1、題 目 基金使用方案摘要本文研究了關于基金使用方案的問題，主要目的在于設計資金的合理安排方法，實現在一定條件下，使用有限的資金合理投資，到達最大的利潤。并且我們建立了相應的數學模型對該問題進行分析求解。對于第一問，我們在不影響獎學金發放的情況下，對利率較小的銀行存款進行排除，對每年的資金來源進行分析，列出所有可能發生的情況，然后建立一個線性方程組，求出最大獎學金額度，方程組如下：使用軟件對其進行編程求解，最后的得出最大獎學金額數為。然而對于第二問，情況與第一問相似，但是又存在不同點，校方允許了購置國庫券這種投資方式。經過分析發現，由于國庫券的發行不穩定，會產生三種不同的情況。所以我們對這三種情

2、況分別進行分析，運用第一題的思路，根據題目要求同樣建立了一個線性方程組具體方程組見下文。同樣也是使用軟件對其進行編程求解。最后得出在第一種情況下，校方每年能夠發放的最大獎學金額數為；而第二種方案的最大獎學金額數為；最后第三種方案的最大獎學金額數為第三問比擬簡單，校方要求第三年的獎金能夠多出，但是因為沒有規定是只存款不購國庫券還是可存款也可購國庫券，所以又要分成兩個情況去討論。我們對第一問和第二問中的方程組加以改良改良方案見下文，將方程組中第三年支出的獎金額數上調，就能夠得到滿意的答案。最后，還是通過使用軟件對其進行編程求解，在第一種情況下，得出的最大獎學金額數為，而第三年百年校慶時的獎學金為；

3、而在第二種情況下，得出的最大獎學金額數為，而第三年百年校慶時的獎學金為。關鍵詞：線性方程組 求解 最優化方案一、問題重述某校基金會有一筆數額為M元的基金，打算將其存入銀行或購置國庫券。當前銀行存款及各期國庫券的利率見下表。假設國庫券每年至少發行一次，發行時間不定。取款政策參考銀行的現行政策。校基金會方案在n年內每年用局部本息獎勵優秀師生，要求每年的獎金額大致相同，且在n年末仍保存原基金數額。校基金會希望獲得最正確的基金使用方案，以提高每年的獎金額。請你幫助校基金會在如下的情況下設計出基金的最合理的使用方案，并且對于給出具體結果： 1、只存款不購國庫券；2、可存款也可購國庫券。3、學校在基金到位

4、后的第年要舉行百年校慶，基金會希望這一年的獎金比其它年度多。銀行存款稅后年利率%國庫券年利率%活期半年期一年期二年期三年期五年期二、模型假設1、每年發放的獎金數額都是相同的。2、不考慮通貨膨脹或通貨緊縮和國家經濟政策對存款利率的影響。3、假設基金在年末到位，獎學金在基金到位后發放。4、假設購置國庫券后所得的利息不用支付所得稅。5、假設資金到位后，立即進入下一輪的存款，中間無時間間隔。6、假設購置國庫券時，能夠一次滿足所有需求。7、假設購置的國庫券到期后，通過投資國庫券而取得的資金在同年內不能夠再購置購置國庫券，必須等到下一年的國庫券發行后，才能繼續購置。8、假設定期存款如果在沒有到期之前取出，

5、就按照活期存款利率計算。三、符號說明第年存入銀行年期的存款金額第年購置年期的國庫券金額初始本金萬每年發放的固定獎金年期的銀行存款稅后年利率第年年初投入存款的總金額第年年末獲得的資金總金額第年年初投入國庫券的總金額年期的國庫券年利率四、問題分析對問題一的分析在第一問中，校方要求只存款而不購置國庫券，為了使得每年年終獲得的獎學金最多，那么就必須使得在銀行獲得利息最大。因此，活期存款和半年期存款因為利率太低，而且如果去除，并不會影響獎學金的發放，所以不予考慮。然后我們經過研究，把每年在存款到期日取出的資金分為：發放獎金、轉存到一年期存款、二年期存款、三年期存款、五年期存款這五個款項。通過對這五個款項

6、的分析與求解，求出最大的每年發放的獎學金。對問題二的分析在第二問中，校方要求可以存款也可以購置國庫券，但是國庫券的購置與直接存款有很大的區別，所以要對第一問中的解法做一些調整。因為同年期的國庫券的利率要大于同年期的銀行存款利率，所以在選擇時，我們優先考慮購置國庫券。但是，由于每年發行的國庫券的時間和次數不同，所以可能會發生三種情況：一是，國庫券在年初準備存錢的時候發行了，我們就在第一題的根底上，將準備存入相應年期存款的資金用于購置同樣年期的國庫券，然后計算出最大的獎金額。二是，國庫券沒有在存入資金之前發行，為了不讓資金發生閑置，我們設立了另一種解決方案：以二年期的國庫券為例：由于在年初年初投放

