1、- -2_X2x-x)所以x2y2=x24(x-x)5x2.5-1熱點問題3基本不等式(含多元變量)一、填空題1已知f(x)=log2(x一2)，若實數m,n滿足f(m)+f(2n)=3，則m+n的最小值為【解析】由f(m)f(2n)=3可得log2(m-2)Iog2(2n一2)=3,則(m_2)(n-1)=4，其中(m2,n1),m2亠n1由基本不等式(m-2)(n-1)wmn1,即mn7,2當且僅當m=4,n=3時，取=”所以m亠n的最小值為7.2設實數x,y滿足x2+2xy_1=0，則x2+y2的最小值是.1【解析】因為x22xy一1=0，則y=當且僅當X2=匹時，取“=”.5所以x2y

2、2的最小值為2113.已知x,y為正實數且滿足x+yw1,則+的最小值為xy+11【解析】因為(一4x1)(xy1)y1x+2A744y14xy+111777所以一A4xy14(xy1)4(11)8當且僅當2x=3,y1-時，取“=”.31所以-17的最小值為-.xy184.若不等式x2+2xywa(x2+y2)對于一切正數x,y恒成立，則實數a的最小值為21+2(y)【解析】因為x22xy篤學x+y)2十1x令2t1QL1At21令-=t，則a7(t0),x則匸t21uU-12()212二4三u5-2u425-2,512當且僅當t=亠時，取“=”22所以X22x?的最大值為X2+y25.設m

3、：=R,過定點A的動直線xmy=0和過定點B的動直線mxy-m3=0交于點P(x,y),則PAPB最大值是【解析】由題意：A(0,0),B(1,3)，又兩直線互相垂直，所以點P的軌跡是以AB為直徑的圓,則PA2PB2=10，所以PAPBn)的兩顆鉆石，且價值損失的百分率為原有價值-現有價值原有價值x100%(切割中重量損耗不計)，則價值損失的百分率的最大值為.【解析】因為V與3的平方成正比，所以設V=k32.則原有價值V0=k(m+n)2,現有價值V=V1+V2=km2+kn2,222所以價值損失的百分率=好=km+Jkm2_knx100%,V0k(m+n)km+n2km2kn22mn2mn1

4、而2=沁浮=1，當且僅當m=n時取等號.k(m+nj(m+n)4mn2故價值損失的百分率的最大值為50%.X+V7已知x0,y0，且滿足xy=，貝Ux+4y的最小值為x+4y解析】由xy=上V可得x4y二X一二丄.丄,x+4yxyxy所以(x+4y)$=(x+4)(丄+1)=5+空+9,xyxy當且僅當x=1,y二1時，取“=”2所以x4y的最小值為3.bc&已知a,b,c為正實數且滿足b+ca,則+的最小值為ca+bTOC o 1-5 h z【解析】由bca可得bbcb,ca+bcb+c+bcob2-+1c令b=t，則t0,2t10,c則b-ct-AAAA-(2t1)2-cab2t+122t

5、122當且僅當t=2-1點時，取“=”2所以b-c-的最小值為.2-1.ca+b2二、解答題9.已知x0,y0且滿足xyx8，求xy的最小值.變式1.已知x:0,y:0且滿足xyx8，求xy的取值范圍.變式2.已知x0,y3且滿足xyx8，求xy的最小值.8x【解析】法1：因為xyx8，則y二,x+1由x0,y-0可得0:x：8,TOC o 1-5 h z8x9所以xv=x=x124,x+1x+1當且僅當X=2時，等號成立.法2：由xyxy=8可得xy=8-（xy）4或者xy4.TOC o 1-5 h z8-x變式1因為xyx8，則y=,x+1由x:0,y:0可得x1，即x1:：0,8-x,9

6、9所以xy=xx12-(x1)-23可得0:x17.410.已知函數f(x)-cos2x2，是否存在正整數m，使得f(x)-mf(|)f(0)對任意的恒成立？若存在，求出m的值，若不存在，說明理由.x【解析】由f(x)mf()f(0)可得2cos2xm(cosx2)1,2TOC o 1-5 h z1cos2x22cos2x二,即m對任意的x0,恒成立，2cosx2-cosx2-令2cosx=t-1,2I22則2-2cosx=2-2(2“)=8-(2t-)W8-4.3,2cosxtt當且僅-3時，等號成立，所以2-2述冬的最小值為8-4.3,2cosx所以m：8-4.3,所以存在正整數m=1，使

7、得f(x)-mf)f(0)對任意的x0,2恒成立.11有一座大橋既是交通擁擠地段，又是事故多發地段，為了保證安全，交通部門規定：大橋上的車距dm與車速vkm/h和車長Im的關系滿足d=kv0.0024V+6|-(k為正的常數).假定車身長為24m，當車速為60km/h時，車距為2.66個車身長.(1)寫出車距dm關于車速vkm/h的函數關系式；(2)應規定怎樣的車速，才能使大橋上每小時通過的車輛最多？【解析】(1)由題意，當v=60時，d=2.66I,1所以L2.661_212.16所以-1=蔽二.006，所以d=0.0024v2+2.(2)設每小時通過的車輛數為Q,則Q=迴乞，d+41000v10000.0024V+-V因為0.0024V+-2V-.0.0024V=0.24,1000=0.24=12500當且僅當0.0024v=2即卩v=50時，Q取最大值2500V3故當車速為50km/h時，大橋上每小時通過的車輛最多.12.已知數列玄的前n項和為Sn,Sn=2an-2.(1)求數列fan?的通項公式;(2)設bn=log2an,Cn=，記數列的前n項和Tn.若對nN,2時，an二Sn-Sn4=2an-2-(2an/2),即丑=2,an4所以數列an為以2為首項，2為公比的等比數列