1、常微分方程的起源與發(fā)展第2O卷第3期2006年6月高等函授(自然科學版)JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)Vo1.20No.3June2006文章編號:10067353(2006J030034(12J一03常微分方程的起源與發(fā)展張良勇,董曉芳(燕山大學理學院.河北秦皇島066004)摘要:常微分方程是l7世紀與微積分同時誕生的一門理論性極強且應用廣泛的數(shù)學學科之一.本文從常微分方程的起源談起.分四個時期介紹其發(fā)展過程.關鍵詞:常微分方程;起源;發(fā)展中圖分類號:NO9文獻標識碼:A許多有關微分方程的教材都會提到發(fā)現(xiàn)海王星

2、的故事.海王星的發(fā)現(xiàn)是人類智慧的結晶,也是微分方程巨大作用的體現(xiàn),體現(xiàn)了數(shù)學演繹法的強大威力.1781年發(fā)現(xiàn)天王星后,人們注意到它所在的位置總是和萬有引力定律計算出來的結果不符.于是有人懷疑萬有引力定律的正確性;但也有人認為,這可能是受另外一顆尚未發(fā)現(xiàn)的行星吸引所致.當時雖有不少人相信后一種假設,但缺乏去尋找這顆未知行星的辦法和勇氣.23歲的英國劍橋大學的學生亞當斯承擔了這項任務.他利用引力定律和對天王星的觀測資料建立起微分方程,來求解和推算這顆未知行星的軌道.1843年1O月21日他把計算結果寄給格林威治天文臺臺長艾利,但艾利不相信”小人物”的成果,置之不理.兩年后,法國青年勒威耶也開始從事

3、這項研究.1846年9月18日,他把計算結果告訴了柏林天文臺助理員卡勒,23日晚,卡勒果然在勒威耶預言的位置上發(fā)現(xiàn)了海王星.對于數(shù)學,特別是數(shù)學的應用,微分方程所具有的重大意義主要在于:很多物理與技術問題可以化歸為微分方程的求解問題.本文以此為契機,闡述常微分方程發(fā)展過程中所經(jīng)歷的四個重要時期及微分方程的應用意義.1常微分方程的經(jīng)典階段以通解為主要研究內容就像微積分在17世紀后期與18世紀前期的著作一樣,常微分方程最早的著作出現(xiàn)在數(shù)學家們彼此的通信中,而且通信中所提到的解法可能僅僅是對某個特例的說明.所以現(xiàn)在很難確切地說是誰首先得到某些概念或結論的.1676年,萊布尼茨在給牛頓的信中第一次提出

4、”微分方程”這個數(shù)學名詞.常微分方程是由人類生產(chǎn)實踐的需要而產(chǎn)生的.其雛形的出現(xiàn)甚至比微積分的發(fā)明還早.納皮爾發(fā)明對數(shù),伽利略研究自由落體運動,笛卡兒在光學問題中由切線性質定出鏡面的形狀等等,實際上都需要建立和求解微分方程.牛頓和萊布尼茨在建立微分方程與積分運算時就指出了它們的互逆性,實際上是解決了最簡單的微分方程f(z)的求解問題.此外,牛頓,萊布尼茨也都用無窮級數(shù)和待定系數(shù)法解出了某些初等微分方程.最早用分離變量法求解微分方程的是萊布尼茨.他用這種方法解決了形如ydx/dy一,(z)g()的方程,因為只要把它寫成dx/f(x)一g(z)dy/y,就能在兩邊進行積分.但萊布尼茨并沒有建立一般

5、的方法.l691年他把自己在這方面的工作寫信告訴了荷蘭科學家惠更斯.同年他又解出了一階齊次方程一廠(y/x):他令一咄,代入方程就可以使變量分離.1693年,惠更斯在教師中明確提到了微分方程,而萊布尼*收稿日期:20060426作者簡介:張良勇(1980一).男,r.q:It,-#1人.燕山大學理學院碩士研究生.主要從事常微分方程方面的研究工作.34第2O卷第3期2006年6月高等函授(自然科學版)JournalofHigherCorresp()ndenceEducation(NaturalSciences)VO1.2ONO.3June2006茨同年則在同一家雜志的另一篇文章中,稱微分方程為特