7、資金時不能購置國庫券, 我們先將購置國庫券的資金全部用于半年期存款, 如果在該半年內發行了國庫券, 我們就將資金全部取出購置國庫券, 在國庫券到期的那年將本息全部用于半年期存款, 到期后轉入活期存款；如果在該半年內沒有發行國庫券, 我們將半年到期的自己全部用于活期存款，用于購置下半年一定會發行的國庫券, 國庫券到期之后再全部轉入活期存款。因此，我們將其運轉周期定為三年, 在這三年里, 不管國庫券什么時候發行, 該局部資金一定有兩年是用于存國庫券, 有半年用于存半年期, 還有半年是存活期。即采用活期、半年期、國庫券的“組合式投資。所以同理，三年期國庫券和五年期國庫券的周期分別為四年, 六年。而第

8、三種那么是第二種情況的特殊化，也就是國庫券恰好在年中發行了。而在這種情況下，在國庫券發行的前半年，用于購置國庫券的資金就可以存入半年期的銀行存款；而在國庫券到期后，還會有半年的時間，我們就能夠將購置國庫券后得到的本息再次存入半年期的銀行存款中去。這樣就是半年期和國庫券的“組合式投資，這樣的投資方法會比第二種情況獲利更多。然后對這三個情況分別求解，得出每年發放的獎學金。在第三問中，校方要求第三年的百年校慶中的獎學金能夠上漲20%，這個問題比擬簡單。但是因為沒有規定是只存款不購國庫券還是可存款也可購國庫券，所以又要分成兩個情況去討論。又因為第一種情況與第一問相似，第二種情況與第二問相似，所以只需要

9、在第一問和第二問的根底上對方程進行一局部的改良，將第三年的獎學金上調，從而改為，再利用進行求解。五、模型的建立與求解問題一的模型建立與求解我們對每一年的年末所能夠獲得的、用于發放獎學金的現金來源進行分析。比方，在第一年的年末，校方所能夠提取的現金，只有可能是在第一年年初投入一年期存款的基金的本金和所獲得的利息；而在第二年年末，校方所能夠提取現金的來源就可能有兩個，一是第二年年初投入一年期存款的基金的本金和所獲得的利息，二是第一年年初投入二年期存款的基金本金和所獲得的利息；而在第三年的年末，校方所能夠提取現金的方法就有三種。所以根據上述的思想，我們建立了一個線性方程組，用于求解最大的獎學金額數。

10、該方程組如下：然后我們將數據代入方程組，利用軟件對其進行求解編程代碼見附錄I，求得答案為輸出結果見附錄II：最大獎學金額數為。而存款方案如下表所示：表1：問題1第年存入年期的金額萬元第一年第二年第三年第四年第五年第六年第七年第八年第九年第十年一年期000000000二年期000000000三年期00000000五年期420745820000問題二的模型建立與求解首先對第一種情況進行求解。對于第一種情況，經過分析發現，與第一問十分相似，直接將第一問中的與國庫券有著相同年期的銀行存款利率改為國庫券利率，然后通過運用軟件進行編程求解編程代碼見附錄I，輸出結果見附錄II，得出：最大獎學金額數為。而投資

11、方案如下表所示：表2：第年存入年期的金額萬元第一年第二年第三年第四年第五年第六年第七年第八年第九年第十年一年存款000000000二年國庫000000000三年國庫000000五年國庫39710044480000然后對第二種情況進行求解。因為國庫券的周期與存款不同，所以需要重新進行計算，根據不同的存款利率和國庫券利率列出如下的“組合式購置利率公式：然后根據第一問中的思想建立一個新的線性方程組用于求解最大的獎學金額數。該方程組如下：然后我們將數據代入方程組，利用軟件對其進行求解編程代碼見附錄I，求得答案為輸出結果見附錄II：最大獎學金額數為。而投資方案如下表所示：表3：第年存入年期的金額萬元第一

12、年第二年第三年第四年第五年第六年第七年第八年第九年第十年一年存款00000000二年存款000000000三年存款000000000五年存款0000000000二年國庫0000000000三年國庫4209000000000五年國庫437700000最后對第三種情況進行分析求解，因為是第二種情況的特殊化，所以只需要在第二問中進行一些改動。由于在第三種情況中，沒有活期銀行存款的存在，而是變成了兩個半年期，所以 “組合式購置利率發生了改變，更改后的公式為：然后還是根據第二種情況中的線性方程組求解最大的獎學金額數。最后求出的最大獎學金額數為編程代碼見附錄I，輸出結果見附錄II：年存入年期的金額萬元第一

