1、第3章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1 微分中值定理3.2 羅必塔法則3.3 函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值3.4 函數(shù)圖形的凹凸與拐點3.5 曲線的曲率3.1 微分中值定理3.1.1 羅爾定理定理3.1（羅爾理）設(shè)函數(shù) 滿足下列三個條件：（1）在閉區(qū)間 上連續(xù)，（2）在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，（3）在兩端點處的函數(shù)值相等，即 。則在 內(nèi)至少有一點 使得函數(shù) 在該點處的導(dǎo)數(shù)等于零，即 。下圖是羅爾定理的幾何直觀表示，你能說出羅爾定理的幾何意義是什么嗎?幾何意義是：在兩個高度相同的點之間的一段連續(xù)曲線上，除端點外各點都有不垂直于x軸的切線，那么至少有一點處的切線是水平的。注意：羅爾定理要求函數(shù)必須同時滿足三個條件，否則結(jié)論

2、不一定成立。 例3.1驗證函數(shù)并求出 。解 在區(qū)間 上連續(xù)， 所以 滿足羅爾定理的三個條件。 令 。所以存在 ，使得 。由羅爾定理可知，如果函數(shù) 滿足定理的三個條件，則方程 在區(qū)間 內(nèi)至少有一個實根。這個結(jié)論常被用來證明某些方程的根的存在性。例3.2如果方程 有正根 ，證明方程 必定在 內(nèi)有根。證明 設(shè) ，則 在 上連續(xù)， 在 內(nèi)存在，且 。所以 在 上滿足羅爾定理的條件。由羅爾定理的結(jié)論，在 內(nèi)至少有一點 ，使得 ，即 為方程 的根。3.1.2拉格朗日中值定理定理3.2（拉格朗日中值定理）設(shè)函數(shù) 滿足系列條件：（1）在閉區(qū)間 上連續(xù)，（2） 在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，則在 內(nèi)至少有一點 ，使得 。

3、下圖（圖3-2）是拉格朗日值值定理的幾何直觀表示，你能說出朗格朗日中值定理的幾何意義嗎？如果曲線 上連續(xù)，且除端點A,B外處處都有不垂直于X的切線，那么在這條曲線上（兩端點除外）至少有一點P，使得該點的切線與線段AB平行。 注意：拉格朗日中值定理要求函數(shù)同時滿足兩個條件，否則結(jié)論不一定成立。 例3.3驗證 在區(qū)間 上拉格朗日中值成立，并求出 。解顯然 在區(qū)間 上連續(xù)， 在 內(nèi)存在。所以拉格朗日中值定理成立。令 ，即 所以 。例3.4證明 時，不等式 。證明改寫欲求證的不等式為 。構(gòu)造函數(shù) ，因為 ，即要證 ，因為 在 上連續(xù)， 在 內(nèi)存在，由拉格朗日中值定理得：至少存在一點 ，使得 ，即 ，顯

4、然 ，則 ，改寫的欲求證的不等式成立，原不等式得證。拉格朗日中值定理可以改寫成另外的形式，如：（1）（2）（3）推論3.1如果 即在 內(nèi) 是常數(shù)函數(shù)。證明 任取 因為 ，顯然 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)。于是由拉格朗日中值定理有又因為對于 內(nèi)一切 都有 而 ，所以 ，于是 ，即 。既然對于 內(nèi)任意 都有 ，那么說明 在 內(nèi)是一個常數(shù)。推論3.2如果 。 證明因為 根據(jù)推論3.1，得 ，移項即得結(jié)論。 返回 3.2羅必塔法則在極限的討論中我們已經(jīng)看到：若當 時，兩個函數(shù) 都是無窮小或無窮大，則求極限 時不能直接用商的極限運算法則，其結(jié)果可能存在，也可能不存在；即使存在，其值也因式而異。因此常把兩個無

5、窮小之比或無窮大之比的極限，稱為 型或 型未定式（也稱為 型或 型未定型）極限。對這類極限，一般可以用下面介紹的羅必塔法則，它的特點是在求極限時以導(dǎo)數(shù)為工具。3.2.1 型未定式定理3.3（羅必塔法則1）設(shè)函數(shù) 滿足：（1） （2）函數(shù) 在 的某個鄰域 內(nèi)（點 可除外）可導(dǎo)，且 ，（3） ，（ 可以是常數(shù)，也可以為 、 ） ，則 。在具體使用羅必塔法則時，一般先驗證定理的條件（1），如果是 型未定式，則可以做下去，只要最終得到結(jié)果就達到求極限的目的了。例3.5求 。解 。例3.6求 。解 。注意：如果應(yīng)用羅必塔法則后極限仍然是 型未定式，那么只要相關(guān)導(dǎo)數(shù)存在，可以繼續(xù)日用羅必塔法則，直至求出極

