1、 集合與簡易邏輯復習與小結 一、基礎知識總結基礎知識框圖表解二、重點知識歸納、總結1、集合部分解決集合問題時，首先要明確集合元素的意義，弄清集合由哪些元素組成，需要對集合的文字語言、符號語言、圖形語言進行相互轉化其次，由于集合知識概念多、符號多，所以要注意集合的特性，空集的特殊性，符號的表示的特殊性三是注意知識間的內在聯系，注意集合思想與函數思想的聯系，集合與不等式、解析幾何、三角函數等知識的聯系（1）集合中元素的三大特征（2）集合的分類（3）集合的三種表示方法（4）集合的運算n元集合共有2n個子集，其中有2n1個真子集，2n1個非空子集；AB=x|xA且xBAB=x|xA或xBA=x|xS且

2、xA，其中AS.2、不等式的解法（1）含有絕對值的不等式的解法|x|0)axa(a0) xa，或xa.|f(x)|g(x) g(x)f(x)g(x) f(x)g(x)或f(x)g(x).|f(x)|g(x)| f(x)2g(x)2f(x)g(x)f(x)g(x)0.對于含有兩個或兩個以上的絕對值符號的絕對值不等式，利用“零點分段討論法”去絕對值. 如解不等式：|x3|2x1|0（a0），或ax2bxc0（a0）的形式，再根據“大于取兩邊，小于夾中間”得解集（若判別式0，則利用配方法求解較方便）詳細解集見下表：判別式=b24ac0=00）的圖象y=ax2bxcy=ax2bxcy=ax2bxc一元

3、二次方程ax2bxc=0（a0）的根有兩相異實根x1,x2(x10（a0）的解集x|xx2Rax2bxc0）的解集x|x1xx2（3）分式不等式的解法分類討論去分母法：轉整式不等式法：運用時，必須使不等式一邊為0，轉化為0形式，則：（4）高次不等式的解法3、簡易邏輯知識邏輯聯結詞 “或”、“且”、“非”是判斷簡單合題與復合命題的依據；真值表是由簡單命題和真假判斷復合命題真假的依據，理解好四種命題的關系，對判斷命題的真假有很大幫助；掌握好反證法證明問題的步驟（1）命題簡單命題：不含邏輯聯結詞的命題復合命題：由簡單命題與邏輯聯結詞構成的命題（2）復合命題的真值表 非p形式復合命題的真假可以用下表表

4、示.p非p真假假真 p且q形式復合命題的真假可以用下表表示.pqp且q真真真真假假假真假假假假 p或q形式復合命題的真假可以用下表表示.pqp或q真真真真假真假真真假假假（3）四種命題及其相互之間的關系一個命題與它的逆否命題是等價的（4）充分、必要條件的判定若pq且qp，則p是q的充分不必要條件；若pq且qp，則p是q的必要不充分條件；若pq且qp，則p是q的充要條件；若pq且qp，則p是q的既不充分也不必要條件.（5）反證法反證法是“命題與其逆否命題等價”這一理論的具體體現，用反證法證明命題的一般步驟是：假設命題的結論不成立.經過推理論證，得出矛盾.由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正

5、確.4、運用知識、運用方法過程中應注意的主要問題（1）正確理解集合的概念必須掌握構成集合的兩個必要條件：研究對象是具體的，其屬性是確定的（2）在判斷給定對象能否構成集合時，特別要注意它的“確定性”，在表示一個集合時，要特別注意它的“互異性”、“無序性”（3）在集合運算中必須注意組成集合的元素應具備的性質（4）對由條件給出的集合要明白它所表示的意義，即元素指什么，是什么范圍用集合表示不等式（組）的解集時，要注意分辨是交集還是并集，結合數軸或文氏圖的直觀性幫助思維判斷空集是任何集合的子集，但因為不好用文氏圖形表示，容易被忽視，如在關系式中，易漏掉的情況（5）若集合中的元素是用坐標形式表示的，要注意

6、滿足條件的點構成的圖形是什么，用數形結合法解之（6）若集合中含有參數，須對參數進行分類討論，討論時既不重復又不遺漏（7）解不等式的基本思想是化歸、轉化，解含有參數的不等式常需要分類討論，同解變形是解不等式的理論依據（8）學習四種命題，關鍵是理解命題結構及邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”的含義，掌握四種命題間的關系是學習充要條件的基礎（9）基本的邏輯知識是認識問題和研究問題不可缺少的工具，是我們進行學習、掌握和使用語言的基礎，數學又是邏輯性很強的學科，因此，學習一些邏輯知識是非常必要的，通過學習和訓練可以規范和提高推理的技能，發展思維能力重點是正確使用邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”，是否使用得

