1、復頻域分析 通過變換將時間變量轉變為復頻率變量，在復頻域內分析信號特性、系統特性及其系統響應的方法。返 回9/3/20221本 章 要 求掌握拉普拉斯變換、反變換及其性質；熟練掌握系統響應的復頻域求解方法；返 回9/3/20222本章主要內容拉普拉斯變換拉普拉斯變換的性質拉普拉斯反變換系統響應的分析返 回9/3/20223傅里葉變換是將一個連續時間信號從時域特性的描述變換為頻域特性的描述，而拉普拉斯變換是將時域特性描述變換為復頻域特性的描述。與前部分一樣，這里仍然是求信號的分解和響應的疊加，所不同的是這里把信號分解成復指數 的疊加，其中 為復數，系統用傳輸函數 表示，則響應為 ，所用的工具是拉

2、普拉斯變換與反變換。同頻域中一樣，把 作為輸入，則線性時不變系統的響應為 （其中 H 與時間無關）。引 言返 回9/3/20224實際上，在時域中： 令： 它就是系統的傳輸函數（即傳遞函數），與 t 無關而僅與 s 有關，也即系統沖激響應的拉氏變換。在這里信號等效于一個拉氏變換，系統等效于一個傳輸函數，信號與系統相互作用，就是兩個 s 域函數的乘積運算。 9/3/20225拉氏變換的優點 實際遇到的信號都存在拉氏變換；變積分運算為代數運算；易于求解系統的全響應；易于分析系統的特性。返 回9/3/20226傅氏變換的反變換有缺點，也很難進行；在正變換中，也存在絕對可積的苛刻條件，因而很多信號（如

3、： ， ， ）或者不能變換或者不能直接變換，必須乘上衰減因子才能進行，也很麻煩。可見，如果將所有信號均乘上 ，可使變換計算方便、簡單化，并使信號范圍擴大了，這就引出了拉氏變換。從傅里葉變換到拉普拉斯變換返 回9/3/20227正變換： （若不是因果信號，則必須乘 ）從傅里葉變換到拉普拉斯變換拉氏變換就是信號均乘以衰減因子的傅氏變換，是傅氏變換的推廣，或者說，傅氏變換是拉氏變換在 時的特例。則有： 令： ，有 正變換式返 回9/3/20228若 是因果信號，則求 的下限從 0 開始；若下限從0-開始，則可能包含有沖激信號( )。不做說明時，0 與0-等同，而 不一定等于 ，因為 。令 ，當 ，

4、， ， 反變換式： 兩邊乘 ，有 反變換式返 回 9/3/20229 是一一對應關系：有一個“原函數” ，就有一個“象函數” ，反之亦然； 對拉氏變換的幾點說明 傅氏變換就是把時域變換到實頻域（ ）中；拉氏變換就是把時域變換到復頻域（ ）中。說 s 是復頻率是指它為復數，是頻率并不準確，它的實部 為幅度，虛部 為頻率。衰減因子可使積分范圍擴大；9/3/202210 若 為有始（因果）函數，積分限 ，這樣的拉氏變換叫“單邊拉氏變換”；當積分限 ，即 ，這樣的拉氏變換叫“雙邊拉氏變換”。這里我們僅討論“單邊拉氏變換”（后面若不加說明，均是指單邊的拉氏變換）。對拉氏變換的幾點說明9/3/202211

5、物理意義：任何一個信號都可以分解成無窮小的“變幅正弦振蕩”的連續和。這里的“變幅正弦振蕩”指的是振蕩按指數規律變化，可能是增幅，也可能是減幅；當頻率很高時，圖形在一個周期（或幾個周期）內可近似看成等幅的正弦振蕩。拉氏變換的物理意義 傅氏： 任何信號均可以分解成一系列振幅為 無窮小的等幅正弦振蕩的連續和（振幅實為 ）。拉氏： 任何信號均可以分解成一系列振幅為 無窮小的變幅正弦振蕩的連續和。9/3/202212例：信號 ，要 ，只須 即可（收斂域）收斂域：滿足絕對可積時， 中 的取值范圍。對大部分信號而言，收斂域是存在的，故后面將不再討論（研究）收斂域而直接變換。拉氏變換有收斂域：要注意的是并不是

6、 一概可積，而要取決于 的性質及 的大小，在一個區域可積，在另一個區域不一定可積。拉氏變換的收斂域怎樣求收斂域： ， （收斂）9/3/202213常用函數的拉氏變換 指數函數： （其中 、 、 ） ，即 當 時，有階躍函數： ，即 9/3/202214比較上二式，依線性特性有： 又： 9/3/202215常用函數的拉氏變換 當 ，有雙曲函數同理： 當 ，有變幅的正弦函數：按中的方法有9/3/202216常用函數的拉氏變換，即 ，還可有 單位沖激信號9/3/202217拉氏變換的基本性質線性特性尺度變換（展縮）特性時間平移（延時）特性復頻移（S域平移）特性時域微分特性時域積分特性卷積定理復頻域微

7、分與積分特性初值定理終值定理拉氏變換是傅氏變換的普遍形式，因而它除具有與傅氏變換相同的一些性質外，還具有它特有的性質9/3/202218則： 線性特性：若 尺度變換（展縮）特性：若 則：9/3/202219 時間平移（延時）特性：若 則：例：已知 單邊周期信號： 可見，求周期信號的拉氏變換均可用此式求，主要是求 。 9/3/202220 復頻率平移（S域平移）特性：若 則： 時域微分特性：若 則：當各階導數 有 9/3/202221若 為因果信號，則 ，有： 時域積分特性若 ,則： 卷積定理：若則： 時域卷積特性： 復頻域卷積（時域乘積）特性：9/3/202222拉氏變換的基本性質 復頻域微分

