0.6(10.5)0.5(10.6)0.50.50.60.50.50.55.相互獨(dú)立事件的概率的綜合應(yīng)用探究問題1如果事件A，B相互獨(dú)立時(shí)，那么事件A與事件eq xto(B)，事件eq xto(A)與事件B，事件eq xto(A)與事件eq xto(B)各是什么關(guān)系？提示事件A與事件eq xto(B)相互獨(dú)立，事件eq xto(A)與事件B相互獨(dú)立，事件eq xto(A)與事件eq xto(B)相互獨(dú)立2如果

10、事件A，B相互獨(dú)立，事件AB的對立事件是eq o(A,sup12() eq o(B,sup12()嗎？提示如果事件A，B相互獨(dú)立，事件AB的對立事件是eq o(A,sup12() eq o(B,sup12()eq xto(A)BAeq xto(B).【例3】甲、乙兩個人獨(dú)立地破譯一個密碼，他們能譯出密碼的概率分別為eq f(1,3)和eq f(1,4)，求(1)兩個人都譯出密碼的概率；(2)兩個人都譯不出密碼的概率；(3)恰有1個人譯出密碼的概率思路探究首先判斷事件是否相互獨(dú)立，然后利用相互獨(dú)立事件的性質(zhì)，互斥事件、對立事件的概率公式計(jì)算解(1)記“甲獨(dú)立地譯出密碼”為事件A，“乙獨(dú)立地譯出密

11、碼”為事件B，A，B為相互獨(dú)立事件，且P(A)eq f(1,3)，P(B)eq f(1,4).(1)2個人都譯出密碼的概率為P(AB)P(A)P(B)eq f(1,3)eq f(1,4)eq f(1,12).(2)兩個人都譯不出密碼的概率為P(eq o(A,sup12() eq o(B,sup12()P(eq xto(A)P(eq xto(B)1P(A)1P(B)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,4)eq f(1,2).(3)恰有1個人譯出密碼可以分為兩類，即甲譯出乙未譯出以及甲未譯出乙譯出，且兩個事件為互斥事件，所以恰

12、有1個人譯出密碼的概率為P(Aeq xto(B) eq xto(A)B)P(Aeq xto(B)P(eq xto(A)B)P(A)P(eq xto(B)P(eq xto(A)P(B)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)eq f(1,4)eq f(5,12).1本例3條件不變，求至多1個人譯出密碼的概率解“至多1個人譯出密碼”的對立事件為“兩個人都譯出密碼”，所以至多1個人譯出密碼的概率為1P(AB)1P(A)P(B)1eq f(1,3)eq f(1,4)eq f(11,12).2本例3條件不變，求至少

13、有1個人譯出密碼的概率解“至少有1個人譯出密碼”的對立事件為“兩個人都未譯出密碼”，所以至少有1個人譯出密碼的概率為1P(eq o(A,sup12() eq o(B,sup12()1P(eq xto(A)P(eq xto(B)1eq f(2,3)eq f(3,4)eq f(1,2).事件間的獨(dú)立性關(guān)系已知兩個事件A，B相互獨(dú)立，它們的概率分別為P(A)，P(B)，則有事件表示概率A，B同時(shí)發(fā)生ABP(A)P(B)A，B都不發(fā)生eq o(A,sup12() eq o(B,sup12()P(eq xto(A)P(eq xto(B)A，B恰有一個發(fā)生(A eq xto(B)(eq xto(A)B)P

14、(A)P(eq xto(B)P(eq xto(A)P(B)A，B中至少有一個發(fā)生(A eq xto(B)(eq xto(A)B)(AB)P(A)P(eq xto(B)P(eq xto(A)P(B)P(A)P(B)A，B中至多有一個發(fā)生(A eq xto(B)(eq xto(A)B)(eq o(A,sup12() eq o(B,sup12()P(A)P(eq xto(B)P(eq xto(A)P(B)P(eq xto(A)P(eq xto(B)1相互獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別相互獨(dú)立事件互斥事件判斷方法一個事件發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響兩個事件不可能同時(shí)發(fā)生，即AB概率公式事件A與B相

15、互獨(dú)立等價(jià)于P(AB)P(A)P(B)事件A與B互斥，則P(AB)P(A)P(B)2.在涉及“至多”“至少”等事件的概率時(shí)，常利用對立事件的概率公式求解1判斷正誤(1)不可能事件與任何一個事件相互獨(dú)立()(2)必然事件與任何一個事件相互獨(dú)立()(3)若兩個事件互斥，則這兩個事件相互獨(dú)立()提示(1)正確不可能事件的發(fā)生與任何一個事件的發(fā)生沒有影響(2)正確必然事件的發(fā)生與任何一個事件的發(fā)生沒有影響(3)錯誤因?yàn)閮蓚€事件互斥，所以二者不能同時(shí)發(fā)生，所以這兩個事件不相互獨(dú)立答案(1) (2)(3)2甲、乙兩名射手同時(shí)向一目標(biāo)射擊，設(shè)事件A：“甲擊中目標(biāo)”，事件B：“乙擊中目標(biāo)”，則事件A與事件B(

16、)A相互獨(dú)立但不互斥B互斥但不相互獨(dú)立C相互獨(dú)立且互斥D既不相互獨(dú)立也不互斥A對同一目標(biāo)射擊，甲、乙兩射手是否擊中目標(biāo)是互不影響的，所以事件A與B相互獨(dú)立；對同一目標(biāo)射擊，甲、乙兩射手可能同時(shí)擊中目標(biāo)，也就是說事件A與B可能同時(shí)發(fā)生，所以事件A與B不是互斥事件3甲、乙兩班各有36名同學(xué)，甲班有9名三好學(xué)生，乙班有6名三好學(xué)生，兩班各派1名同學(xué)參加演講活動，派出的恰好都是三好學(xué)生的概率是()A.eq f(5,24)B.eq f(5,12)C.eq f(1,24)D.eq f(3,8)C兩班各自派出代表是相互獨(dú)立事件，設(shè)事件A，B分別為甲班、乙班派出的是三好學(xué)生，則事件AB為兩班派出的都是三好學(xué)生，則P(AB)P(A)P(B)eq f(9,36)eq f(6,36)eq f(1,24).4在同一時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩個氣象臺獨(dú)立預(yù)報(bào)天氣準(zhǔn)確的概率分別為eq f(4,