7、當的依據是真值表，利用真值表再結合四種命題的充要條件可判定復合命題的真假性注意區別一些易錯的邏輯關系，如“都是”、“都不是”、“不都是”5、在學習和運用集合知識的過程中，須注意的幾個問題目前在中學數學教學中，集合知識主要有兩方面的應用（1）把集合作為一種數學語言，以表達一定范圍或具有某些特性的元素例如，方程（或方程組）的解集，不等式（或不等式組）的解集，具有某種性質或滿足某些條件的數集、點集、向量集（以后會學）等，因集合元素的任意性，使得集合語言有著廣泛的應用性（2）使用集合間的運算法則或運算思想，解決某些邏輯關系較復雜的問題例如，運用集合法判斷真假復合命題和充要條件，運用集合的交集思想、并集

8、思想、補集思想解題等三、學法指導（一）要注意理解、正確運用集合概念例1、若P=y|y=x2,xR，Q=y|y=x21,xR，則PQ等于（） APBQCD不知道 分析：類似上題知P集合是y=x2（xR）的值域集合，同樣Q集合是y= x21（xR）的值域集合，這樣PQ意義就明確了 解：事實上，P、Q中的代表元素都是y，它們分別表示函數y=x2,y=x21的值域，由P=y|y0,Q=y|y1，知QP，即PQ=Q 應選B 例2、若P=y|y=x2,xR，Q=(x，y)|y=x2,xR，則必有（） APQ=BP Q CP=Q DPQ 分析：有的同學一接觸此題馬上得到結論P=Q，這是由于他們僅僅看到兩集合

9、中的y=x2,xR相同，而沒有注意到構成兩個集合的元素是不同的，P集合是函數值域集合，Q集合是y=x2,xR上的點的集合，代表元素根本不是同一類事物解：正確解法應為：P表示函數y=x2的值域，Q表示拋物線y=x2上的點組成的點集，因此PQ=應選A（二）要充分注意集合元素的互異性集合元素的互異性，是集合的重要屬性，教學實踐告訴我們，集合中元素的互異性常常被學生在解題中忽略，從而導致解題的失敗，下面再結合例題進一步講解以期強化對集合元素互異性的認識例3、若A=2，4,a32a2a7,B=1,a1,a22a2,(a23a8),a3a23a7，且AB=2，5，試求實數a的值解：AB=2，5，a32a2

10、a7=5,由此求得a=2或a=1至此不少學生認為大功告成，事實上，這只是保證A=2,4,5，集合B中的元素是什么，它是否滿足元素的互異性，有待于進一步考查當a=1時，a22a2=1，與元素的互異性相違背，故應舍去a=1當a=1時，B=1,0,5,2,4，與AB=2，5相矛盾，故又舍去a=1當a=2時，A=2，4，5,B=1,3,2,5,25，此時AB=2，5，滿足題設故a=2為所求例4、已知集合A=x|x23x2=0,B=x|x2axa1=0，且AB=A，則a的值為_分析：由AB=A而推出B有四種可能，進而求出a的值解： AB=A， ， A=1，2， B=或B=1或B=2或B=1，2若B=，則

11、令0得aR且a2，把x=1代入方程得aR，把x=2代入方程得a=3，綜上a的值為2或3點評：本題不能直接寫出B=1，a1，因為a1可能等于1，與集合元素的互異性矛盾，另外還要考慮到集合B有可能是空集，還有可能是單元素集的情況（三）要注意掌握好證明、判斷兩集合關系的方法集合與集合之間的關系問題，是我們解答數學問題過程中經常遇到，并且必須解決的問題，因此應予以重視反映集合與集合關系的一系列概念，都是用元素與集合的關系來定義的因此，在證明（判斷）兩集合的關系時，應回到元素與集合的關系中去例5、設集合A=a|a=n21,nN*，集合B=b|b=k24k5,kN*，試證：AB 證明：任設aA，則a=n2

12、1=(n2)24(n2)5(nN*), nN*， n2N* aB故顯然，而由B=b|b=k24k5,kN*=b|b=(k2)21, kN*知1B，于是AB由、 得AB點評：（1）判定集合間的關系，其基本方法是歸結為判定元素與集合之間關系（2）判定兩集合相等，主要是根據集合相等的定義（3）兩個集合A、B相等，之所以不以“A、B所含元素完全相同”來定義，而是用子集來定義，顯然比較科學，它具有可操作性，用起來很方便（四）要注意空集的特殊性和特殊作用空集是一個特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集顯然，空集與任何集合的交集為空集，與任何集合的并集仍等于這個集合當題設中

13、隱含有空集參與的集合關系時，其特殊性很容易被忽視的，從而引發解題失誤例6、已知集合A=x|x2(m2)x1=0,xR，若AR=，則實數m的取值范圍是_分析：從方程觀點看，集合A是關于x的實系數一元二次方程x2(m2)x1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由AR=可知該方程只有兩個負根或無實數根，從而分別由判別式轉化為關于m的不等式，并解出m的范圍解：由AR=又方程x2(m2)x1=0無零根，所以該方程只有兩個負根或無實數根，即或=(m2)240解得m0或4m4點評：此題容易發生的錯誤是由AR=只片面地推出方程只有兩個負根（因為兩根之積為1，因為方程無零根），而把A=漏掉，因此要全面準確理解