6、征三角形的邊的函數(shù),并給出了線性方程dy/dxp(Lz)Y+q(Lz)的通解表達式:rrY()=打(1q()Jpd+f),J其中c是任意常數(shù).1740年,歐拉用自變量代換z把歐拉方程線性化而求得“.Lz一+1Lz一171n-Iy+十a(chǎn)nyoU工UL_,卜_1的通解,其中a(i一1,2,州)是常數(shù).通解與特解的概念是1743年歐拉定義的,同時歐拉還給出恰當方程的解法和常系數(shù)線性齊次方程的特征根解法.微分方程的解有時也稱該方程的積分,因為求微分方程解的問題在某種意義上正是普通積分問題的一種推廣.1694年,瑞士數(shù)學家約翰?伯努利在教師上對分離變量法與齊次方程的求解做了更加完整的說明.他的哥哥雅科布

7、?伯努利發(fā)表了關于等時J司題的解答,雖然萊布尼茨已經(jīng)給出了這個問題的一個分析解.微分方程教材中所見到的伯努利方程,最初就是雅科布?伯努利于1695年提出的.1696年萊布尼茨證明:利用變量替換Y卜,可以將方程化為線性方程(與的一次方程).同年,雅科布?伯努利實際上用分離變量法解決了這一方程,約翰?伯努利給出了另一種解法,還提出了常系數(shù)微分方程的解法.17世紀到18世紀是常微分方程發(fā)展的經(jīng)典理論階段,以求通解為主要研究內容.在這一階段,還出現(xiàn)了許多精彩的成果.例如1694年,萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了方程解族的包絡,1718年泰勒提出奇解的概念,克萊羅和歐拉對奇解進行了全面研究,給出從微分方程本身求得奇解的

8、方法,參加奇解研究的數(shù)學家還有拉哥朗日,凱萊和達布等人.2常微分方程的適定性理論階段以定解問題的適定性理論為研究內容1685年,偉大的數(shù)學家萊布尼茨向數(shù)學界推出求解方程(黎卡提方程的特例)dy/dx一.27+Y的通解的挑戰(zhàn)性問題,且直言自己研究多年未果.這個方程雖形式簡單,但經(jīng)150年幾代數(shù)學家的全力沖擊仍不得其解.1841年法國數(shù)學家劉維爾證明意大利數(shù)學家黎卡提1724年提出的黎卡提方程dy/dx(Lz)Y十q(Lz)Y十r(Lz)的解一般不能通過初等函數(shù)的積分來表達,從而讓大家明白了不是什么方程的通解都可以用積分手段求出的.由于碰了黎卡提方程的釘子,從18世紀下半葉到19世紀,人們從求通解

9、的熱潮轉向研究常微分方程定解問題的適定性理論,此階段為常微分方程發(fā)展的適定性理論階段.19世紀2O年代,柯西建立了柯西問題dyf(x,y)l(z.)一Yo解的存在唯一性定理.1873年,德國數(shù)學家李普希茲提出著名的”李普希茲條件”,對柯西的存在唯一性定理作了改進.在適定性的研究中,與柯西,李普希茲同一時期,還有皮亞拿和比卡,他們先后于1875年和1876年給出常微分方程的逐次逼近法,皮亞拿在僅僅要求f(x,)在(z.,Y.)點鄰域連續(xù)的條件下證明了柯西問題解的存在性.后來這方面的理論有了很大發(fā)展,這些基本理論包括:解的存在及唯一解,延展性,解的整體存在性,解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性和可微性,奇