13、年第二年第三年第四年第五年第六年第七年第八年第九年第十年一年存款000000000二年存款000000000三年存款0000000000五年存款0000000000二年國庫000000000三年國庫406800000000五年國庫112.0436200000對于第三問，由于第三年為百年校慶，所以校方要求當年的獎學金要上調。但是因為沒有規定是只存款不購國庫券還是可存款也可購國庫券，所以又要分成兩個情況去討論。在第一種情況中，我們只存款而不購置國庫券，我們將第三年的獎學金發放額改為原來的，對第一問方程組中的的方程進行修改：然后再通過利用軟件對其進行求解編程代碼見附錄I，求得答案為輸出結果見附錄II

14、：最大獎學金額數為。而投資方案如下表所示：年存入年期的金額萬元第一年第二年第三年第四年第五年第六年第七年第八年第九年第十年一年存款00000000二年存款000000000三年存款00000000五年存款420345790000而在第二種情況中，我們可以存款也可以購置國庫券，我們對第二問中第二種情況的求解方程組中的的方程進行修改：將改為了，再通過利用軟件對其進行求解編程代碼見附錄I，求得答案為輸出結果見附錄II：最大獎學金額數為。而投資方案如下表所示：表6：第年存入年期的金額萬元第一年第二年第三年第四年第五年第六年第七年第八年第九年第十年一年存款00000000二年存款000000000三年存

15、款000000000五年存款0000000000二年國庫0000000000三年國庫4202000000000五年國庫106.6437500000六、模型的評價與改良1、運用線性規劃的思想，使用進行編程求解，方便運算，簡單實用。2、模型細致，分析具體，將各種情況都考慮了進去。3、運用圖表，結果更加直觀，可操作性高。1、假設過于理想化，與現實生活有一定的差異。2、重復計算較多，不借助軟件無法求解。七、模型的推廣這個模型的假設過于理想化，是建立在不受社會經濟情況的影響的情況下。比方，通貨膨脹、通貨緊縮、國家公布的經濟政策等，都沒有考慮到。這個模型可以適用于短期的一些較為復雜的資金分配問題中，或者是

16、一些經濟較為穩定的，銀行利率不會產生大幅度波動的地區所產生的一些經濟問題中，從而提高資金的利用率，能夠在固定的時間中獲得最大的利益。八、參考文獻1馬君兒，李東明，資金的最優分配，工科數學，18卷5期：6670，20022姜啟源，數學模型M，北京：高等教育出版社，19893滄浦，最優控制的理論與方法M,北京：國防工業出版社，1989附錄I問題1的軟件編程代碼：MODEL:SETS:YEAR1/1.10/:S; !題目的1-10年;YEAR2/1.10/:W;NIANQI/1.6/:r; !題目所給的年利率;LINK(YEAR1,NIANQI):x;!第i年投給j年期的金額;ENDSETSMAX=

17、A; !每年發給優秀師生的獎金;for(YEAR1(i):S(i)=x(i,3)+x(i,4)+x(i,5)+x(i,6);for(year2(i)|i#ge#5#and#i#le#10:W(i)=(1+r(3)*x(i,3)+(1+2*r(4)*x(i-1,4)+(1+3*r(5)*x(i-2,5)+(1+5*r(6)*x(i-4,6)-A);for(year2(i)|i#ge#3#and#i#le#4:W(i)=(1+r(3)*x(i,3)+(1+2*r(4)*x(i-1,4)+(1+3*r(5)*x(i-2,5)-A);for(year2(i)|i#ge#2#and#i#le#2:W(i

18、)=(1+r(3)*x(i,3)+(1+2*r(4)*x(i-1,4)-A);for(year2(i)|i#ge#1#and#i#le#1:W(i)=(1+r(3)x)*x(i,3)-A);S(2)=W(1);S(3)=W(2);S(4)=W(3);S(5)=W(4);S(6)=W(5);S(7)=W(6);S(8)=W(7);S(9)=W(8);S(10)=W(9);S(1)=M;W(10)=5000;DATA:M=5000;R=0.00792 0.01664 0.01800 0.01944 0.02160 0.02304;ENDDATAEND問題的軟件編程代碼：MODEL:SETS:YEA