8、與積分特性則若9/3/202223 初值定理：若 及其各階導數存在，不包含 及其各階導數，且有 ，則 拉氏變換的基本性質說明： 無論拉氏變換中積分所規定的是 0 還是 0- ，用該式算出的初始值仍為 0+ 時的值；9/3/202224且有 ，則： 如果 不存在， 也可能存在，故此定理只適用于 存在的情況。拉氏變換的基本性質 如果 處無函數值，則 終值定理：若 當 時的極限存在，說明： 不存在， 也可能存在，故此定理只適用于 存在的情況。9/3/202225拉普拉斯反變換 查表法部分分式法留數法級數法拉氏反變換是我們求解和分析系統響應的重要手段9/3/202226查表法人們為方便將一些常用的原函

9、數與對應的象函數列成一個表。查表法就是利用這個表，由象函數找到原函數的方法。9/3/202227這里：sj 表示第 j 個特征根；r 表示該特征根的階數；Kji 表示第 j 個特征根的第 i 部分的系數。由分母多項式 的根決定將分解成諸個 形式的代數和，而 對應的原函數為：部分分式法其中：9/3/202228部分分式法假分式（要變成真分式）單根（包括共軛復根）重根9/3/202229假分式當 時 為假分式，應用長除法將 化為： （要變成真分式）如有：象函數為有理分式： 9/3/202230在一般情況下， ，沒有特別說明時 為真分式，其中：ai 、bi 均為實數，m 、n 均為正整數。當 、 可

10、以因式分解時有： 假分式當為實系數多項式時，則由，得對應的反變換： 上面9/3/202231令 ，作因式分解，則可對 用部分分式法求反變換，一般有單根、重根和共軛復根幾種情況，如：其中：s1、s2、sn 是 的根，也就是使 為零或 為無窮大的值，稱它們為 的“極點”。 其中：z1、z2、zm 是使 的值，稱它們為 的“零點”。 假分式9/3/202232單根（包括共軛復根）有求 Ki 的辦法，或前例9/3/202233重 根其中： 則9/3/202234重 根例：9/3/202235例 題9/3/202236留數法（圍線積分法） 其中：si 第 i 個特征根 有 個特征根（1 n ，n 為 的

11、階數） ri 第 i 個特征根的階數 注意： 必須是真分式 分母 能夠因式分解 若有重根時， 更顯方便（優點）9/3/202237前例： 又： 9/3/202238對一些 中含有非整數冪的無理函數，不能展開成簡單的部分分式，那么以上幾法均不適用，但如果 能展開成形如 的級數，那么可依 進行變換。 級數法9/3/202239級數法例：又9/3/202240復頻域分析 微分方程的變換解 系統函數系統響應的復頻域分析由零輸入響應到零狀態響應電容、電感在 s 域中的等效電路 用拉氏變換分析電路 9/3/202241微分方程的變換解 設一個二階微分方程為： 對其兩邊取拉氏變換：（設系統初始狀態為 、 ）

12、 其中： 零輸入響應 零狀態響應 9/3/202242微分方程的變換解 零狀態響應 可以根據題目要求分別求出：也可以一次求出全響應： 9/3/202243例 題例：已知 求： ， 及 。解： 零輸入響應： ，取拉氏變換 9/3/202244 零狀態響應： ，取拉氏變換 全響應：或對 取拉氏變換有 9/3/2022459/3/202246系統響應的復頻域分析由前知，給定系統 輸入 時，其輸出為 ，即： 變卷積為乘積，大大簡化了運算。 9/3/202247系統函數求 是求解系統響應的關鍵，輸入端（輸出端）不同，其 一般也就不同，可分成如下幾類： 策動點阻抗： ； 策動點導納： ； 轉移阻抗： ；

13、轉移導納： ； 轉移電壓比： ； 轉移電流比： 。對微分方程實際上就是： 9/3/202248由零輸入響應到零狀態響應按以下步驟，可以求出系統的零狀態響應： 對于電容、電感等元件的初始儲能，則可以看成是一個輸入 ； 顯然，該輸入與系統實際輸入一般不在一條支路上，其 當然也就不同； 依上，零輸入響應可作零狀態響應來處理，求全響應的過程變成了求多個零狀態響應的過程。 9/3/202249電容、電感在 S 域中的等效電路電感元件 （對應“t”中的沖激） （對應“t ”中的階躍） 9/3/202250電容、電感在 S 域中的等效電路電容元件 （對應“t ”中的沖激） （對應“t ”中的階躍） 9/3/202251用拉氏變換分析電路 依換路前 的電路求出 及 ； 畫出換路后 的 s 域等效電路； 對于一般給定的系統，除可以寫出 求解外，還可以直接寫出響應與激勵之間的關系，然后求拉氏反變換，其一般步驟為： 求已知激勵的拉氏變換； 應用各種電路分析方法（如節點電壓法、網孔電流法等）列出方程組、求解，從而得出全響應的象函數； 對全響應的象函數進行拉氏反變換，即得時域中的全響應。 9/3/202252例 題 一求：全響應 電路如圖： 9/3/202253 解：畫出域 s