6、限；另外，例3.6中 已不是未定式，不能對它使用羅必塔法則，否則要導(dǎo)致錯誤的結(jié)果。例3.7求 。解 。 3.2.2 型未定式定理3.3（羅必塔法則2）設(shè)函數(shù) 滿足：（1） （2）函數(shù) 在 的某個鄰域 內(nèi)（點 可除外）可導(dǎo)，且 ，（3） ，（ 可以是常數(shù)，也可以為 、 ） ，則 。在具體使用羅必塔法則時，一般先驗證定理的條件（1），如果是 型未定式，則可以做下去，只要最終得到結(jié)果就達到求極限的目的了。例3.8求 。 解 例3.9求 。 解 例3.10求 。 解相繼應(yīng)用羅必塔法則 次，得 .3.2.3 其他類型的未定式對函數(shù) 在求 的極限時，除 型和 型未定式外，還有下列一些其它類型的未定式：（1

7、） 型： 中的一個函數(shù)的極限為0，另一個函數(shù)的極限為 ， 求 的極限；（2） 型： 與 的極限都為 ，求 的極限；（3） 型 ： 的極限為1， 的極限為 ，求 的極限；（4） 型： 與 的極限都為0，求 的極限；（5） 型： 的極限為 ， 的極限為0，求 的極限。這些類型的未定式，可按下述方法處理：對（1）、（2）兩種類型，課利用適當變換將他們化為 型或 型未定式，再用羅必塔法則求極限；對（3）、（4）、（5）三種類型未定式，直接使用 ，化為 型。例3.11求 。 解 這是 型未定式，因為 ，可將其轉(zhuǎn)化為 型未定式，則： 例3.12求 。 解 這是 型未定式，經(jīng)過通分可將其轉(zhuǎn)化為 型未定式，則

8、： 例3.13求 。 解 這是 型未定式，通過恒等變形可將其轉(zhuǎn)化為 型未定式，則： 例3.14驗證極限 存在，但不能用羅必塔法則求出 。 證明這是 型未定式，可以利用羅必塔法則，得 ，因為 的極限不存在，所以所給的極限無法用羅必塔法則求出。在使用羅必塔法則時，應(yīng)注意一下幾點：（1）每次使用羅必塔法則時，必須檢驗極限是否屬于 或 型未定式，如果不是這兩種未定式，即不能使用該法則 ；（2）如果有可約因子或由非零極限的乘積因子，則可先約去或直接提取出，然后再使用羅必塔法則，以簡化演算步驟；（3）羅必塔法則與其它求極限方法（如等價小的無窮代換等）地混合使用，往往能簡化運算；（4）當 極限不存在時，并不

9、能斷定 不存在，此時應(yīng)考慮使用其它方法求極限。返回 3.3函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值本節(jié)我們將以導(dǎo)數(shù)為工具，研究函數(shù)的單調(diào)性及相關(guān)的極值、最值問題，學(xué)習(xí)如何確定函數(shù)的增減區(qū)間，如何判定極值和最值。3.3.1 函數(shù)的單調(diào)性定理3.5設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，在開區(qū)間 可導(dǎo)，則有：（1）若在 內(nèi) ，則函數(shù) 在 上單調(diào)增加； （2）若在 內(nèi) ，則函數(shù) 在 上單調(diào)減少。證明 設(shè) 是 內(nèi)任意兩點，不妨設(shè) ，利用拉格朗日中值定理有若 ，則必有 ，又因為 ，所以即 。 由于 是 內(nèi)任意兩點，因此 在 上單調(diào)增加。同理可證，若 ，則函數(shù) 在 上單調(diào)減少。有時，函數(shù)在整個考察范圍上并不單調(diào)，這時，就需要把考察范圍

10、劃分為若干個單調(diào)區(qū)間。如圖3-3所示，在考察范圍上，函數(shù) 并不單調(diào)，但可以劃分 為 ， ，三個區(qū)間。在 和 上 單調(diào)增加，而在 上單調(diào)減少。圖3-3注意：如果函數(shù) 在 上可導(dǎo)，那么在單調(diào)區(qū)間的分界點處的導(dǎo)數(shù)為零，即（在圖3-3上表現(xiàn)為在點A,B處有水平切線）。一般稱導(dǎo)數(shù) 在區(qū)間內(nèi)部的零點稱為函數(shù) 的駐點。這就啟發(fā)我們，對可導(dǎo)函數(shù)，為了確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，只要求出考察范圍內(nèi)的駐點。同時，如果函數(shù)在考察范圍內(nèi)有若干個不可導(dǎo)點，而函數(shù)在考察范圍內(nèi)由這若干個不可導(dǎo)點所分割的每個子區(qū)間是可導(dǎo)的，由于函數(shù)在經(jīng)過不可導(dǎo)點時也可能會改變單調(diào)性，所以 還需要找出考察范圍內(nèi)部的全部的不可導(dǎo)點。綜上所述，確定函數(shù)