10、解等等.這些問題是微分方程的一般基礎理論問題.3常微分方程的解析理論階段以解析理論為研究內容19世紀為常微分方程發(fā)展的解析理論階段,這一階段的主要成果是微分方程的解析理論,運用冪級數(shù)和廣義冪級數(shù)解法,求出一些重要的二階線性方程的級數(shù)解,并得到極其重要的一些特殊函數(shù).1816年貝塞爾研究行星運動時,開始系統(tǒng)地研究貝塞爾方程z+xy+(z一n)Y一0,這個方程的特殊情形早在1703年雅科布?伯努利給萊布尼茨的信中就已提到.后來丹尼爾?伯努利和歐拉也都討論過這一方程,傅立葉與泊松也討論過它.貝塞爾得到了此方程的兩個基本解-廠(z)和-廠一(z),J(z)稱為第一類貝塞爾函數(shù)或,階貝塞爾函數(shù),J一(z

11、)稱為第二類貝塞爾函35第2O卷第3期2006年6月高等函授(自然科學版)Journalof進而得到了系數(shù)C2的表達式,C2三0.1818年,貝塞爾證明了J(z)有無窮個零點.1824年,貝塞爾給出遞推公式xJ抖1(z)一27(z)+-,1(z)一0.后來有眾多數(shù)學家和天文學家得出貝塞爾函數(shù)的數(shù)以百計的關系式和表達式.1944年,劍橋大學出版了G.N.Watson的巨著貝塞爾函數(shù)教程,是貝塞爾函數(shù)研究成果的集成.由此可見,貝塞爾為微分方程解析理論做出了巨大貢獻.在解析理論中另一個極重要的內容是勒讓德方程的級數(shù)解和勒讓德多項式方面的成果.1784年他出版的代表作行星外形的研究中研究了勒讓德方程(

12、zX)一2xy+n(n+1)一0,給出了冪級數(shù)解的形式.與此同時,厄米特研究了方程一2xy+Ay一0,X(一.,+.),得到了其冪級數(shù)解.當是非負偶數(shù)即為著名的厄米特多項式.切比雪夫在研究方程(1一X)一xy+聲Y=0(聲是常數(shù))時,得出lXl1時的兩個線性無關解(基本解),且證明當是非負整數(shù)時,此方程有一個解為次多項式,此多項式即為著名的切比雪夫多項式.另外,在常微分方程的解析理論研究中,也有數(shù)學王子高斯的成果.1821年,他研究了高斯幾何方程z(1一z)+y一(口+p+1)z)Y一一0,得到級數(shù)解F(a,p,y;z)一1+竺!竺壘z1?2?y(y+1)一.這個級數(shù)稱為超幾何級數(shù).同時他還建

13、立了公式36F(a,JB,y,1)一/(7)二/(7-a-f1),并指出對a,JB,y的不同值,此級數(shù)包括了幾乎所有的初等函數(shù)和類似貝塞爾函數(shù)的特征函數(shù).19世紀方程解析理論中一個重點成果是關于奇點的富克斯理論.他看到著名的貝塞爾方程,勒讓德方程和高斯幾何方程等,如果表成形如Y+聲(z)+(z)Y一0的形式,則系數(shù)有奇異性.于是富克斯深入研究這種齊次線性方程在奇異點鄰域內解的性質,他把X改成z,在復平面上討論此種方程,得出許多成果.隨后,經(jīng)GeoryFrobenlus,斯圖姆和劉維爾各自相應的研究,豐富了方程解析理論的內容.1877年,Hill研究二階方程dx/dt+O(t)x一0,其中口()

