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文檔簡介

2.2 有限長桿上的熱傳導一均勻細桿長為 l，在 x=0 端溫度為0度，且保持溫度不變， x=l 端與外界絕熱。已知初始時刻溫度分布為 試求細桿上溫度的變化規律。令 代入方程及邊界條件中, 并引入參數 得當 或 時, 特征問題當 時, 由邊界條件 從而 亦即特征根 特征函數為： 代入初始條件 比較系數得： 注1：對于波動方程和熱傳導方程而言, 邊界條件唯一確定了其特征值和特征函數。特征值特征函數取值范圍 一一一二二二二一注2：用分離變量法求解包含第三類(齊次) 邊界條件 的定解問題時，其過程與 第 一 類（或第二類）邊界條件相同， 但在確定特征值時，一般比較復雜。例 細桿的熱傳導問題 長為 的均勻細桿，設與細桿垂直截面上各點的溫度相等，側面絕熱， 端絕熱， 端熱量自由散發到周圍介質中，介質溫度恒為0 ，初始溫度為 求此桿的溫度分布。 解 定解問題為 當 或 時, 當 時, 由 得 由 得 故 即 令有函數方程對應的特征函數 的方程： 解為故 （二）利用邊界條件,得到特征值問題并求解出特征 值和特征函數。 （四）將所得特征解疊加，利用初始條件確定系數， 從而得到問題的解。（一）將偏微分方程化為常微分方程。（方程齊次）分離變量法解題步驟（邊界條件齊次）（三）將特征值代入另一常微分方程， 得到解。 并 將此解與特征函數相乘，得到特征解。 練習

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