19、R1/1.10/:S; !題目的1-10年;YEAR2/1.10/:W;NIANQI/1.6/:r; !題目所給的年利率;LINK(YEAR1,NIANQI):x;!第i年投給j年期的金額;ENDSETSMAX=A; !每年發給優秀師生的獎金;for(YEAR1(i):S(i)=x(i,3)+x(i,4)+x(i,5)+x(i,6);for(year2(i)|i#ge#5#and#i#le#10:W(i)=(1+r(3)*x(i,3)+(1+2*r(4)*x(i-1,4)+(1+3*r(5)*x(i-2,5)+(1+5*r(6)*x(i-4,6)-A);for(year2(i)|i#ge#3#

20、and#i#le#4:W(i)=(1+r(3)*x(i,3)+(1+2*r(4)*x(i-1,4)+(1+3*r(5)*x(i-2,5)-A);for(year2(i)|i#ge#2#and#i#le#2:W(i)=(1+r(3)*x(i,3)+(1+2*r(4)*x(i-1,4)-A);for(year2(i)|i#ge#1#and#i#le#1:W(i)=(1+r(3)*x(i,3)-A);S(2)=W(1);S(3)=W(2);S(4)=W(3);S(5)=W(4);S(6)=W(5);S(7)=W(6);S(8)=W(7);S(9)=W(8);S(10)=W(9);S(1)=M;W(1

21、0)=5000;DATA:M=5000;R=0.00792 0.01664 0.01800 0.02550 0.02890 0.03140;ENDDATAEND問題的軟件編程代碼：MODEL:SETS:YEAR1/1.10/:S,U;YEAR2/1.10/:W;NIANQI1/1.6/:r;NIANQI2/1.3/:P;LINK(YEAR1,NIANQI1):x;LINKS(YEAR1,NIANQI2):Y;endsetsMAX=A; !每年發給優秀師生的獎金;for(YEAR1(i):S(i)=x(i,3)+x(i,4)+x(i,5)+x(i,6);for(YEAR1(i):U(i)=Y(i

22、,1)+Y(i,2)+Y(i,3);for(YEAR2(i)|i#ge#6#and#i#le#10:W(i)=(1+r(3)*x(i,3)+(1+2*r(4)*x(i-1,4)+(1+3*r(5)*x(i-2,5)+(1+5*r(6)*x(i-4,6)+(1+P(1)*Y(i-2,1)+(1+P(2)*Y(i-3,2)+(1+P(3)*Y(i-5,3)-A);for(YEAR2(i)|i#ge#5#and#i#le#5:W(i)=(1+r(3)*x(i,3)+(1+2*r(4)*x(i-1,4)+(1+3*r(5)*x(i-2,5)+(1+5*r(6)*x(i-4,6)+(1+P(1)*Y(i

23、-2,1)+(1+P(2)*Y(i-3,2)-A);for(YEAR2(i)|i#ge#4#and#i#le#4:W(i)=(1+r(3)*x(i,3)+(1+2*r(4)*x(i-1,4)+(1+3*r(5)*x(i-2,5)+(1+P(1)*Y(i-2,1)+(1+P(2)*Y(i-3,2)-A);for(YEAR2(i)|i#ge#3#and#i#le#3:W(i)=(1+r(3)*x(i,3)+(1+2*r(4)*x(i-1,4)+(1+3*r(5)*x(i-2,5)+(1+P(1)*Y(i-2,1)-A);for(YEAR2(i)|i#ge#2#and#i#le#2:W(i)=(1+

24、r(3)*x(i,3)+(1+2*r(4)*x(i-1,4)-A);for(YEAR2(i)|i#ge#1#and#i#le#1:W(i)=(1+r(3)*x(i,3)-A);S(2)+U(2)=W(1);S(3)+U(3)=W(2);S(4)+U(4)=W(3);S(5)+U(5)=W(4);S(6)+U(6)=W(5);S(7)+U(7)=W(6);S(8)+U(8)=W(7);S(9)+U(9)=W(8);S(10)+U(10)=W(9);S(1)+U(1)=M;W(10)=5000;DATA:M=5000;r=0.00792 0.01664 0.01800 0.01944 0.0216

25、0 0.02304;P=0.06394 0.10008 0.17125;ENDDATAEND 軟件編程代碼：MODEL:SETS:YEAR1/1.10/:S,U;YEAR2/1.10/:W;NIANQI1/1.6/:r;NIANQI2/1.3/:P;LINK(YEAR1,NIANQI1):x;LINKS(YEAR1,NIANQI2):Y;endsetsMAX=A; !每年發給優秀師生的獎金;for(YEAR1(i):S(i)=x(i,3)+x(i,4)+x(i,5)+x(i,6);for(YEAR1(i):U(i)=Y(i,1)+Y(i,2)+Y(i,3);for(YEAR2(i)|i#ge#