14、和識別集合語言例7、已知集合A=x|x23x100，集合B=x|p1x2p1若BA，求實數p的取值范圍解：由x23x100得2x5欲使BA，只須 p的取值范圍是3p3上述解答忽略了“空集是任何集合的子集”這一結論，即B=時，符合題設應有：當B時，即p12p1p2由BA得：2p1且2p15由3p3 2p3當B=時，即p12p1p2由、得：p3點評：從以上解答應看到：解決有關AB=、AB=，AB等集合問題易忽視空集的情況而出現漏解，這需要在解題過程中要全方位、多角度審視問題（五）要注意集合語言與其它數學語言互譯的準確性事實上，各種數學語言形態間的互譯，可為我們在更廣闊的思維領域里尋找問題的解決途徑

15、，因而這種互譯是我們在解題過程中常常必須做的事情對于用集合語言敘述的問題，求解時往往需要轉譯成一般的代數語言或幾何語言例8、已知集合有唯一元素，用列舉法表示a的值構成的集合A 解：集合B表示方程即方程x2xa2=0有等根時a的取值集合方程有等根的條件是=(1)24(a2)=0,解得a=因此A=以上解法對嗎？不難看出，將A譯為方程有等根時a的取值集合是不準確的轉譯時忽視了x220，即這一隱含條件可見，與方程等價的應是混合組：（）因此，在討論方程有唯一實根時，須照顧到：由于方程為分式方程，可能有增根，當條件的二實根中有一個是方程的增根或時，方程也只有一個實根，正確解法是：方程等價于混合組（）（1）

16、當有等根時，同上解得a=，此時，適合；（2）當有兩個不等的實根時，由0可得a當為的增根時，由得；當為的增根時，由得 由（1）、（2）得點評：（1）集合語言轉譯成其它語言，轉譯的準確與否直接關系到解題的成功與失敗（2）集合語言與其它語言轉譯過程中，根據問題的需要也可能轉譯成圖形語言，利用數形結合解題根據解題需要，有時也可能將其它語言轉譯為集合語言（六）要注意數形結合解集合問題集合問題大都比較抽象，解題時要盡可能借助文氏圖、數軸或直角坐標系等工具將抽象問題直觀化、形象化、明朗化，然后利用數形結合的思想方法使問題靈活直觀地獲解例9、設A=x|2x1，B=x|x2axb0，已知AB=x|x2，AB=x

17、|1x3，試求a、b的值分析：可在數軸上畫出圖形，利用圖形分析解答解：如圖所示，設想集合B所表示的范圍在數軸上移動，顯然當且僅當B覆蓋住集合x|1x2，且AB=x|1x3根據二次不等式與二次方程的關系，可知1與3是方程x2axb=0的兩根， a=(13)=2， b=(1)3=3點評：類似本題多個集合問題，借助于數軸上的區間圖形表示進行處理，采用數形結合的方法，會得到直觀、明了的解題效果例10、若關于x的不等式|x2|1x|a有解，求實數a的取值范圍.分析：可利用補集思想解題，先求不等式|x2|1-x|a無解的a的取值范圍.即對任意實數x，總有|x1|x2|a. a|x2|1-x|的最小值.由

18、知：3|x2|1-x|3. |x2|1x|a無解時，a3.故 |x2|1x|3.（七）要注意交集思想、并集思想、補集思想的運用對于一些比較復雜、比較抽象，條件和結論之間關系不明朗，難于從正面入手的數學問題，在解題時，可調整思路，從問題的反面入手，探求已知與未知的關系，這樣能起到反難為易，化隱為顯，從而將問題得以解決，這就是“正難則反”的解題策略，是補集思想的具體應用有的問題，根據問題具體情況，也可采用交集思想、并集思想去處理例11、已知集合A=x|x24mx2m6=0,xR，若AR，求實數m的取值范圍分析：集合A是方程x24mx2m6=0的實數解組成的非空集合，AR意味著方程的根有：（1）兩負

19、根，（2）一負根一零根，（3）一負根一正根三種情況，分別求解較麻煩，上述三種情況雖可概括為方程的較小根,但在目前的知識范圍內求解存在困難，如果考慮題設AR的反面：AR=，則可先求方程的兩根x1、x2均非負時m的取值范圍用補集思想求解尤為簡便解：設全集U=m|=(4m)24(2m6)0 =m|m1或m若方程x24mx2m6=0的二根為x1、x2均非負，則因此，m|m關于U補集m|m1即為所求點評：采用“正難則反”的解題策略具體地說，就是將所研究對象的全體視為全集，求出使問題反面成立的集合A，即 便為所求例12、命題甲：方程x2mx1=0有兩個相異負根；命題乙：方程4x24(m2)x1=0無實根，這兩個命題有且只有一個成立，求m的取值范圍 分析：使命題甲成立的m的集合為A，使命題乙成立的m的集合為B，有且只有一個命題成立是求A與B的