11、的單調(diào)區(qū)間的做法為：確定函數(shù) 的考察范圍I（除指定范圍外，一般是指函數(shù)的定義域）內(nèi)部的全部駐點和不可導(dǎo)點；其次，用這些駐點和不可導(dǎo)點將考察區(qū)間分割為若干個子區(qū)間；最后，在每個子區(qū)間上用定理3.5判斷函數(shù) 的單調(diào)性。為了清楚，最后一步常用列表方式表示。.例3.15討論函數(shù) 的單調(diào)性 。 解 確定考察范圍 . 因為 此外 有不可導(dǎo)點為 。 劃分考察區(qū)間 為4個子區(qū)間： 。 列表確定每個子區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號，利用定理3.5判斷函數(shù)的單調(diào)性。 表3-1 所以， 在 和 內(nèi)是單調(diào)減少的，在 和內(nèi)是單調(diào)增加的。例3.16證明：當 時， 。證明 構(gòu)造函數(shù) ，則當 時， ，所以 ，則 在 內(nèi)單調(diào)增加，所以 ，又

12、 ，即 ，移項即得結(jié)論。3.3.2 函數(shù)的極值定義3.1設(shè)函數(shù) 在 內(nèi)有定義，若對于任意一點 ，都有 ，則稱 是函數(shù) 的極大（或極小值）， 稱為函數(shù)的極大（或極小）值點。函數(shù)的極大、極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，極大值、極小值點統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點。定理3.6（極值的必要條件）設(shè)函數(shù) 在其考察范圍 內(nèi)是連續(xù)的， 不是 的端點。若函數(shù)在 處取得極值，則 或者是函數(shù)得不可導(dǎo)點，或者是可導(dǎo)點。如果 是的可導(dǎo)點。那么 必定是函數(shù)的駐點，即 。定理3.7（極值的第一充分條件）設(shè)函數(shù) 在 處連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)。當由小到大經(jīng)過 時，如果（1） 由正變負，那么 是 的極大值點；（2） 由負變正，那么 是 的極小值點；（

13、3） 不改變符號，那么 不是 的極值點。證明 任取 ,在以 和 為端點的閉區(qū)間上，對函數(shù) 使用拉格朗日中值定理，得 當 時，則 ，由已知條件 ，可得即 當 時，則 ，由已知條件 ，可得即綜上所述，對 附近的任意 ，都有 ，由極值的定義可知， 是 的極大值點。定理3.8（極值的第二充分條件）設(shè) 為函數(shù) 的駐點，在點 處有二階導(dǎo)數(shù)且 ，則 必定是函數(shù) 的極值點，且 （1）當 時， 在 處取得極大值；（2）當 時， 在 處取得極小值；（3）當 時，無法判斷。例3.17求函數(shù) 的極值。解 解法1（1）函數(shù)的考察范圍為 。 （2） ，得駐點為 無不可導(dǎo)點。（3）利用定理3.7，判定駐點是否為函數(shù)的極值點

14、。列表判定如3-2所示。表3-2解法2：前兩個步驟同解法1.又因為 ，則 ，由定理3.8 可知： 為極小值點， 為極大值點。例3.18求函數(shù) 的極值。解 （1）函數(shù)的考察范圍為 。 （2）由 ，令 得駐點為 另有不可導(dǎo)點為 。（3）利用定理3.7，判定駐點或不可導(dǎo)點是否為函數(shù)的極值點。列表判定如表3-3所示。.3.3.3 函數(shù)的最大值與最小值設(shè)函數(shù) 的考察范圍是 ， 是 上一點。若對于任意 ，都有 (或 )，則稱 為 在 上的最大（或最小）值，稱 為函數(shù) 的最大（或最小）值點。函數(shù)的最大值、最小值通稱為最值，最大、最小值點通稱為最值點。例3.19求函數(shù) 在區(qū)間 的最大、最小值。解因為 在區(qū)間

