1、PAGE 第 PAGE 5 頁 共 NUMPAGES 5 頁對北京2010年數(shù)學(xué)中考壓軸題的分析與思考北京東城教師研修中心 100009 雷曉莉北京市第22中學(xué) 100009 張玉梅一、試題介紹：25問題：已知中，點是內(nèi)的一點，且，探究與度數(shù)的比值 請你完成下列探究過程：先將圖形特殊化，得出猜想，再對一般情況進(jìn)行分析并加以證明.（1） 當(dāng)時，依問題中的條件補(bǔ)全右圖觀察圖形，與的數(shù)量關(guān)系為 ；當(dāng)推出時，可進(jìn)一步可推出的度數(shù)為 ；可得到與度數(shù)的比值為 （2） 當(dāng)時，請你畫出圖形，研究與度數(shù)的比值是否與（1）中的結(jié)論相同，寫出你的猜想并加以證明二、解法探究： 解：（1） 相等 ； 15 ； 13 （

2、2）猜想：與度數(shù)的比值與（1）中的結(jié)論相同 證明：方法一，利用軸對稱構(gòu)造圖形如圖，作 ，過點作交于點，連結(jié) ， 四邊形是等腰梯形 ， ， ， ， ， ， ， 與度數(shù)的比值為 DBC與ABC度數(shù)的比值為1：3方法二，利用圓的定義轉(zhuǎn)化角添加輔助線的方法同上，在證出KC=KD=KB后，通過輔助圓來說明角的關(guān)系則更加簡潔如圖，以K為圓心，KC長為半徑作圓，則點C、D、B在K上，此時有1=22，而1=3，所以ABC =32，即DBC與ABC度數(shù)的比值為1：3方法三，利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造圖形將CBD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)DBA的度數(shù)， 此時C的對應(yīng)點為E，連接DE、CE則DBA=CBE，CB=BE，DB=BA所以BCE

3、=BEC=BDA=BAD設(shè)BCD=，DCA=DAC=，則BCA=由題意可得BAC=,BAD=,則ACE=BCE-BCD-DCA=所以DCE=由CDB+BDA+CDA=,即BAE=CDB= =所以DAE = = = 又因為AD=AE， 所以 ADE=AED = 所以 BE D= 所以DEC =DCE =所以BD平分CBE 所以DBC與ABC度數(shù)的比值為1：3 方法四，利用軸對稱構(gòu)造圖形作BECA，交CA的延長線于點E，以BE為對稱軸分別做、的對稱圖形易證四邊形是平行四形，所以根據(jù)外角可知因為，所以所以為等邊三角形設(shè)BCD=，DCA=DAC=，則BCA=從而得到進(jìn)而所以DBC與ABC度數(shù)的比值為1

4、：3.三、試題來源：第24屆澳大利亞數(shù)學(xué)奧林匹克試題：在中，點是內(nèi)的一點，且，求證：四、試題思考：1呈現(xiàn)方式試題改變了原競賽題的呈現(xiàn)方式，從特殊入手，從學(xué)生熟悉的圖形入手，讓學(xué)生先研究特殊的等腰直角三角形，從特殊圖形的研究中得到結(jié)論，從而猜想一般情況的結(jié)論.這樣的呈現(xiàn)方式既使問題有了一定的層次，又給學(xué)生指明了研究問題的方法，同時也考查了學(xué)生合情推理能力，為高中選拔優(yōu)秀學(xué)生提供了依據(jù).2能力要求（1）考試說明中對該題主要涉及的幾何考查的要求：考試內(nèi)容考試要求ABC空間與圖形圖形與證明推理與證明理解證明的必要性，了解反證法的含義掌握綜合法證明的格式，證明的過程要步步有據(jù)會用歸納和類比進(jìn)行簡單推理圖

5、形的認(rèn)識梯形會識別梯形、等腰梯形；了解等腰梯形的性質(zhì)和判定掌握梯形的概念，會用等腰梯形的性質(zhì)和判定解決簡單問題圖形與變換軸對稱了解圖形的軸對稱，理解對應(yīng)點所連的線被對稱軸垂直平分的性質(zhì)，了解物體的鏡面對稱能按要求做出簡單平面圖形經(jīng)過一次或兩次軸對稱后的圖形；掌握簡單圖形之間的軸對稱關(guān)系，并能指出對稱軸；掌握基本圖形的軸對稱性及其相關(guān)性質(zhì)能運(yùn)用軸對稱知識解決簡單問題圖形的認(rèn)識線段、射線和直線會表示點、射線、線段和直線，知道他們之間的聯(lián)系和區(qū)別；結(jié)合圖形理解兩點之間距離的概念，會比較兩條線段的大小，并能進(jìn)行與線段有關(guān)的計算會尺規(guī)作圖：作一條線段等于已知線段；作線段的垂直平分線；會用線段中點的知識解

6、決問題；結(jié)合圖形認(rèn)識線段間的數(shù)量關(guān)系會利用兩點之間的距離解決有關(guān)問題角與角平分線會識別角并會表示；認(rèn)識度、分、秒，并會進(jìn)行簡單計算；會度量角的大小及進(jìn)行簡單計算；會比較角的大小，能估計一個角的大小；了解角平分線的概念并會表示會尺規(guī)作圖：作一個角等于已知角；作已知角的平分線；會用角平分線性質(zhì)解決簡單問題；結(jié)合圖形認(rèn)識角與角之間的數(shù)量關(guān)系（2）該題對學(xué)生的能力要求： = 1 * GB3 正確作圖的能力. 要求學(xué)生會做一個角是另一個角的2倍；垂直平分線；一條線段等于已知線段. = 2 * GB3 添加輔助線的能力. 從上述的多種解法中可以看出，不管采用什么樣的做法，都要添加多條輔助線. = 3 *

7、GB3 觀察能力、思維能力. 要添加輔助線，首先得深入認(rèn)識圖形，因此該題對學(xué)生觀察能力、思維能力要求都很高. = 4 * GB3 邏輯推理能力. 該題不是一個簡單的幾何問題，它的證明需要非常強(qiáng)的邏輯推理能力.3教學(xué)思考（1）該題非常精巧，考查的知識內(nèi)容比較多，對學(xué)生的能力要求也很高，是一道非常綜合的難題. 但在初中對幾何的考查要求似乎略偏高.（2）由于此題是中考試題，而且是壓軸題，因此它會對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、復(fù)習(xí)，教師的教學(xué)有一定的導(dǎo)向. 但大家要認(rèn)識到這樣的試題只是針對個別學(xué)生的，是給有一定水平的尖子生出的. 因此對幾何的教學(xué)，我們面對的是全體學(xué)生，因此教師不能一問的追求巧題、難題、競賽題，而應(yīng)從學(xué)生的實際出發(fā)，按照課標(biāo)的要求落實基礎(chǔ)知識、基本技能，落實通性通法，落實數(shù)學(xué)思想方法，逐步提高學(xué)生的思維能力和邏輯推理能力.參考文獻(xiàn)：蕭振綱. 幾何變換M