14、以27c為周期,用他研究的結論證實月球近地點的運動是周期性的,開創(chuàng)了周期系數(shù)方程的研究,龐加萊也參與了Hill方程的研究,并在Hill工作的啟發(fā)下開創(chuàng)了微分方程定性研究的新時代.4常微分方程的定性理論階段以定性與穩(wěn)定性理論為研究內容早在19世紀,龐加萊開創(chuàng)了微分方程定性理論研究,李雅普諾夫則開創(chuàng)了微分方程運動穩(wěn)定性理論的研究.到了2O世紀是微分方程的定性理論階段.自從1841年劉維爾證明黎卡提方程dy/dxX+Y不存在初等函數(shù)積分表示的解之后,研究方程的方法有了明顯變化,數(shù)學家們開始從方程本身(不求解)直接討論解的性質.法國數(shù)學家們研究的三體問題就不能用已知函數(shù)解出,從而運動的穩(wěn)定性問題就不可

15、能通過考察解的性態(tài)而得到.龐加萊終于找到了從方程本身找出答案的訣竅,1881年到1886年,他在(Jour.deMath)雜志上用同一標題關于由微分方程確定的曲線的報告發(fā)表了4篇論文,他說:”要解答的問題是動點是否描出一條閉曲線?它是否永遠逗留在平面某一部分內部?換句話說,并且用天文學的話來說,我們要問軌道是穩(wěn)定的還是不穩(wěn)定的?”從1881年起,龐加萊獨創(chuàng)出常微分方程的定性理論.此后,為了尋求只通過考察微分方程本身就可以回答關于穩(wěn)定性等問題的方法,他從非線性方程(下轉第39頁)第2o卷第3期2006年6月高等函授(自然科學版)JournalofHigherCorrespondenceEduca

16、tion(NaturalSciences)Vo1.2ONo.3June2006又A一IAIAB一IBIB-,故PAPB,即AB.2.9設A是”階可逆的,則A可表示成A的多項式證A的特征多項式廠()一iAXEi一(一1)”(十l十十一l十,).因為A可逆f(0)一一(一1)iAi0,所以f(A)=A十1A一十十,.A十a(chǎn)nE一0.一(A一十.A一十十一.E)AEA一一(A一十.Az十十,r.E).又AA=IA;E,所以A=jA1A_.=(一1)”(A十“IA十十”E).本文通過對伴隨矩陣性質的討論和研究,揭示了伴隨矩陣更豐富,更深刻的內涵,靈活地運用這些性質有助于拓寬解決線性代數(shù)問題的思路.參考

17、文獻Elq毛綱源.線性代數(shù)解題方法技巧歸納M.武漢:華中科技大學出版社,2000.3:128.2李啟文.謝季堅.線性代數(shù)內容,方法與技巧M.武漢:華中科技大學出版社.2003.7:325326.(上接第36頁)出發(fā),發(fā)現(xiàn)微分方程的奇點起關鍵作用,并把奇點分為四類(焦點,鞍點,結點,中心),討論了解在各種奇點附近的性狀,同時還發(fā)現(xiàn)了一些與描述滿足微分方程的解曲線有關的重要的閉曲線如無接觸環(huán),極限環(huán)等,同時,龐加萊關于常微分方程定性理論的一系列課題,成為動力系統(tǒng)理論的開端.美國數(shù)學家伯克霍夫以三體問題為背景,擴展了動力系統(tǒng)的研究.另一位常微分方程定性理論的主要創(chuàng)始人是挪威數(shù)學家班迪克遜,從1900年起,他開始從事由龐加萊開創(chuàng)的微分方程軌線的拓撲性質的研究工作,1901年發(fā)表著名論文由微分方程定義的曲線.常微分方程定性理論中另一個重要領域是1892年由俄國數(shù)學家李雅普諾夫創(chuàng)立的運動穩(wěn)定性理論.1892年李雅普諾夫的博士論文關于運動穩(wěn)定性的一般問題給出了判定運動穩(wěn)定性的普遍的數(shù)學方法與理論基礎.關于李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性和伯克霍夫意義下的極限集的表現(xiàn)形式是多姿多彩的.到1937年數(shù)學家龐特里亞金提出結構穩(wěn)定性