15、上連續(xù)，所以在該區(qū)間上必定存在最大、最小值。（1） ，得駐點為 函數(shù)無不可導(dǎo)點；（2）計算函數(shù)在駐點和兩端點處的值：（3）比較這些值，得函數(shù)在此區(qū)間上最大值為68，最大值點為3，最小值為4，最小值點為-1，1.例3.20要做一個容積為V的圓柱形水桶，問怎樣設(shè)計才能使所用材料最省？解 要使所用材料最省，就是它的表面積最小。設(shè)水桶的地面半徑為r,高為h,則水桶的表面積為 由體積 ，得 ，所以 由問題的實際意義可知， 在 時必定存在最小值。令 有唯一駐點 ，因此它一定是使 s達到最小值的點，此時對應(yīng)的高 。因此當水桶的高和底面直徑相等時，所用材料最省。返回3.4 函數(shù)圖形的凹凸與拐點 3.4.1 曲

16、線的凹凸性及其判別法3.4.2 拐點及其求法 3.4.3 函數(shù)的漸近線 3.4.4 函數(shù)的分析作圖法 產(chǎn)品銷售曲線3.4.1 曲線的凹凸性及其判別法觀察上圖中曲線。在 段，曲線上各點的切線都位于曲線的上方，在 段曲線上各點的切線都位于曲線的下方。在數(shù)學(xué)上以曲線的凹凸性來區(qū)分這種不同的現(xiàn)象。定義1 若在區(qū)間 內(nèi)，曲線 的各點處的切線都位于曲線的下方，則稱此曲線在 內(nèi)是凹的，若曲線 的各點處的切線都位于曲線的上方，則稱此曲線 在 內(nèi)是凸的。 定義1定理1定理1（曲線的凹凸性的判定定理） 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，（1） 如果在區(qū)間 內(nèi) 0，則曲線在 內(nèi)是凹的；如（2） 如果在區(qū)間 內(nèi) 0，則

17、曲線在 內(nèi)是凸的。 定理1例1 判定曲線 在 內(nèi)的凹凸性。解： ， ，令 ，得 ；在 內(nèi) 0，曲線是凹的。3.4.2 拐點及其求法 定義2 若連續(xù)曲線 上的點 是凹的曲線弧和凸的曲線弧的分界點，則稱點 是曲線的拐點。 拐點的求法（1)設(shè) 在考察范圍 內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，求出 ； （2）求出 在 內(nèi)的的零點及使 不存在的點； （3）用上述各點從小到大依次將 分成若干個子區(qū)間，考察在每個子區(qū)間內(nèi)的符號，若在分割點兩側(cè) 異號，則 該點是曲線的拐點，否則不是。這一步通常以列表表示。例2 求曲線 的凹凸區(qū)間與拐點。 解：（1）考察范圍為函數(shù)的定義域 ， ； （2）在 無 的零點， 不存在的點為 ； （3）列表

18、（符號 表示凹的，符號 表示凸的）。 例2表格（表格1） 不存在 拐點3.4.3 函數(shù)的漸近線定義3 若曲線 上的動點 沿著曲線無限地遠離原點時，點 與某一固定直線 的距離趨近于零，則稱直線 為曲線 的漸近線。1.水平漸近線定義4 設(shè)曲線的方程為 ，若當 或 時，有 ,（ 為常數(shù)），則稱曲線有水平漸近線 。 例3 求曲線 的水平漸近線。 解：因為 ，所以當曲線向左右兩端無限延伸時，都以 為水平漸近線。見圖3。 2.垂直漸近線定義5 設(shè)曲線的方程為 ，若當 或當 （ 為常數(shù)）時，有 或 ，則稱曲線有 垂直漸近線 。 例4 求曲線 的漸近線。 解：因為 所以當 從左、右兩側(cè)趨近于2時，曲線分別向下、上無限延伸，所以 為其垂直漸近線。又 ，所以當曲線向左右兩端無限延伸時，都以 為水平漸近線。見圖4。圖43.4.4 函數(shù)的分析作圖法作函數(shù)的圖象，其基本方法就是描點法。對于一些不常見的函數(shù)，因為對函數(shù)的整體性質(zhì)不甚了解，取點容易盲目，這大大影響了作圖的精確性。現(xiàn)在我們已經(jīng)能利用導(dǎo)數(shù)來確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值、曲線的凹凸性與拐點，還會求曲線的漸進線，這樣一方面可以 取極值點、拐點等關(guān)鍵點作為描點的基礎(chǔ)，減少描點的盲目性；另一方面因為對函數(shù)的變化有了整體的了解，可以結(jié)合單調(diào)性、凹凸性等，描繪較為準