26、6#and#i#le#10:W(i)=(1+r(3)*x(i,3)+(1+2*r(4)*x(i-1,4)+(1+3*r(5)*x(i-2,5)+(1+5*r(6)*x(i-4,6)+(1+P(1)*Y(i-2,1)+(1+P(2)*Y(i-3,2)+(1+P(3)*Y(i-5,3)-A);for(YEAR2(i)|i#ge#5#and#i#le#5:W(i)=(1+r(3)*x(i,3)+(1+2*r(4)*x(i-1,4)+(1+3*r(5)*x(i-2,5)+(1+5*r(6)*x(i-4,6)+(1+P(1)*Y(i-2,1)+(1+P(2)*Y(i-3,2)-A);for(YEAR2(

27、i)|i#ge#4#and#i#le#4:W(i)=(1+r(3)*x(i,3)+(1+2*r(4)*x(i-1,4)+(1+3*r(5)*x(i-2,5)+(1+P(1)*Y(i-2,1)+(1+P(2)*Y(i-3,2)-A);for(YEAR2(i)|i#ge#3#and#i#le#3:W(i)=(1+r(3)*x(i,3)+(1+2*r(4)*x(i-1,4)+(1+3*r(5)*x(i-2,5)+(1+P(1)*Y(i-2,1)-A);for(YEAR2(i)|i#ge#2#and#i#le#2:W(i)=(1+r(3)*x(i,3)+(1+2*r(4)*x(i-1,4)-A);fo

28、r(YEAR2(i)|i#ge#1#and#i#le#1:W(i)=(1+r(3)*x(i,3)-A);for(YEAR2(i)|i#ge#1#and#i#le#9:W(i)=S(i+1)+U(i+1);S(1)+U(1)=M;W(10)=5000;DATA:M=5000;r=0.00792 0.01664 0.01800 0.01944 0.02160 0.02304;P=0.06849 0.10478 0.17625;ENDDATAEND軟件編程代碼：MODEL:SETS:YEAR1/1.10/:S; !題目的1-10年;YEAR2/1.10/:W;NIANQI/1.6/:r; !題目所給

29、的年利率;LINK(YEAR1,NIANQI):x;!第i年投給j年期的金額;ENDSETSMAX=A; !每年發給優秀師生的獎金;for(YEAR1(i):S(i)=x(i,3)+x(i,4)+x(i,5)+x(i,6);for(year2(i)|i#ge#5#and#i#le#10:W(i)=(1+r(3)*x(i,3)+(1+2*r(4)*x(i-1,4)+(1+3*r(5)*x(i-2,5)+(1+5*r(6)*x(i-4,6)-A);for(year2(i)|i#ge#4#and#i#le#4:W(i)=(1+r(3)*x(i,3)+(1+2*r(4)*x(i-1,4)+(1+3*r

30、(5)*x(i-2,5)-A);for(year2(i)|i#ge#3#and#i#le#3:W(i)=(1+r(3)*x(i,3)+(1+2*r(4)*x(i-1,4)+(1+3*r(5)*x(i-2,5)-1.2*A);for(year2(i)|i#ge#2#and#i#le#2:W(i)=(1+r(3)*x(i,3)+(1+2*r(4)*x(i-1,4)-A);for(year2(i)|i#ge#1#and#i#le#1:W(i)=(1+r(3)*x(i,3)-A);for(YEAR2(i)|i#ge#1#and#i#le#9:W(i)=S(i+1);S(1)=M;W(10)=5000;

31、DATA:M=5000;R=0.00792 0.01664 0.01800 0.01944 0.02160 0.02304;ENDDATAEND問題的軟件編程代碼：MODEL:SETS:YEAR1/1.10/:S,U;YEAR2/1.10/:W;NIANQI1/1.6/:r;NIANQI2/1.3/:P;LINK(YEAR1,NIANQI1):x;LINKS(YEAR1,NIANQI2):Y;endsetsMAX=A; !每年發給優秀師生的獎金;for(YEAR1(i):S(i)=x(i,3)+x(i,4)+x(i,5)+x(i,6);for(YEAR1(i):U(i)=Y(i,1)+Y(i,2)+Y(i,3);for(YEAR2(i)|i#ge#6#and#i#le#10:W(i)=(1+r(3)*x(i,3)+(1+2*r(4)*x(i-1,4)+(1+3*r(5)*x(i-2,5)+(1+5*r(6)*x(i-4,6)+(1+P(1)*Y(i-2,1)+